שמץ של מושג | תבנית עקיפה דרך מפתח עגול

תבנית עקיפה דרך מפתח עגול

בפוסט כאן למדנו על תבנית העקיפה שנוצרת כאשר גל אלקטרומגנטי נתקל במחסום ולכן "עוקף" אותו. מבחינה מתמטית, תבנית העקיפה זהה לתבנית שמתקבלת כאשר אור לאו דווקא נתקל במחסום, אלא גם עובר דרך מִפְתַּח. בשני המקרים, תבנית העקיפה נוצרת בגלל התאבכות בין גלים כדוריים שונים שיצאו מכל נקודה על פני השטח של המפתח (על פי עיקרון הנקרא: עיקרון הויגנס).

בתמונה הבאה ניתן לראות מפתח מעגלי במישור \(xy\) ברדיוס \(R\), כאשר המטרה היא למצוא ביטוי לעוצמת האור המתקבלת על מסך הנמצא במרחק \(d\) ממישור המפתח.

כדי לחשב את עוצמת האור על מישור המסך, צריך לחשב את הביטוי עבור השדה המתקבל בנקודה \(r\) על המסך (ביחס למרכז המפתח) בעקבות גל כדורי שיצא מנקודה \({r}'\) על פני מישור המפתח:

כאשר \(\theta\) זו הזווית בין הישר \(r\) לבין הישר שעובר דרך מרכז המפתח והמסך.

השדה \(dE\) בנקודה \(r\) על המסך נתון על ידי הביטוי שמתאר גל כדורי שיצא מנקודה \({r}'\) על המפתח:

\(\displaystyle dE=\frac{{{{e}^{{i\left( {\omega t-k\left| {r-{r}'} \right|} \right)}}}}}{{\left| {r-{r}'} \right|}}\)

כאשר \({k=2\pi /\lambda}\) ו- \(\lambda\) זה אורך הגל. כמו כן, \(\omega\) זו המהירות הזוויתית של הגל.

השדה בנקודה \(r\) מתקבל על ידי אינטגרל של כל השדות \(dE\) היוצאים מפני השטח של המפתח:

\(E=\int\limits_{A}{{\frac{{{{e}^{{i\left( {\omega t-k\left| {r-{r}'} \right|} \right)}}}}}{{\left| {r-{r}'} \right|}}dxdy}}\)

כאשר \(A\) מציין אינטגרל על כל שטח המפתח. עוצמת האור היא: \({{\left| E \right|}^{2}}\), כלומר: הערך המוחלט של השדה בריבוע.

הפתרון המלא של האינטגרל הוא מורכב וניתן למצוא אותו בספרות המקצועית. התוצאה הסופית המתקבלת כוללת בתוכה פונקציה \({{J}_{1}}\) הנקראת: פונקציית בסל מהסוג הראשון מסדר 1 (Bessel function of the first kind with order 1). הביטוי המלא של העוצמה \(I\left( \theta \right)\) על המסך נתון על ידי:

\(\displaystyle I\left( \theta \right)={{I}_{0}}\cdot {{\left[ {\frac{{2{{J}_{1}}\left( {kR\sin \theta } \right)}}{{kR\sin \theta }}} \right]}^{2}}\)

כאשר \({{I}_{0}}\) זו עוצמת האור העוברת במפתח.

בתמונה למטה ניתן לראות גרף של הפונקציה לעיל, כאשר בחלק הימני-עליון של התמונה ניתן לראות הגדלה של החלק התחתון בפונקציה. הגדלה זו מאפשרת לראות כיצד הפונקציה מתנהגת כאשר \(kR\sin \theta\) מקבל ערכים גבוהים:

בגלל שהאור עובר דרך מפתח דו-ממדי עגול, נקבל כי פונקציית בסל על המסך היא פונקציה דו-ממדית עם סימטריה מעגלית התלויה בזווית \(\theta\), ולכן תבנית העקיפה שנוצרת מורכבת מטבעות של אור וחושך סביב כתם אור מרכזי. בכל נקודה על ציר \(x\) בגרף בה הפונקציה מתאפסת (נקודה המתאימה לזווית \(\theta\)), נקבל טבעת חושך, ובכל נקודה בה יש לפונקציה מקסימום נקבל אור: