שמץ של מושג | הוכחת שקילות מסה-אנרגיה (דרך א')

בפוסט כאן למדנו על ההוכחה של משוואת שקילות מסה-אנרגיה: \({E=mc^2}\) . להלן ההוכחה של איינשטיין במאמר שפרסם בשנת 1905.

סימונים והגדרות:

מערכת \({S}\): מערכת שבה הגוף נמצא במנוחה.
מערכת \({S'}\): מערכת שנעה במהירות \({v}\) ביחס למערכת המנוחה בכיוון ציר \({x}\) של \({S}\).
ברגע מסוים הגוף פולט שתי קרני אור: אחת בזווית \({0^\circ}\) (ימינה על ציר \({x}\)), ואחת בזווית \({180^\circ}\) (שמאלה).
כל קרן נושאת אנרגיה \({\frac{L}{2}}\), כך שסך האנרגיה הנפלטת הוא \({L}\).

אנחנו מניחים שהגוף נמצא במנוחה במערכת \({S}\), ופולט את הקרניים בו-זמנית בצורה סימטרית כך שאין שינוי בתנע הכולל של הגוף במערכת זו והוא נשאר במנוחה.

שלב 1: שימור אנרגיה במערכת \({S}\) (מערכת המנוחה)

לפני הפליטה האנרגיה הכוללת של הגוף היא: \({E_0}\)
אחרי הפליטה האנרגיה הכוללת של הגוף היא: \({E_1}\)
אנרגיית הקרניים היא: \({\frac{L}{2} + \frac{L}{2} = L}\)

לכן, לפי שימור האנרגיה:

\(\displaystyle {E_0 = E_1 + L} \quad \text{(1)}\)

חשוב להדגיש כי \({E_0}\) וגם \({E_1}\) זו האנרגיה הכוללת של הגוף, שמורכבת גם מאנרגית מנוחה ולא רק מאנרגיה קינטית. כלומר: גם במערכת שבה הגוף במנוחה ואין אנרגיה קינטית, עדיין קיימת אנרגית מנוחה.

שלב 2: אנרגיה של קרניים במערכת \({S'}\) (הנעה במהירות \({v}\))

במערכת הנעה, התדר של הקרניים ישתנה בגלל אפקט דופלר, ולכן גם האנרגיה של כל קרן תשתנה באופן פרופורציונלי לשינוי בתדר. לכן נחשב את האנרגיה של הקרניים במערכת \({S'}\) בהתאם לטרנספורמציית דופלר היחסותית. עבור קרני אור שנפלטות בכיוונים \({0^\circ}\) ו־\({180^\circ}\), מקבלים כי:

האנרגיה של הקרן בכיוון התנועה (ימינה):
\(\displaystyle {E'_R = \frac{L}{2} \cdot \frac{1 – \frac{v}{c}}{\sqrt{1 – \frac{v^2}{c^2}}}}\)
האנרגיה של הקרן נגד כיוון התנועה (שמאלה):
\(\displaystyle {E'_L = \frac{L}{2} \cdot \frac{1 + \frac{v}{c}}{\sqrt{1 – \frac{v^2}{c^2}}}}\)

לכן, סך כל האנרגיה של הקרניים במערכת \({S'}\) היא:

\(\displaystyle {L' = E'_R + E'_L = \frac{L}{\sqrt{1 – \frac{v^2}{c^2}}}}\)

שלב 3: שימור אנרגיה במערכת \({S'}\)

סימונים והגדרות:

את האנרגיה הכוללת של הגוף לפני הפליטה במערכת \({S'}\) נסמן בתור \({H_0}\)
את האנרגיה הכוללת של הגוף אחרי הפליטה במערכת \({S'}\) נסמן בתור \({H_1}\)

אז לפי חוק שימור האנרגיה:

\(\displaystyle {H_0 = H_1 + L' = H_1 + \frac{L}{\sqrt{1 – \frac{v^2}{c^2}}}} \quad \text{(2)}\)

גם כאן חשוב להדגיש כי \({H_0}\) וגם \({H_1}\) זו האנרגיה הכוללת של הגוף, שמורכבת במקרה זה גם מאנרגיה קינטית בנוסף לאנרגית מנוחה, כי במערכת הנעה לגוף יש מהירות.

שלב 4: הפרש האנרגיה הקינטית

בגלל שבמערכת הנעה הגוף נראה כאילו הוא בתנועה, נצפה כי ההבדל בין האנרגיה של הגוף במערכת \({S'}\) לזו שבמערכת \({S}\) הוא האנרגיה הקינטית \({K}\) של הגוף. לכן:

לפני הפליטה:
\(\displaystyle {K_0 = H_0 – E_0}\)
אחרי הפליטה:
\(\displaystyle {K_1 = H_1 – E_1}\)

נחשב את השינוי באנרגיה הקינטית:

\(\displaystyle {K_0 – K_1 = (H_0 – E_0) – (H_1 – E_1) =}\)

\(\displaystyle {= (H_0 – H_1) – (E_0 – E_1)}\)

מהשוואת המשוואות (1) ו־(2) נקבל כי:

\(\displaystyle {E_0 – E_1 = L} \quad , \quad H_0 – H_1 = \frac{L}{\sqrt{1 – \frac{v^2}{c^2}}}\)

לכן:

\(\displaystyle {K_0 – K_1 = \frac{L}{\sqrt{1 – \frac{v^2}{c^2}}} – L} \quad \text{(3)}\)

שלב 5: פיתוח לטור מסדר ראשון

נפתח את הביטוי לטור טיילור מסביב לנקודה \({v = 0}\):

\(\displaystyle {\frac{1}{\sqrt{1 – \frac{v^2}{c^2}}} = 1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{v^2}{c^2} + \mathcal{O}\left(\frac{v^4}{c^4}\right)}\)

נציב במשוואה (3):

\(\displaystyle {K_0 – K_1 = L \left( \left(1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{v^2}{c^2}\right) – 1 \right) =}\)

\(\displaystyle {= \frac{L v^2}{2c^2} + \mathcal{O}\left(\frac{v^4}{c^4}\right)}\)

שלב 6: שינוי המסה

בשלב זה איינשטיין הניח כי ההפרש באנרגיה הקינטית \({K_0 – K_1 =\Delta K}\) שקול להפרש שהיה מתקבל אילו הגוף היה מאבד מסה בשיעור \({\Delta m}\), כך ש:

\(\displaystyle {\Delta K = \frac{1}{2} \Delta m \cdot v^2}\)

נשווה בין הביטויים ונקבל:

\(\displaystyle {\frac{1}{2} \Delta m \cdot v^2 = \frac{L v^2}{2c^2}} \quad \Rightarrow \quad \Delta m = \frac{L}{c^2}\)

מכאן נובע: כאשר גוף פולט אנרגיה \({L}\), מסתו קטנה בערך השווה ל- \({\frac{L}{c^2}}\)

הערות:

ההוכחה של איינשטיין ספגה לא מעט ביקורת, בעיקר מהפיזיקאי מקס פלנק, כאשר הביקורת התמקדה בבעיות הבאות בהוכחה:

שימוש בקירובים מסדר ראשון: כל המסקנה נובעת מהפיתוח של טור טיילור סביב \({v = 0}\), ולכן תקפה רק למהירויות נמוכות. אין כאן הוכחה כללית עבור כל מהירות.

תרחיש פרטי בלבד: ההוכחה מתייחסת לתרחיש פרטי שבו הגוף פולט קרניים סימטריות בכיוון ציר התנועה בלבד. אין הוכחה לכך שהתוצאה תקפה באופן כללי לכל תהליך של שינוי אנרגיה.

הנחת המבוקש: איינשטיין מניח שהפרש האנרגיה הקינטית \({K_0 – K_1 =\Delta K}\) נגרם מכך שהגוף איבד מסה בשיעור \({\Delta m}\), ובכך הוא למעשה מניח שהאנרגיה שקולה למסה, כלומר: מניח את מה שהוא בא להוכיח. איינשטיין לא גזר את הקשר \({E = mc^2}\) מעקרונות בסיסיים יותר, אלא הסיק אותו מתוך מודל שכבר מניח את השקילות הזו.