המקור הנשכח של המשוואה המפורסמת ביותר בהיסטוריה

עבור רוב האנשים, המשוואה \({E=mc^2}\) היא לא רק משוואה – היא סמל תרבות. היא מופיעה על חולצות, ספלי קפה, ובטח גם מקועקעת על לא מעט זרועות.

גם מבחינה מדעית, המשוואה הנ"ל היא מכת מחץ והיא החלום הרטוב של כל פיזיקאי: היא בו-זמנית פשוטה ואלגנטית, אך גם יסודית וחושפת תובנה פיזיקלית עמוקה על היקום שבו אנו חיים.

המשוואה הזו נקראת: משוואת שקילות מסה-אנרגיה, כי היא מקשרת בין מסה \(m\) לבין אנרגיה \(E\), דרך מהירות האור \(c\). בגלל שהערך של מהירות האור \(c\) הוא כל כך גבוה, מתקבל מצב בו מעט מאוד מסה יכולה להיות מומרת לכמות אדירה של אנרגיה. לשם המחשה: מסה השווה לגרם בודד, יכולה להיות מומרת לאנרגיה השווה ל-90 טריליון ג'אול, שזו בערך תצרוכת החשמל של מדינת ישראל כולה במשך כ-3.5 שעות.

מי שחתום על המשוואה הנ"ל הוא לא אחר מאשר הפיזיקאי המפורסם ביותר בהיסטוריה: אלברט איינשטיין, ועל פניו – מי ראוי לה יותר ממנו? איינשטיין חולל מהפכה בפיזיקה ובדרך שבה אנו מבינים את היקום, ואין זה מפתיע שמשוואה כל כך חשובה הגיעה ממוחו המבריק של הפיזיקאי הגאון.

אעשה לכם ספוילר כבר עכשיו:

איינשטיין הוא לא זה שגילה אותה.

כולם – כולל רובם המוחלט של הפיזיקאים – חושבים שהמשוואה הנ"ל צצה ממוחו המבריק של איינשטיין במאמר מפורסם שלו משנת 1905, אך זו טעות.

את \({E=mc^2}\) גילה מתמטיקאי צרפתי בשם אַנְרִי פּוּאַנְקָרֶה (Henri Poincaré). בשנת 1900 – חמש שנים לפני המאמר של איינשטיין – פואנקרה פרסם מאמר שניסה לפתור בעיה אחרת לגמרי: איך לעזאזל מתיישב חוק הפעולה והתגובה של ניוטון עם משוואות מקסוול?

במילים אחרות: לא רק שאיינשטיין לא היה הראשון לנסח את \({E=mc^2}\), אלא שאין צורך בכלל בעקרונות תורת היחסות כדי לפתח את המשוואה הנ"ל; בלי רכבות שנעות במהירות האור, בלי סנכרון שעונים, ובלי פיתולים במרחב־זמן. רק אלקטרומגנטיות קלאסית, חוקי שימור, ולא מעט גאונות מתמטית ותעוזה מחשבתית.

כל האמור כמובן לא בא להמעיט מהתרומה האדירה של איינשטיין לפיזיקה; אבל במקרה הספציפי הזה, הסיפור הפופולרי הוא פשוט חלקי, והאמת מורכבת יותר, מרתקת יותר, והרבה פחות ידועה.

כך הסיפור שלנו מתחיל; לא בתובנה עמוקה מתוך תורת היחסות, אלא בניסיון לפתור בעיה טכנית עיקשת באלקטרומגנטיות, ובצרפתי אחד שלא היה מוכן להתעלם ממנה.

ניוטון נגד מקסוול

כדי להבין איך בכלל אפשר להגיע למשוואה \({E=mc^2}\) שלא מתוך עקרונות תורת היחסות, צריך לצאת לסיבוב קצר באחת מהפינות הכי פחות סקסיות, אבל הכי מהפכניות של הפיזיקה הקלאסית: הקרב בין אייזק ניוטון לג'יימס מקסוול. לא מדובר כמובן בקרב בין בני אדם, אלא בעימות בין החוק השלישי של ניוטון לבין משוואות מקסוול, או במילים אחרות: קרב בין מכניקה (ניוטון) לבין אלקטרומגנטיות (מקסוול).

החוק השלישי של ניוטון אומר דבר פשוט מאוד: לכל פעולה יש תגובה שווה והפוכה. חוק זה נשמע כל כך מובן מאליו שכמעט מיותר להסביר אותו: אקדח פולט כדור, והאקדח נרתע לאחור, כי התנע של הכדור הנפלט מועבר חזרה לאקדח (כדי לשמר את התנע הכולל של המערכת). עיקרון פשוט ואינטואיטיבי שנובע ישירות מהמכניקה הניוטונית.

אך כעת נכנסת לתמונה האלקטרומגנטיות של מקסוול, ויוצרת בעיה רצינית. מדוע?

בעולם של ניוטון, כוחות פועלים באופן מיידי. אם יש שני חלקיקים שפועל ביניהם כוח הכבידה ואחד מהם זז לפתע מכאן לשם, אז החלקיק השני יודע זאת מיד. במילים אחרות: הכוח ביניהם מתעדכן בזמן אמת ללא שהות.

לעומת זאת, מתוך משוואות מקסוול נובע כי כוחות אלקטרומגנטיים אינם פועלים באופן מיידי. הם מתפשטים במהירות סופית, שהיא מהירות האור. כלומר: אם חלקיק טעון חשמלית זז או משנה כיוון, ההשפעה שלו לא מורגשת מיד ובאותו רגע אצל חלקיק אחר מרוחק ממנו. מה שקורה זה שנוצרת "הפרעה" בשדה האלקטרומגנטי שהחלקיק יוצר במרחב שסביבו, הפרעה שמתחילה לנוע לעבר החלקיק השני. החלקיק המרוחק מרגיש את השינוי בכוח המופעל עליו רק לאחר זמן, כאשר הפרעת השדה מגיעה אליו.

ופה הבעיה:

אם חלקיק א' מפעיל כוח על חלקיק ב', אבל חלקיק ב' מרגיש את זה רק מאוחר יותר, לאיפה נעלמה התגובה?

הבנתם? אסביר זאת שוב: לאן נעלם התנע של חלקיק א'? זו התעלומה… הרי התנע של חלקיק א' בסופו של דבר הועבר לחלקיק ב', אך רק לאחר זמן. אם כן, מה קרה לו בינתיים? לא יכול להיות שהוא פשוט התאדה. אם כן, איפה הוא "נשמר" במשך הזמן שעבר מאז שחלקיק א' זז ועד שחלקיק ב' הושפע מכך?

המתמטיקאי הצרפתי אנרי פואנקרה, הבין שזה לא סתם באג, זו בעיה רצינית שדופקת את החוק השלישי של ניוטון. אם רוצים להציל את החוק השלישי של ניוטון, צריך לחשוב מחדש על כל העסק.

פואנקרה הבין שאין מנוס אלא למצוא דרך לייחס תנע לשדה האלקטרומגנטי עצמו. אם ניתן לעשות את זה, אז ניתן לפתור את הבעיה: חלקיק א' מעביר את התנע שלו לשדה עצמו, והשדה נושא על גביו את התנע הלאה אל חלקיק ב'. במקרה זה, התגובה היא בין החלקיק לשדה שמסביבו – שדה שצמוד אליו – ולכן התגובה נשארת מיידית, כי חלקיק א' מעביר את התנע שלו לשדה "באותו רגע". השדה הוא זה שנושא על גביו את התנע. במובן זה, חלקיק שפולט קרינה אלקטרומגנטית הוא כמו אקדח שפולט כדור; החלקיק מיד נרתע.

כל מה שנותר לפואנקרה לעשות הוא למצוא דרך לייחס תנע לשדה אלקטרומגנטי. הפיתוח המתמטי המלא של פואנקרה מסובך, ואם יש לכם חשק אני מפרט אותו בקישור כאן. לעשות לכם את הסיפור קצר: פואנקרה מצא דרך לייצג את התנע של השדה האלקטרומגנטי באמצעות ביטוי המייצג את שטף האנרגיה של השדה.¹ בסופו של דבר, פואנקרה הגיע למסקנה הבאה: התנע \(p\) של שדה אלקטרומגנטי, שווה ליחס בין האנרגיה \(E\) של השדה, לבין מהירות האור \(c\), כך:

\(\displaystyle {p=\frac{E}{c}}\)

אבל פואנקרה כבר הכיר את נוסחת התנע המפורסמת של ניוטון, שעל פיה התנע \(p\) של חלקיק שווה למכפלת המסה שלו \(m\) במהירות שלו \(v\), כך:

\(\displaystyle {p=mv}\)

אלא שהפרעת השדה האלקטרומגנטי נעה במרחב במהירות האור \(c\), ולכן: \({p=mc}\), כך שכאשר נשווה בין הביטויים נקבל:

\(\displaystyle {\frac{E}{c}=mc}\)

ולכן:

\(\displaystyle {E=mc^2}\)

בום. Mic Drop.

מה שהכי מדהים בכל העסק היא העובדה שפואנקרה בכלל לא ניסה לפתח את שקילות מסה־אנרגיה. הוא פשוט רצה לשמר את החוק השלישי של ניוטון עבור שדות אלקטרומגנטיים. אז הוא שיחק עם המתמטיקה, ונתן לה להוביל אותו. בתמורה, היא הצמיחה לו את אחת הנוסחאות הכי מפורסמות בתולדות הפיזיקה.

---

רגע, רגע… ייתכן שחלק מכם שואלים את עצמכם כרגע:

מה זה החרטא הזה?

ככה בלי בושה, פואנקרה מרשה לעצמו להשוות תנע של שדה לתנע של חלקיק עם מסה אמיתית??? ועוד לחשוב אחר כך ששדה הוא כמו חלקיק עם מסה \(m\) שנע במהירות האור \(c\) כך שהתנע שלו הוא \({p=mc}\) ??? מה, הוא אידיוט?

ובכן, בכלל לא. נכון שמבחינה היסטורית אנו רגילים לחשוב על מסה כתכונה השייכת רק לחלקיקי חומר, ולכן לשדה אלקטרומגנטי אין מסה. אבל כאן יש נקודה עדינה שצריך להבין: לשדה אלקטרומגנטי אין "מסת-מנוחה", כלומר: אי אפשר לעצור קרינה ולשים אותה על המשקל ולמדוד.² אבל אפשר לומר כי לקרינה כן יש "מסה" רק במובן כללי יותר של המושג: במובן של היחס בין התנע למהירות.

אסביר זאת שוב: התכונה המשותפת בין שדה ובין חומר אינה המסה, אלא התנע. פשוט במקרה של חומר, התנע בא לידי ביטוי באמצעות המסה הרגילה והמוכרת. במקרה של קרינה, התנע בא לידי ביטוי לא באמצעות המסה הרגילה והמוכרת, אלא באמצעות האנרגיה של השדה.

הבנתם?

היו זמנים בציריך

בזמן שפואנקרה גילה במקרה את שקילות מסה-אנרגיה, איינשטיין למד פיזיקה במכון הטכנולוגי של ציריך.

לאור ההישגים המאוחרים והאדירים של איינשטיין, קל לחשוב שהוא היה סטודנט מצטיין, אבל זה לא ממש נכון. הוא סיים את הלימודים ללא מכתבי המלצה וללא הצעות עבודה באקדמיה. מוריו גם לא ממש רצו לעזור לו, כי הם לא התרשמו במיוחד מהגישה המזלזלת שלו; איינשטיין הבריז מהרצאות באופן שיטתי, ואף זלזל בחומר הנלמד במידה מסוימת.

וכך מצא את עצמו איינשטיין, מחוץ לאקדמיה, עובד בתור פקיד במשרד הפטנטים ועם הרבה זמן פנוי. זמן שהוא ניצל לקריאה, ביחד עם שני חברים שלו: מוריס סולובין (Maurice Solovine) וקונרד הביכט (Conrad Habicht). השלושה פתחו מועדון קריאה, והיו נפגשים תדיר כדי לדון על ספרים שמשכו את תשומת ליבם, ספרים שנכתבו ע"י: שפינוזה, דיוויד יום, ג'ון סטיוארט מיל, ארנסט מאך וגם מיודענו פואנקרה.

וכך בשנת 1905 איינשטיין פרסם מאמר מפורסם בשם: "האם האינרציה של גוף תלויה בתכולת האנרגיה שלו?", מאמר שבו הוא מפתח את נוסחת שקילות מסה-אנרגיה:³

את ההוכחה של איינשטיין סיכמתי לכם בקישור כאן אם יש לכם סבלנות, אבל מה שחשוב לזכור אלו העובדות הבאות:

1. איינשטיין לא נתן לפואנקרה קרדיט במאמר, למרות שהוא שכפל במידה רבה את השיטה שלו.⁴
2. ההוכחה של איינשטיין התבררה כצולעת.

כן, בדיוק כך, ההוכחה של איינשטיין ספגה ביקורת מיד לאחר פרסום המאמר, ביקורת שהגיעה מהפיזיקאי מקס פלנק (Max Planck), מהתותחים הכבדים של עולם הפיזיקה באותה תקופה.

למקס פלנק הפריעה העובדה שההוכחה של איינשטיין משתמשת בקירובים מתמטיים, מה שאומר שאיינשטיין לא באמת הוכיח את שקילות מסה-אנרגיה במקרה הכללי. אבל יותר מכל, פלנק ציין שיש בהוכחה של איינשטיין בעיה גדולה יותר: היא נראית כמו טיעון מעגלי. בתוך ההוכחה של איינשטיין, פלנק מצא שלב שבו איינשטיין למעשה מניח מראש את מה שהוא בא להוכיח… (להרחבה בנושא, היכנסו לקישור כאן).

סיכום

נפוץ מאוד להאמין שאיינשטיין ישב לו יום אחד ב־1905, וברגע פתאומי של אאוריקה מצא כי \({E=mc^2}\), ושינה את הפיזיקה לנצח.

אבל האמת קצת שונה.

הסיפור של המשוואה המפורסמת בהיסטוריה הוא סיפור של תורשה רעיונית. זה סיפור של בעיות מהותיות בפיזיקה שפואנקרה נאבק בהן הרבה לפני שאיינשטיין הפך לסופרסטאר של עולם הפיזיקה. זה סיפור שבו האלקטרומגנטיות, לא תורת היחסות, היא זו שלחשה באוזן של פואנקרה את הרעיון שאנרגיה ומסה אולי לא כל כך שונות זו מזו.

כל האמור לעיל לא גורע ממעמדו ותרומתו האדירה של איינשטיין. אבל כמו ניוטון, גם איינשטיין עומד על כתפי ענקים.

1. הביטוי הנ"ל נקרא: וקטור פוינטינג, שמייצג את שטף האנרגיה, כלומר: הכיוון שאליו זורמת האנרגיה האלקטרומגנטית, והעוצמה שלה. הדרך שבה השתמש פואנקרה כדי למצוא את התנע של השדה היא מבריקה: הוא השתמש בכוח לורנץ – הכוח החשמלי\מגנטי שפועל על חלקיק טעון, ומצא דרך לייצג אותו בתור נגזרת של פרמטר אחר. כידוע מהמכניקה הניוטונית, כוח הוא נגזרת של התנע, ולכן הפרמטר שאותו גוזרים ומקבלים את כוח לורנץ, הוא הפרמטר המייצג את התנע של השדה האלקטרומגנטי. כך למעשה פואנקרה הראה שהתנע הכולל של מערכת חלקיקים טעונים שווה לא רק לתנע הניוטוני שלהם, אלא גם לתנע האגור בשדה האלקטרומגנטי שסביבם. [↩]
2. חלקיקי השדה האלקטרומגנטי נקראים: פוטונים, ובאמת אין להם מסת מנוחה כמו לאלקטרונים ופרוטונים. [↩]
3. איינשטיין הגיע למשוואה מתוך תרחיש שבו גוף פולט קרינה בו-זמנית בשני כיוונים מנוגדים וניתוח כיצד אנרגיית הגוף נמדדת בשתי מערכות יחוס נפרדות, מערכת שבה הגוף נמצא במנוחה ומערכת נוספת שנעה ביחס למערכת המקורית. [↩]
4. איינשטיין מצא את שקילות מסה-אנרגיה ע"י בחינה של תרחיש פיזיקלי משתי מערכות יחוס שונות, שיטה שגם פואנקרה השתמש בה במאמר שלו. [↩]