קרני אור עצלניות: על עיקרון פֶרְמָה וחוק סְנֵל

הנה ניסוי פשוט שתוכלו לבצע בבית:

1. קחו אובייקט ארוך, ישר ודק, כגון: קשית או עיפרון.
2. הכניסו את האובייקט לתוך מיכל מלא במים, כגון: כוס או קערה.
3. הקפידו להשאיר את חלקו העליון של האובייקט מחוץ למים.

הפלא ופלא! האובייקט התעקם, וכבר אינו נראה ישר, כך:

ללא ספק נתקלתם בתופעה הזו בעבר, וסביר להניח כי אם שאלתם את עצמכם מדוע, אז התשובה הישירה והפשוטה שקיבלתם – זו שאינה נכנסת יותר מדי לפרטים – היא זו: האובייקט "מתעקם" כי קרני האור משנות את כיוון התנועה שלהן ברגע שהן נכנסות למים (או יוצאות ממנו).

במילים אחרות: במעבר מתווך אחד (אוויר) לתווך אחר (מים), קרני האור "נשברות", ומשנות באופן חד את כיוון ההתקדמות שלהן. אמנם העיפרון אינו קרן אור, אך אתם רואים אותו רק בגלל שקרני אור יצאו ממנו והגיעו לעיניים שלכם. קרני האור שיצאו מהחלק של העיפרון שנמצא מחוץ למים, הגיעו לעיניים שלכם בקו ישר – ללא שבירה – ולכן אתם רואים את העיפרון במקומו האמיתי במרחב. לעומת זאת, קרני אור שיצאו מהחלק של העיפרון שנמצא בתוך המים, נשברו ברגע שיצאו מהמים אל האוויר ומשם לעיניים שלכם, ולכן המיקום של העיפרון במים נראה לכם כאילו התעקם וזז "למקום אחר", כך:

נקודה חשובה נוספת שצריך לדעת היא שתופעת השבירה של קרני האור אינה מוגבלת למים בלבד; קרני האור נשברות גם במעבר מאוויר לזכוכית, ושוב ביציאה מהזכוכית חזרה לאוויר, כך:

אוקיי, עד כמה שהתשובה הנ"ל נכונה, היא לכל היותר מתארת את מה שמתרחש, אך לא מדוע הדברים מתרחשים כך ולא אחרת… ההסבר לעיל עדיין לא עונה על השאלה המתבקשת: למה קרן אור נשברת במעבר מתווך אחד לתווך אחר? מה בדיוק אומר לקרן האור לשנות כיוון?

מבחינה היסטורית, הניסיון לפצח את חידת השבירה התחיל עוד מלפני 2000 שנה באלכסנדריה שבמצרים, ולהלן אתאר לכם כיצד הצלחנו לחשוף את הסיבה לתופעת השבירה שלב אחר שלב.

כמעט חוק טבע…

סביר להניח כי בני אדם היו עדים לתופעת השבירה עוד משחר ההיסטוריה, אך מן הסתם התופעה נשארה בגדר מסתורין. הראשון שניסה לפצח את התעלומה, היה האסטרונום היווני קְלָאוּדִיוֹס פְּתוֹלֶמָאיוֹס – הנקרא בקיצור: תַּלְמַי – שהיה כנראה האסטרונום הבולט והמשפיע ביותר בעת העתיקה.

כצפוי, הצעד הראשון של תַּלְמַי בניסיון לרדת לשורש הבעיה, הוא קודם כל לנסות לעשות "סדר בבלגן", כלומר: לְכַמֵּת את התופעה ולנסות למצוא קשר שיטתי בין זווית הפגיעה של קרן אור במים לבין זווית השבירה שלה, כך:

כאמור, תלמי ניסה למצוא כיצד משתנה זווית השבירה של הקרן בתוך המים כתלות בזווית הפגיעה שלה במים. אם נקרא לזווית הפגיעה \(\theta_{i}\) ולזווית השבירה \(\theta_{r}\), ניתן לסכם את המדידות של תלמי בטבלה להלן (כל הזוויות נמדדות במעלות). בנוסף, היחס בין הזוויות נתון בעמודה הימנית:

יחס הזוויות: \(\displaystyle \frac{{{{\theta }_{i}}}}{{{{\theta }_{r}}}}\)	זווית שבירה: \(\theta_{r}\)	זווית פגיעה: \(\theta_{i}\)
1.33	7.5	10
1.3	11.5	15
1.33	15	20
1.36	22	30
1.38	29	40
1.43	35	50
1.5	40	60
1.7	47	80

תלמי היה בטוח כי הוא עלה כאן על חוק טבע חדש! מדוע? שימו לב לעמודה הימנית: נראה כי יחס הזוויות (לפחות בהתחלה), נשאר כמעט קבוע ושווה ל- \({\frac{4}{3}=1.33}\) בערך. אמנם, ככל שערך זווית הפגיעה \(\theta_{i}\) הולך וגדל (מ-40 מעלות ומעלה), כך גם היחס הולך וגדל… זה קצת הפריע לתלמי, אבל הוא לא נתן לפרט שולי שכזה לעצור אותו, והוא פשוט הניח כי מדובר על שגיאת מדידה או כל סיבה אחרת (הניסיון של תלמי "לעגל פינות", זו תופעה פסיכולוגית ידועה הנקראת: Confirmation bias, או בעברית צחה: הטיית אישוש).

עברו בערך 1500 שנים עד לימיו של האסטרונום ההולנדי וִילְבְּרוֹרְד סְנֵל (1580-1626), שהצליח לפצח את תעלומת היחס בין הזוויות. סְנֵל גילה כי היחס \(\frac{4}{3}\) אכן נשאר קבוע, אך לא כאשר מחלקים את הזוויות זו בזו, אלא דווקא כאשר מחלקים את פונקציית הסינוס של הזוויות.

תזכורת קטנה על ההגדרה של פונקציית סינוס למי שצריך: במשולש ישר זווית, הסינוס של זווית הוא היחס בין אורך הניצב שמול הזווית לבין אורך היתר. לדוגמה במשולש הבא: הסינוס של זווית \(\alpha\) הוא היחס בין אורך הצלע \(a\) לבין אורך היתר \(c\). כמו כן, הסינוס של זווית \(\beta\) הוא היחס בין אורך הצלע \(b\) לבין אורך היתר \(c\), כך:

במילים פשוטות, אם תלמי חשב כי:

\(\displaystyle \frac{{{{\theta }_{i}}}}{{{{\theta }_{r}}}}=\frac{4}{3}\)

סנל גילה כי הקשר הנ"ל שגוי… במקום זאת, הקשר הנכון הוא:

\(\displaystyle \frac{{\sin \left( {{{\theta }_{i}}} \right)}}{{\sin \left( {{{\theta }_{r}}} \right)}}=\frac{4}{3}\)

להלן טבלת תוצאות מעודכנת, אלא שהפעם בכל עמודה מופיע הערך של סינוס הזווית, ולא הזווית עצמה. בעמודה הימנית ניתן לראות כי היחס \(\frac{4}{3}\) אכן נשאר קבוע עבור כל זוויות הפגיעה:

יחס סינוס הזוויות: \(\displaystyle \frac{{\sin \left( {{{\theta }_{i}}} \right)}}{{\sin \left( {{{\theta }_{r}}} \right)}}\)	סינוס זווית שבירה: \(\sin \left( \theta_{r} \right)\)	סינוס זווית פגיעה: \(\sin \left( \theta_{i} \right)\)
1.33	0.13	0.17
1.33	0.2	0.26
1.33	0.26	0.34
1.33	0.37	0.5
1.33	0.48	0.64
1.33	0.57	0.76
1.33	0.64	0.86

לימים התברר כי גם לערך המספרי של יחס הזוויות \(\frac{4}{3}\) יש הסבר פשוט: מדובר למעשה במקדם השבירה של מים, המסומן באות \(n\). מקדם השבירה של תווך כלשהוא שווה ליחס בין מהירות האור באותו תווך לבין מהירות האור באוויר.¹ במקרה של מים, מקדם השבירה הוא בדיוק: \(\displaystyle {n=\frac{4}{3}=1.333}\), כלומר: מהירות האור במים איטית פי \({1.333}\) בהשוואה למהירות האור מחוץ למים. לזכוכית למשל, יש מקדם שבירה של \({n=1.5}\) וליהלום יש מקדם שבירה של \({n=2.42}\), הגבוה ביותר שיש.

המציל המהיר ביותר בחוף

הגילוי של סנל נחשב לפריצת דרך בתחום האופטיקה, ולימים הגילוי נקרא בפשטות: "חוק סְנֵל", שהוא למעשה הקשר בין זווית הפגיעה של קרן אור בתווך כלשהוא לבין זווית השבירה של הקרן בתווך.

אני מנחש כי למרות כל ההסבר לעיל, אתם עדיין לא מרוצים, ובצדק. הרי פעם נוספת, תיארנו את מה שמתרחש – אמנם ביתר דיוק – אבל עדיין לא קיבלנו תשובה לשאלה: למה זה קורה? למה מלכתחילה קרן אור נשברת, ולא ממשיכה בקו ישר לאחר שהיא נכנסת למים.

מי שהצליח לענות על השאלה הנ"ל, הוא המתמטיקאי הצרפתי פּיֵיר דֶּה פֶרְמָה (1607-1665). פרמה הציע רעיון מבריק, רעיון שנראה כי חושף משהו על עצם טבעו של האור. הרעיון הנ"ל נקרא: "עיקרון פרמה", וניתן לנסח אותו באופן הבא:

בין שתי נקודות נתונות, קרן אור נעה לאורך מסלול בו זמן התנועה שלה הוא הקצר ביותר.

הדרך הטובה ביותר להבין את העיקרון של פרמה, היא באמצעות האנלוגיה הבאה:

דמיינו שאתם עומדים בסוכת המציל על חוף הים, כאשר לפתע אתם מזהים כי יש במים אדם במצוקה הנמצא בסכנת טביעה. המטרה שלכם כמובן היא להגיע אליו כמה שיותר מהר, כלומר: בזמן הקצר ביותר. השאלה המתבקשת היא כמובן: איזה מסלול עליכם לקחת, כדי להגיע כמה שיותר מהר מסוכת המציל אל הטובע?

האפשרות הראשונה שקופצת לראש, היא פשוט לנוע בקו ישר לחלוטין מסוכת המציל אל הטובע; כלומר: לרוץ ישירות לכיוון הטובע, להיכנס למים ולשחות ישר אליו, כך:

האם זה אכן המסלול הקצר ביותר?

ובכן, התשובה היא: לא. ברור כי בין שתי נקודות, המרחק הקצר ביותר הוא קו ישר. אך שימו לב כי הדגש כאן הוא על המילה: מרחק, לא על זמן; כל מי שאי פעם השתמש באפליקציית WAZE כדי לנווט יודע כי המרחק הקצר ביותר לא בהכרח מבטיח את הזמן הקצר ביותר. ייתכן והיעד שלכם נמצא יחסית קרוב, אבל בגלל הפקקים, אתם תעדיפו לעשות עיקוף במסלול ללא פקקים – שהוא אמנם ארוך יותר – אך עדיין יביא אתכם ליעד שלכם בזמן קצר יותר בהשוואה למסלול הישיר.

זה בדיוק מה שקורה בדוגמה לעיל: המהירות שלכם כאשר אתם רצים על החוף, גדולה יותר בהשוואה למהירות שלכם כאשר אתם שוחים במים; לכן נוצר מצב בו המסלול המהיר ביותר, הוא לאו דווקא קו ישר מסוכת המציל ועד לאדם שטובע. אם נרצה לנתח את הבעיה באופן כללי, נצטרך לשקול את כל המסלולים האפשריים:

שימו לב כי לא ברור במבט ראשון איזה מסלול יקח הכי פחות זמן:

1. אפשרות קיצונית אחת היא לקחת את המסלול הירוק, בו תוכלו למזער את זמן הריצה שלכם על החוף ולהגיע כמה שיותר מהר למים, אבל אז תצטרכו לשחות מרחק די גדול.
2. אפשרות קיצונית אחרת היא לקחת את המסלול הכחול, בו תמזערו את המרחק שלאורכו אתם צריכים לשחות, אבל תצטרכו לרוץ מרחק מקסימלי על החוף.
3. כאמור לעיל, קיימת אפשרות פשוט לנוע בקו ישר לאורך המסלול האדום, אך לא ברור אם זה התמהיל האופטימלי בין מרחק שבו אתם רצים על החוף לבין המרחק ששבו אתם שוחים במים.
4. יתכן וקיים מסלול אחר שאם תבחרו בו תגיעו ליעד שלכם בזמן הקצר ביותר, למשל המסלול הכתום או המסלול הסגול, או כל אפשרות אחרת…

אוקיי, אז מה הפתרון? מהו המסלול המהיר ביותר? אם ברצונכם לראות ניתוח מתמטי מלא של הבעיה, אתם מוזמנים להיכנס לקישור כאן. אם אין לכם סבלנות לחפירות מתמטיות, אתן לכם פשוט את השורה התחתונה:

המסלול בעל הזמן הקצר ביותר הוא בדיוק המסלול שמקיים את חוק סְנֵל !!!

הבנתם? אם אתם רוצים להגיע אל הטובע בזמן הקצר ביותר, אסור לכם לרוץ בקו ישר! אתם תצטרכו לרוץ ולשחות לאורך מסלול שהזוויות שלו מקיימות את חוק סנל, כך:

במילים פשוטות: תצטרכו לבחור מסלול כזה שבו היחס בין סינוס זווית הפגיעה \(\sin \left( \theta_{i} \right)\) לבין סינוס זווית השבירה \(\sin \left( \theta_{r} \right)\) שווה ליחס בין המהירות שבה אתם שוחים במים לבין המהירות שבה אתם רצים על החוף (בדומה למקדם השבירה \(n\) שהוא היחס בין מהירות האור במים לבין מהירות האור באוויר).

הנה סימולציה יפה שמדגימה מדוע מסלול שמקיים את חוק סנל הוא המהיר ביותר. בסימולציה תוכלו לראות מקבץ של מסלולים אפשריים שבהם קרן אור יכולה להתקדם בין שתי נקודות נתונות, נקודה אחת באוויר והשנייה במים. שימו לב כיצד הקרן מתקדמת במהירות קבועה באוויר, ואז במהירות איטית יותר במים. הזמן הכולל של כל מסלול יהיה שונה, וניתן לראות בבירור את הפער בין מסלולים שונים, כאשר הקרן שעוברת במסלול שמקיים את חוק סנל היא הקרן שמגיעה ליעד בזמן הקצר ביותר:

סיכום

מכל האמור לעיל נובע כי קרני אור מצייתות לעיקרון פרמה, כך שבין שתי נקודות, קרן אור בוחרת לנוע במסלול שבו זמן ההגעה ליעד הוא הקצר ביותר. בנוסף, חוק סנל הוא למעשה הקשר המתמטי שמקיים את עיקרון פרמה!

באופן כללי יותר ניתן לומר, כי עיקרון פרמה הוא מקרה פרטי של עיקרון הפעולה המינימלית, שאותו הצגתי במאמר הקודם. כאשר קרן אור מתקדמת במרחב, ניתן לייחס לה "פעולה", שאת ערכה האור מנסה למזער. במקרה הנ"ל, הפעולה היא: זמן ההגעה ליעד, ולכן קרן האור בוחרת במסלול המהיר ביותר, שבו הזמן – שהוא: הפעולה – מינימלי.

לסיום, ניתן לומר כי עדיין נשארנו עם שאלה חשובה ומסקרנת:

איך לעזאזל קרן האור יודעת לבחור – מכל המסלולים האפשריים – דווקא את המסלול המהיר ביותר?

מעניין…²

1. ליתר דיוק, מדובר במהירות האור בוואקום לא באוויר, אך לצורך הדיון הנוכחי אני לא נכנס לדקויות האלה. [↩]
2. יש להדגיש כי עיקרון פרמה אינו ההסבר היחיד לחוק סנל, וניתן לגזור את חוק סנל גם מתוך עיקרון הויגנס, או משוואות מקסוול, וגם מתוך שיקולי שימור אנרגיה ותנע. לכן אין צורך באמת להניח כי האור באמת "לוקח בחשבון" את כל המסלולים האפשריים ובוחר רק אחד, למרות שזו דרך יפה מאוד להסתכל על התופעה, כי דרך זו היא מקרה פרטי של עיקרון הפעולה המינימלית, שהוא עיקרון כללי יותר ורלוונטי גם לתחומים אחרים בפיזיקה. [↩]