בפוסט כאן ראינו את עיקרון פרמה, הקובע כי: בין שתי נקודות נתונות, קרן אור נעה לאורך מסלול בו זמן התנועה שלה הוא הקצר ביותר.
נוכל לנתח את הבעיה באופן מתמטי באמצעות התרשים הבא:
בתרשים האור עובר בין נקודת התחלה \(Q\) לנקודת סיום \(P\) דרך נקודה \(O\) שהיא נקודת המעבר מתווך \({1}\) (לבן) לתווך \({2}\) (אפור).
בתרשים הנ"ל נראה כי מסלול הקרן כבר מציית לחוק סנל, אבל זו טעות. התרשים מייצג מקרה כללי של כל מסלול אפשרי של הקרן, כי ערכם של הזוויות \(\theta_{1}\) ו- \(\theta_{2}\) עדיין לא נקבע. אם למשל נגלה כי \(\theta_{1}=\theta_{2}\) אז מסלול הקרן יהיה קו ישר ללא שבירה.
מקדם השבירה \(n\) של תווך, הוא היחס בין מהירות האור בוואקום \(c\) לבין מהירות האור \(v\) בתווך: \(v=c/n\), לכן בתרשים למעלה ניתן לראות כי האור עובר מתווך \({1}\) לתווך \({2}\), ולפי הגדרת מקדם השבירה נקבל:
\(\displaystyle {{v}_{1}}=\frac{c}{{{{n}_{1}}}}\)
\(\displaystyle {{v}_{2}}=\frac{c}{{{{n}_{2}}}}\)
נוכל לחשב את הזמן \(t_{1}\) שלוקח לקרן לעבור מנקודה \(Q\) לנקודה \(O\) כך:
\(\displaystyle {{t}_{1}}=\frac{{\sqrt{{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}}}}{{{{v}_{1}}}}\)
גם נוכל לחשב את הזמן \(t_{2}\) שלוקח לקרן לעבור מנקודה \(O\) לנקודה \(P\) כך:
\(\displaystyle {{t}_{2}}=\frac{{\sqrt{{{{b}^{2}}+{{{(l-x)}}^{2}}}}}}{{{{v}_{2}}}}\)
הזמן הכולל הוא: \(T=t_{1}+t_{2}\) ולכן:
\(\displaystyle T=\frac{{\sqrt{{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}}}}{{{{v}_{1}}}}+\frac{{\sqrt{{{{b}^{2}}+{{{(l-x)}}^{2}}}}}}{{{{v}_{2}}}}\)
כדי למצוא את המסלול עם הזמן הקצר ביותר, יש למצוא נקודת מינימום בפונקציה \(T\left(x\right)\), ע"י גזירת הפונקציה והשוואה ל-0, כך:
\(\displaystyle {\frac{{dT}}{{dx}}=0}\)
ונקבל:
\(\displaystyle \frac{x}{{{{v}_{1}}\sqrt{{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}}}}-\frac{{(l-x)}}{{{{v}_{2}}\sqrt{{{{{(l-x)}}^{2}}+{{b}^{2}}}}}}=0\)
שימו לב בתרשים כי מתקיים:
\(\displaystyle \sin {{\theta }_{1}}=\frac{x}{{\sqrt{{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}}}}\)
\(\displaystyle \sin {{\theta }_{2}}=\frac{{l-x}}{{\sqrt{{{{{(l-x)}}^{2}}+{{b}^{2}}}}}}\)
אם נציב במשוואה למעלה של נגזרת הפונקציה \(T\left(x\right)\) נקבל:
\(\displaystyle {\frac{{\sin {{\theta }_{1}}}}{{{{v}_{1}}}}-\frac{{\sin {{\theta }_{2}}}}{{{{v}_{2}}}}=0}\)
כעת נוכל להשתמש בהגדרת מקדם השבירה: \(v=c/n\), ונקבל את חוק סנל:
\(\displaystyle \frac{{\sin {{\theta }_{1}}}}{{\sin {{\theta }_{2}}}}=\frac{{{{n}_{2}}}}{{{{n}_{1}}}}\)
מכאן נובע כי המסלול המהיר ביותר הוא המסלול שמקיים את חוק סנל עבור זוויות הפגיעה והשבירה.