כל הפיזיקה על רגל אחת: על עיקרון הפעולה המינימלית

במאמר הקודם הצגתי בפניכם את הרעיון בדבר: "תיאוריה של הכל" (Theory of Everything), תיאוריה שתוכל להציג מודל מתמטי שיאחד בין ארבעת הכוחות היסודיים בפיזיקה, וע"י כך להסביר את כל התופעות בטבע.

כזכור, אין לנו כרגע מודל שכזה. אמנם תורת המיתרים הייתה המועמדת המובילה לכך, אך לא נראה כי ניתן להעמיד אותה למבחן אמפירי בעתיד הנראה לעין.

ובכל זאת, יש לפיזיקאים משוואה אחת קצרה שהיא הדבר הקרוב ביותר ל- "תיאוריה של הכל", ובמאמר היום אני רוצה להציג בפניכם את המשוואה הזו, ולהסביר לכם את המשמעות שלה.

חשוב להדגיש: זו אינה משוואה שבאמת מאחדת את כל ארבעת הכוחות בטבע; המשוואה גם אינה מסוגלת לנבא את ערכם של קבועי הטבע היסודיים (כגון: מהירות האור, קבוע הכבידה וכו'), ולכן היא אינה "תיאוריה של הכל" באמת…

אף על פי כן, מדובר במשוואה שכוללת בתוכה טענה כל כך מקיפה וכל כך יסודית – טענה בעלת אמירה כוללת על הפיזיקה כולה, לא פחות! – עד כדי כך שבאמת אפשר להתייחס אליה, במובן מאוד מסוים וספציפי, בתור "תיאוריה של הכל".

במילים אחרות: כל התהליכים הפיזיקליים, בכל היקום כולו, מצייתים לעיקרון היסודי שעומד בבסיס המשוואה שאציג לכם כעת. כל הפיזיקה כולה – על מגוון התחומים השונים שבה – רואים במשוואה הזו שליט בלתי מעורער, וכולם פועלים בהתאם למשמעות הפילוסופית שלה.

בסוף המאמר הנוכחי, אתם תוכלו להגיד במידה רבה של צדק, כי אתם מבינים באמת איך פועלת הפיזיקה כולה. אני לא מגזים, בסוף המאמר אתם תבינו את הבסיס שעליו מונחת הפיזיקה כולה, לכל שאר הדברים ניתן להתייחס בתור "פרטים טכניים".

לא אמשיך למתוח אתכם יותר, כי אתם בטח כבר סקרנים. אי לכך ובהתאם לזאת, להלן המשוואה במלוא הדרה:

\({\delta S=0}\)

זה הכל, משוואה בארבעה סמלים…

העיקרון שעומד בבסיס המשוואה הפשוטה הזו, נקרא: "עיקרון הפעולה המינימלית", וכאמור לעיל, כל תחומי הפיזיקה כולם מצייתים לעיקרון הנ"ל. אם הבנתם את "עיקרון הפעולה המינימלית", במובן מסוים הבנתם את כל הפיזיקה.

כל מה שנשאר זה להסביר מהו הפרמטר \(S\), מהו הסימן המוזר הזה \(\delta\) (שנקרא בלועזית: דֶּלְתָּא), למה הכל שווה ל-\({0}\), והכי חשוב: מה המשמעות של כל העסק!

אוקיי, בואו נתחיל.

פיזיקה פרפקציוניסטית

אנסה להנחית עליכם את המשמעות של המשוואה הזו בבת אחת, ישר על ההתחלה, ולהתקדם משם. במילים פשוטות, המשוואה טוענת כי:

כל חוקי הפיזיקה שאנו מכירים למעשה נוצרו כתוצאה מהניסיון של היקום לעשות אופטימיזציה לתהליכים שבתוכו.

אם זה נשמע קצת מוזר, אל דאגה, כי את העיקרון של "אופטימיזציה" כולכם מכירים מחיי היום יום.

בתור דוגמה, חשבו למשל על המושג: שוק חופשי, מושג שמתאר מערכת כלכלית בה המחירים של סחורות ושירותים נקבעים ע"י היצע וביקוש של ציבור הקונים/מוכרים בעצמו.

כפי שאתם בטח יודעים, מערכת השוק החופשי פועלת מעצמה, אף אחד לא מנהל אותה. המערכת עצמה מבצעת תהליך אופטימיזציה (או: מִטּוּב), תהליך בו מחירי הסחורות וכמות הייצור נוטים לנוע אל עבר נקודת שיווי משקל שמאזנת בין ההיצע והביקוש. אם שיווי המשקל מופר, אז השוק עצמו – במידה וישאר חופשי – ינסה לחזור אל עבר נקודת שיווי המשקל.

דוגמה קלאסית נוספת מתחום הביולוגיה היא תהליך האבולוציה והתפתחות המינים על פני כדור הארץ. הפרמטר העיקרי שאותו האבולוציה מנסה למטב הוא יכולת ההישרדות של כל מין ומין, והאבולוציה מבצעת כל הזמן אופטימיזציה לפרמטר ההישרדות ע"י שימוש בברירה טבעית.

כעת לפאנץ'-ליין:

בפיזיקה מתרחש תהליך דומה, בו לכל מערכת פיזיקלית ניתן לייחס פרמטר המסומן באות \(S\), והדינמיקה בפועל של המערכת נקבעת ע"י תהליך אופטימיזציה של הפרמטר \(S\) בהתאם לקריטריון קבוע מראש.

אם זה נשמע מסובך מדי, אז אסביר זאת ביתר פירוט:

נסתכל לדוגמה על כדור-תותח הנורה מנקודה מסוימת על פני הקרקע. נצא מנקודת הנחה כי אין לנו מושג מהו המסלול בפועל של הכדור; בשלב הראשון, אנו יודעים אך ורק:

1. מתי כדור התותח נורה ומהיכן נורה,
2. היכן פגע הכדור, ואת זמן הפגיעה.

באופן עקרוני, כדור התותח יכול לנוע במגוון מסלולים אפשריים שונים בין נקודת השיגור לנקודת הפגיעה. ללא מידע נוסף, אין לנו דרך לקבוע מהו המסלול שלאורכו נע הכדור בפועל.

סביר להניח כי בשלב זה אתם מגרדים בראש, ואומרים לעצמכם: מה הבעיה? הרי יש בידינו מידע נוסף, וקוראים לו: חוקי התנועה של ניוטון! אם נרצה לדעת את מסלול הכדור, פשוט נפתור את משוואות התנועה של ניוטון, ונגלה כי המסלול עוקב אחרי עקומה פרבולית!¹

אך השאלה המתבקשת היא:

למה מלכתחילה כדור התותח מציית לחוקי התנועה של ניוטון?

ברצינות, למה הכדור נע במסלול שנקבע דווקא ע"פ חוקי ניוטון ולא משוואות תנועה מסוג אחר? אני מניח כי זו נראית לכם שאלה מוזרה, אבל ברצינות, חשבו על כך: מכל המסלולים האפשריים, למה הפיזיקה בוחרת דווקא את המסלול שנקבע ע"י חוקי ניוטון?

התשובה היא: כי חוקי ניוטון בעצמם מצייתים לעיקרון יסודי יותר! עיקרון זה נקרא: עיקרון הפעולה המינימלית, וחוקי ניוטון נולדים ממנו!

אז מהו אותו עיקרון פעולה מינימלית, ואיך הוא בא לידי ביטוי בכל מה שקשור לתנועת הכדור?

אז ככה: כדור התותח הוא מערכת פיזיקלית לכל דבר וענין. ברגע השיגור, הכדור כביכול "בוחן" או "לוקח בחשבון" את כל המסלולים האפשריים מנקודת השיגור עד לנקודת הפגיעה.

לכל מסלול אפשרי של הכדור ניתן להגדיר גודל שמסומן באות \(S\) ונקרא: פעולה (לא בטוח שזה הכינוי המוצלח ביותר לפרמטר \(S\), אבל זה הכינוי שנקבע מבחינה היסטורית).

עיקרון הפעולה המינימלית קובע כי כדור התותח יעקוב אחר המסלול שבו הערך של הפרמטר \(S\) מינימלי. הנקודה החשובה ביותר שעליכם להבין בכל העסק, היא שהמסלול הנ"ל – זה שבו \(S\) מקבל ערך מינימלי – הוא בדיוק המסלול שמציית לחוקי ניוטון!

הבנתם? הפיזיקה כביכול לא "יודעת" מראש באילו משוואות תנועה להשתמש; במילים אחרות: משוואות התנועה של ניוטון לא "נכפו עלינו מלמעלה". לפיזיקה יש עיקרון מנחה אחר לגמרי, והוא: עיקרון הפעולה המינימלית. המשמעות שלו פשוטה: לעשות אופטימיזציה לפרמטר \(S\), וזה הדבר היחיד שמעניין את הפיזיקה, כלומר: לעשות אופטימיזציה לפעולה. פעולת האופטימיזציה הנ"ל גורמת לכך שמתוך כל חוקי התנועה האפשריים, הפיזיקה בוחרת בחוקי התנועה של ניוטון, כי אלה בדיוק החוקים שמייצרים את המסלול שבו לפרמטר \(S\) יש ערך מינימלי!

עכשיו נשאר להבין מהו אותו פרמטר \(S\) ואיך הוא נקבע.

הערה חשובה: המשוואה \({\delta S=0}\) שכתבתי לעיל היא זו שמתארת את כל פעולת האופטימיזציה הנ"ל, כי הסימן \(\delta\) וגם העובדה שאנו משווים הכל ל-\({0}\), זו הדרך שלנו להגיד – בשפה מתמטית – שאנו מחפשים את המינימום של הפרמטר \(S\). כדי לא להעמיס על המאמר, אני מרחיב על כך את הדיון בקישור נפרד כאן, לכל מי שיש סבלנות לקצת מתמטיקה.

מכל מקום, הפרטים הטכניים לא ממש קריטיים להמשך; כל מה שאתם צריכים לדעת זה אך ורק את המשמעות של המשוואה, ולזכור כי המשוואה "מקודדת" את המשמעות הנ"ל באמצעות סימבוליקה מתמטית.

מינימום עמלות המרה

אז מהו הפרמטר \(S\) ואיך הוא נקבע?

אם נחזור להתמקד במקרה של כדור תותח, אז הפרמטר \(S\) נקבע באופן הבא:

הפרמטר \(S\) הוא הערך המצטבר של ההפרש בין האנרגיה הקינטית והפוטנציאלית של הכדור לאורך מסלול אפשרי נתון.

אסביר למה אני מתכוון:

לא משנה לאורך איזה מסלול כדור התותח ינוע, בכל נקודה ונקודה לאורך המסלול יש לכדור אנרגיה קינטית \(K\) ואנרגיה פוטנציאלית \(U\). בכל רגע נתון, גודל האנרגיה הקינטית תלוי במהירות הכדור, וגודל האנרגיה הפוטנציאלית תלוי במרחק הכדור מהקרקע.²

כעת אנו מגיעים לנקודה חשובה: גם מבלי לדעת מראש את צורת המסלול של הכדור, אנו יודעים כי האנרגיה הכללית \(E\) שלו נשמרת. אמנם בכל רגע ורגע לאורך המסלול האנרגיה מתחלפת מקינטית לפוטנציאלית ולהיפך, אך הסכום של שניהם יחד \(E=K+U\) נשאר קבוע.

מכאן נובע כי ההפרש בין האנרגיה הקינטית לפוטנציאלית מתפקד כמדד שימושי לכמות ההמרה של אנרגיה מסוג אחד לאנרגיה מסוג אחר. את הפרש האנרגיה \(\Delta E\) ניתן לבטא בפשטות באופן הבא:

\(\Delta E=K-U\)

כאמור לעיל, הפרמטר \(S\) הוא הערך המצטבר של הפרש האנרגיות \(\Delta E\) לאורך מסלול נתון, והפיזיקה מבצעת אופטימיזציה לפעולה, כלומר: לפרמטר \(S\).³

עיקרון הפעולה המינימלית פירושו שהפיזיקה תמיד בוחרת את המסלול בו הערך של הפרמטר \(S\) הוא הקטן ביותר; במילים אחרות: המסלול הנבחר הוא זה שלאורכו כמה שפחות אנרגיה התחלפה מקינטית לפוטנציאלית, ולהיפך.

אוקיי, בואו ננסה לסכם את כל התהליך בצורה של "מתכון" שעל פיו הפיזיקה פועלת כדי לבחור את המסלול של כדור התותח:

1. שלב ראשון: הפיזיקה בוחנת מסלול אפשרי כלשהוא.
2. שלב שני: עבור כל נקודה לאורך המסלול, הפיזיקה מחשבת את הפרש האנרגיות \(\Delta E\).
3. שלב שלישי: הפיזיקה מחשבת את הפרמטר \(S\) (הפעולה), שהוא הערך המצטבר של הפרש האנרגיה \(\Delta E\) לאורך כל המסלול.
4. שלב רביעי: הפיזיקה מחשבת את הפרמטר \(S\) עבור כל המסלולים האפשריים.
5. שלב חמישי: הפיזיקה בוחרת את המסלול שבו לפרמטר \(S\) יש את הערך הקטן ביותר, או בניסוח שקול: המסלול שלאורכו כמה שפחות אנרגיה הומרה מקינטית לפוטנציאלית ולהיפך.

כעת ברור מדוע גופים במרחב נעים בהתאם למשוואות התנועה של ניוטון. אם מישהו ישאל אתכם בעתיד: למה גופים מצייתים דווקא לחוקי התנועה של ניוטון? למה לא לחוקי תנועה אחרים? עכשיו אתם יודעים כי התשובה: "ככה זה וזהו", היא אינה תשובה מדויקת. התשובה הנכונה היא:

חוקי התנועה של ניוטון הם החוקים שמייצרים את המסלול עם הפעולה המינימלית.

סיכום

אם הגעתם עד כאן, סביר להניח כי לא שכחתם את ההבטחה הגרנדיוזית שהזכרתי בתחילת המאמר. כזכור, הבטחתי לכם כי אם תבינו כראוי את עיקרון הפעולה המינימלית, למעשה הבנתם איך פועלת הפיזיקה כולה. כעת אקיים את ההבטחה.

במאמר הנוכחי השתמשתי במסלול של כדור תותח הנע תחת כוח הכבידה בתור דוגמה מייצגת כדי להסביר את עיקרון הפעולה המינימלית. אמנם חשוב לדעת כי גם תחומים נוספים בפיזיקה מצייתים לעיקרון הפעולה המינימלית! ההבדל היחיד הוא בכך שהפרמטר \(S\) מוגדר באופן שונה; כלומר: לכל תחום בפיזיקה יש פעולה שונה.

לדוגמה: נסתכל על הדינמיקה של קרינה אלקטרומגנטית הנוצרת בעקבות תנועת מטען חשמלי. הדינמיקה של הקרינה נקבעת בפועל ע"י משוואות תנועה הנקראות: משוואות מַקְסְוֶל; בדיוק כשם שחוקי ניוטון הם משוואות התנועה של גופים תחת כוח הכבידה, כך משוואות מַקְסְוֶל הם משוואות התנועה של קרינה אלקטרומגנטית.

גם במקרה הנ"ל, ניתן להגדיר פעולה מתאימה (פרמטר \(S\) יחודי) כך שהדינמיקה של קרינה אלקטרומגנטית תתגלה כאשר נבצע אופטימיזציה לאותה פעולה. בדיוק כשם שחוקי ניוטון מתקבלים כאשר מוצאים את הערך המינימלי של \(S\) (במקרה של כדור התותח), כך משוואות מַקְסְוֶל מתקבלות כאשר מוצאים את הערך של הפרמטר \(S\) (במקרה של קרינה אלקטרומגנטית).

דוגמה נוספת: אם נסתכל על חלקיקי חומר שמסתחררים סביב חור שחור, נגלה כי הם מצייתים למשוואות התנועה של תורת היחסות. גם במקרה זה, ניתן להגדיר פעולה מתאימה – כלומר: פרמטר \(S\) ספציפי – שאופטימיזציה שלו תייצר את משוואות התנועה של תורת היחסות.

בקיצור, הבנתם את העסק; אם יש תובנה אחת שאותה אתם צריכים לקחת אתכם הלאה, זו התובנה הבאה:

לכל מערכת פיזיקלית ניתן להגדיר פרמטר הנקרא: "פעולה". הפיזיקה לוקחת בחשבון את כל הדרכים האפשריות שבאמצעותן ניתן להביא מערכת פיזיקלית ממצב אחד למצב אחר. בפועל, הפיזיקה בוחרת את הדרך שבה "הפעולה" היא מינימלית, וכך "נוצרים" חוקי הפיזיקה הידועים לנו.

מה שבאמת מדהים, זו העובדה שהפיזיקה – בניגוד לאבולוציה למשל – לא עושה אופטימיזציה בתהליך ארוך של ניסוי וטעייה. הפיזיקה עושה זאת מיד, בזמן אמת, ובבת אחת!

1. במקרים מסובכים יותר, כגון: מסלול של רקטה, יש לקחת בחשבון גם חיכוך עם האוויר, הנעה פנימית וגורמים נוספים. עקומה פרבולית מושלמת תתקבל רק כאשר הגוף נע בהשפעת כוח הכבידה בלבד, מרגע השיגור ועד הפגיעה. ליתר דיוק, עקומה פרבולית מתקבלת רק בהנחה שכוח הכבידה קבוע ואינו תלוי בגובה מעל פני הקרקע. במקרה שבו כוח הכבידה נחלש עם הגובה, נקבל מצב בו המסלול יהיה אליפטי כאשר מרכז כדור הארץ נמצא באחד ממוקדי האליפסה. [↩]
2. ליתר דיוק, ממרכז כדור הארץ. [↩]
3. האנרגיה הכללית נשארת קבועה כאשר פועלים אך ורק כוחות משמרים, כגון: כוח הכבידה. במקרים כלליים יותר, למשל: תנועת רקטה, פועלים גם כוח הנעה וכוח חיכוך שאינם משמרים, ולכן יש לעדכן את הפרמטר S בהתאם, בדרך כלל על ידי הוספת פונקציות תלויות בזמן שבעזרתם ניתן לייצג תוספת אנרגיה עקב כוחות הנעה, או איבוד אנרגיה עקב כוחות חיכוך. [↩]