איינשטיין מכה שנית

אז בפוסט הקודם דיברתי על המשוואה המפורסמת ביותר בהיסטוריה: \({E=mc^2}\) , משוואה הנקראת: שקילות מסה-אנרגיה.

כאמור, איינשטיין הוכיח את המשוואה הנ"ל במאמר מפורסם משנת 1905. אלא שאיינשטיין לא ממש אהב את ההוכחה שלו – ובצדק – כי היא לא הייתה מלוטשת מספיק.

מסיבה זו, איינשטיין הוכיח שוב את המשוואה שנה לאחר מכן, בשנת 1906, והפעם בגישה אחרת ויותר מדויקת.

ההוכחה הזו של איינשטיין שווה מאמר, כי היא אלגנטית ומגניבה ברמות; היא פשוטה, וכל אחד יכול להבין אותה, אני מתכוון לכך ברצינות. בנוסף, אין בה שום דבר הקשור לתורת היחסות; שום כלום, רק מכניקה ואלקטרומגנטיות, כלומר: פיזיקה קלאסית בלבד.

אז הנה היא לפניכם; הדרך של איינשטיין משנת 1906 למשוואה הכי מפורסמת בפיזיקה. והכי חשוב: האם הפעם איינשטיין כן היה מרוצה? ובכן, חכו לסוף ותגלו.

אוקיי, בואו נתחיל.

כל סטודנט יודע לפתור את זה!

איינשטיין התחיל בכך שחשב על בעיה פשוטה שלקוחה ישירות מהמכניקה של ניוטון. למעשה, מדובר בתרגיל כל כך נפוץ, שכל סטודנט לומד אותו בסמסטר הראשון של השנה הראשונה של התואר הראשון בפיזיקה:

נניח שיש תיבה ריקה, שמרחפת לה בחלל הריק, ואין שום כוח חיצוני שפועל עליה. ברגע מסוים, נפלט חלקיק מהדופן השמאלית של התיבה אל עבר הדופן הימנית.

איך בדיוק נפלט החלקיק הזה ולמה, זה לא משנה בכלל. לצורך הענין, אפשר לדמיין כי לדופן השמאלית של התיבה היה מוצמד אקדח, וברגע מסוים נפלט ממנו כדור אל עבר הדופן הימנית. אפשר לדמיין גם תרחישים אחרים, אבל זה ממש לא משנה, לכן לשם הפשטות, בואו ונישאר עם הדימוי של האקדח שפולט כדור.

ברגע שהכדור נפלט ימינה מהדופן השמאלית לעבר הדופן הימנית, מתחיל להתרחש תהליך די פשוט:

1. בשלב הראשון, התיבה נרתעת ומתחילה לנוע שמאלה. ברור לכולם למה זה קורה: כשיורים באקדח, נוצר רתע. לכן ברגע שהכדור נפלט ימינה, התנע של הכדור מועבר חזרה לאקדח ולכן לתיבה עצמה (כאמור, האקדח מחובר לדופן התיבה). הרתע של התיבה גורם לה להתחיל לנוע שמאלה.
2. בשלב השני – לאחר זמן מסוים – הכדור פוגע בדופן הימנית של התיבה, נתקע בה, וגורם לה לעצור. עצירת התיבה מתרחשת בגלל אותה סיבה בדיוק כמו קודם: התנע של הכדור מוחזר חזרה לתיבה, ומאפס את התנע שהיה לה לפני כן.

לסיכום:

1. כדור נפלט מצד שמאל של התיבה אל עבר הצד הימני שלה.
2. התיבה נעה שמאלה, וממשיכה לנוע כל עוד הכדור לא פגע בדופן הימנית שלה.
3. התיבה עוצרת ברגע שהכדור פוגע בדופן הימנית שלה.

אוקיי, עד כאן הכל די פשוט.

כאשר הבעיה הנ"ל מוצגת לסטודנטים, אז התרגיל הסטנדרטי שנותנים לסטודנטים לפתור הוא לחשב את המרחק שהתיבה זזה במשך כל התהליך, מרגע פליטת הכדור ועד לעצירתה.

אז איך עושים את זה?

כל סטודנט יודע שהדרך לפתרון מתחילה בתובנה הבאה: אם על מערכת לא פועלים כוחות חיצוניים, אז התנע הכולל של המערכת נשמר, ולכן מרכז המסה הכולל של המערכת לא יכול לזוז. זו נקודה שחשוב להבין: למרות שהתיבה זזה שמאלה והכדור זז ימינה, מכל מקום, מרכז-המסה של המערכת כולה (תיבה + כדור) נשאר במקום ולא זז.

הנה המחשה פשוטה לעיקרון הנ"ל: אם למשל אתם יושבים במכונית ונסעתם סנטימטר קדימה עם המכונית, אז מרכז-המסה של המערכת כולה זז. אבל אם נסעתם סנטימטר קדימה ואז עברתם לשבת במושב האחורי, אז המעבר שלכם אחורה מחזיר את מרכז-המסה של המערכת כולה למקומו ההתחלתי. במילים אחרות: מרכז המסה של כל המערכת (אתם + מכונית) נשאר במקום, למרות שחלקים בתוך המערכת זזו במרחב: המכונית זזה קצת קדימה, ואתם זזתם הרבה אחורה.

כך גם בניסוי שהצגנו למעלה: לתיבה יש מסה גדולה ולכן היא זזה קצת שמאלה, ותנועה זו מאוזנת ע"י התזוזה הגדולה יותר של הכדור ימינה, כי מסתו קטנה יותר. אבל בסופו של דבר, מרכז המסה הכולל נשאר במקום.

בדרך זו סטודנטים יודעים לפתור את הבעיה: אם נתונה מסת הכדור ומסת התיבה, וגם באיזו מהירות הכדור נפלט, אז באמצעות הדרישה שמרכז המסה הכולל נשאר במקום ניתן לחשב כמה זזה התיבה בפועל.

---

בשלב זה בדיוק נכנס לתמונה איינשטיין, ואומר: רגע, רגע, רגע, רגע אחד…

מה יקרה אם במקום אקדח שפולט כדור, נשתמש בלייזר שפולט פולס של קרינה אלקטרומגנטית?

טכנית, איינשטיין לא ידע עדיין מה זה לייזר. אבל זה לא משנה… איינשטיין פשוט הציע תרחיש שבו הדופן השמאלית של התיבה פולטת פולס של קרינה (שדה אלקטרומגנטי) במקום כדור אמיתי עם מסה רגילה. איינשטיין כבר ידע (בעקבות פואנקרה) כי לשדה יש תנע שתלוי באנרגיה של השדה. במילים אחרות: לשדה – כמו למסה רגילה – יש אינרציה, ולכן גוף שפולט קרינה ירתע, בדיוק כמו אקדח שפולט כדור.

מכאן נובע כי התהליך כולו יהיה זהה לחלוטין:

1. לאחר פליטת הקרינה התיבה נרתעת וזזה שמאלה,
2. התיבה תיעצר כאשר הקרינה פוגעת בדופן הימנית של התיבה, ונבלעת בה.

אבל איך זה יכול להיות, חשב לו איינשטיין הצעיר? הרי אם לא פעלו על המערכת כוחות חיצוניים, אז ברור כי מרכז המסה של המערכת כולה לא יכול לזוז ככה סתם. אם התיבה זזה שמאלה כי היא נרתעה מהתנע של הקרינה, אז משהו חייב לאזן את מרכז המסה. במקרה הקודם זה היה הכדור, אבל הפעם אין כדור – יש קרינה – ולקרינה כידוע אין מסה, אז מה מאזן את מרכז המסה כנגד התזוזה של התיבה?

איינשטיין הגיע למסקנה הבלתי נמנעת:

מסה חייבת להיגרע מהדופן השמאלית של התיבה ולעבור לדופן הימנית שלה.

הבנתם?

אסביר שוב: אם התיבה זזה שמאלה, אבל מסה לא עברה מצד שמאל שלה לצד ימין שלה, אז מרכז המסה חייב לזוז איתה. אין דרך אחרת. הדרך היחידה לשמור את מרכז המסה של התיבה במקומו ההתחלתי, הוא שקצת מסה תעבור מדופן שמאל לדופן ימין, כדי לאזן את התזוזה של התיבה.

אבל הדרך היחידה שבה זה יכול להתבצע, זה אם מסה מהתיבה הומרה לאנרגיה של השדה – ע"פ קשר מתמטי כלשהוא – והשדה (הקרינה) הוא זה שנושא על גביו את האינרציה כל הדרך עד הדופן הימנית של התיבה.

לכן – כך חשב לו איינשטיין – למרות שאין לקרינה "מסת-מנוחה", מכל מקום יש לה תנע התלוי באנרגיה שלה, ואם מסה חייבת לעבור מצד אחד של התיבה לצד השני כדי לאזן את מרכז המסה, אז כנראה שניתן להמיר מסה לאנרגיה, ולהפך.

כעת, כל מה שאיינשטיין היה צריך לעשות זה לפתוח את מחברת הקורס מכניקה מהתואר הראשון, ולפתור את אותה בעיה בדיוק, רק הפעם עם תיבה שפולטת קרינה במקום כדור! הפתרון כבר יגלה בעצמו את הקשר הנכסף בין אנרגיה למסה!

למעשה, אפשר לומר שברגע שמחליפים את הכדור בקרינה, אז המשוואה \({E=mc^2}\) כבר מתחבאת שם בפנים… כל מה שאיינשטיין היה צריך לעשות זה לפתור מחדש בעיה קלאסית במכניקה אבל עם שינוי קטן, ופשוט לתת למתמטיקה להוביל אותו הלאה.

וכל זה – כאמור לעיל – בלי קשר לתורת היחסות בכלל.

סיכום

אם ההוכחה לעיל מצאה חן בעיניכם, אז יש לי סוד לגלות לכם: איינשטיין לא ממש אהב אותה, בדיוק כמו שהוא לא היה מרוצה מההוכחה הקודמת שלו משנת 1905. אם אתם רוצים לדעת למה, אני ממליץ לכם להתעמק בפרטים הקטנים של ההוכחה, ואת זה תוכלו לעשות בקישור כאן, בו אני משחזר את ההוכחה של איינשטיין משנת 1906. נסו למצוא את הבעיה.

איינשטיין לא אמר נואש… תאמינו או לא, שנה לאחר מכן ב-1907 איינשטיין ניסה שוב פעמיים(!!) להוכיח את שקילות מסה-אנרגיה. פעמיים!

והוא עדיין לא היה מרוצה!!!

בסופו של דבר, מישהו אחר השיג את איינשטיין במירוץ. מי שלבסוף סיפק את ההוכחה המלאה במקרה הכללי הוא המתמטיקאי פֵלִיקְס קְלַיין (Felix Klein), והוא עשה זאת בשנת 1918.

ההוכחה של קליין אכן הייתה חפה מבעיות וחורים, אבל היא דרשה מתמטיקה די מסובכת, הרבה מעבר למה שתיארנו במאמר הנוכחי. כדי להבין את ההוכחה של קליין, נדרש ידע בחשבון טנזורי, אנליזת שדות ומה לא.

גם זה הציק לאיינשטיין, ובמידה רבה של צדק: לא ייתכן כי משוואה כל כך יסודית ופשוטה בפיזיקה תדרוש הוכחות כל כך מסובכות, הוכחות הדורשות ידע של דוקטורט במתמטיקה והכי חשוב: אפס אינטואיציה פיזיקלית. זו הסיבה מדוע גם בשנים שלאחר מכן, איינשטיין ניסה את כוחו שוב בלהוכיח את המשוואה בדרכים "פשוטות" יותר, פעם אחת בשנת 1935 ופעם נוספת בשנת 1946. בשתי הפעמים איינשטיין לא השיג ב-100% את מה שהוא קיווה להשיג.

לימים, פיזיקאים אחרים כן הצליחו להגשים את חלומו של איינשטיין ולהציג הוכחות של המשוואה גם במקרים כלליים יותר, ללא קירובים, עם פחות תסבוכת מתמטית ויותר אינטואיציה פיזיקלית.

אבל איינשטיין עצמו, בשלב מסוים התייאש…