עיקרון הפעולה המינימלית

בפוסט כאן למדנו על עיקרון הפעולה המינימלית, שאותו ניתן לבטא באמצעות המשוואה:

\({\delta S=0}\)

עבור גופים שהדינמיקה שלהם מצייתת למשוואות התנועה של ניוטון, ניתן להגדיר פרמטר \(S\) הנקרא: פעולה, באופן הבא:

\(\displaystyle {{S}}=\int\limits_{{{{t}_{1}}}}^{{{{t}_{2}}}}{{\left( K-U \right)dt}}\)

כאשר \({K}\) זו האנרגיה הקינטית של הגוף, ו-\({U}\) זו האנרגיה הפוטנציאלית של הגוף. האינטגרל נעשה בין המיקום ההתחלתי של הגוף בזמן \({t_{1}}\) ועד המיקום הסופי של הגוף בזמן \({t_{2}}\), לאורך מסלול אפשרי נתון בין רגע ההתחלה והסיום. הגוף יכול לנוע במגוון מסלולים שונים בין רגע ההתחלה לרגע הסיום, והאינטגרל מתבצע לאורך מסלול אחד אפשרי. מכאן נובע כי הפרמטר \(S\) יקבל ערכים שונים עבור מסלולים שונים, ולכן הפרמטר \(S\) הוא "פונקציה" של המסלול.

עיקרון הפעולה המינימלית קובע כי חוקי התנועה יתארו את מסלול הגוף שבו הפעולה מינימלית. לדוגמה: משוואות התנועה של ניוטון, אלו בדיוק המשוואות שעבורם יתקבל מסלול שלאורכו הערך של הפרמטר \(S\) הוא מינימלי.

מבחינה מתמטית, למסלול שעבורו הערך של \(S\) מינימלי יש תכונה מיוחדת: כל המסלולים הקרובים אליו מחזירים את אותו ערך של הפרמטר \(S\), ללא שינוי. במילים אחרות: הערך של הפרמטר \(S\) עצמו לא ישתנה, גם אם נשנה מעט את המסלול שעבורו מתקבל ערך \(S\) מינימלי.

זו למעשה תכונה כללית של נקודת מינימום בפונקציה! לדוגמה: לפונקציה \({y=\left( x-2 \right) ^2 +3}\), יש מינימום בנקודה \({x=2}\), וסביב הנקודה \({x=2}\) הערך של \({y=3}\) כמעט ולא משתנה. במילים אחרות: אם נכניס לפונקציה \(y\) ערכים של \(x\) מעט יותר גדולים (או קטנים) מ-\({2}\), נקבל כי הפונקציה עדיין מחזירה ערך של \({y=3}\), ללא שינוי.

במשוואה \({\delta S=0}\), הסימן \(\delta\) מציין שינוי, כך ש- \({\delta S}\) פירושו שינוי בפרמטר \({S}\). עיקרון הפעולה המינימלית בוחר את המסלול שעבורו הערך של \({S}\) לא משתנה כאשר משנים מעט את המסלול עצמו. במילים אחרות: השינוי \({\delta S}\) שווה ל-\({0}\), כלומר: אין שינוי.