בפוסט כאן למדנו כיצד איינשטיין הוכיח בשנת 1906 את המשוואה \({E = m c^2}\). להלן ההוכחה המתמטית המלאה:
נניח שקיימת קופסה קשיחה בעלת מסה כוללת \({M}\) ואורך \({L}\), הצפה בחלל ריק ללא כוחות חיצוניים, ונמצאת תחילה במנוחה. בזמן \({t = 0}\) נפלט פולס של קרינה אלקטרומגנטית מהדופן השמאלית של הקופסה. הקרינה נעה ימינה, ועקב שימור תנע הקופסה נעה שמאלה. הקרינה נעה במהירות האור \({c}\) לאורכה של הקופסה עד שהקרינה פוגעת בדופן הימנית של הקופסה, נבלעת בה ולכן הקופסה נעצרת.
ננתח את הבעיה משיקולים של שימור תנע ומרכז-מסה. בגלל שאין כוחות חיצוניים על הקופסה, אז מרכז המסה לא יכול לזוז. אך אם הקופסה עצמה נעה שמאלה, אז מסה בשיעור מסוים צריכה לנוע מדופן שמאל לדופן ימין כדי להשאיר את מרכז המסה במקומו. המסה הנ"ל למעשה מומרת לאנרגיה, והקרינה היא זו שמעבירה את המסה מצד לצד.
שלב 1: התנע של הקרינה
קרינה אלקטרומגנטית נושאת לא רק אנרגיה \({E}\), אלא גם תנע \({p}\). הקשר ביניהם נתון על ידי:
\(\displaystyle {p = \frac{{E}}{{c}}}\)
לכן, כאשר הקרינה נפלטת מהדופן השמאלית, היא נושאת תנע \({p}\) ימינה. עקב שימור התנע, הקופסה חייבת להתחיל לנוע שמאלה עם תנע זהה. לכן, מיד לאחר הפליטה מהירות הקופסה \({v}\) מקיימת את הקשר:
\({\left(M-m\right) v = p}\)
שימו לב כי לאחר פליטת הקרינה מסת התיבה \(M\) פחתה בשיעור של \(m\). מכאן נקבל כי:
\(\displaystyle {v = \frac{{p}}{{M-m}} = \frac{{E}}{{c \left(M-m\right)}}}\)
שלב 2: תנועת הקופסה בזמן תנועת הקרינה
הקרינה נעה ימינה לאורך הקופסה שאורכה \({L}\), אך הקופסה עצמה נעה שמאלה לאורך מרחק השווה ל – \({\Delta x}\) עד לעצירתה, ולכן סה"כ הקרינה עוברת מרחק של \({L-\Delta x}\). הקרינה נעה במהירות האור \({c}\), ולכן משך הזמן \({\Delta t}\) שעבר מרגע פליטת הקרינה ועד עצירת הקופסה נתון ע"י:
\(\displaystyle {\Delta t = \frac{{L-\Delta x}}{{c}}}\)
בזמן זה הקופסה נעה במהירות קבועה \({v}\).1 לכן מתקיים הקשר:
\(\displaystyle {\Delta x = v \Delta t = \frac{{E}}{{c \left(M-m\right)}} \cdot \frac{{L-\Delta x}}{{c}} =}\)
\(\displaystyle {= \frac{E}{c^2} \cdot \frac{{L-\Delta x}}{{M-m}}}\)
נארגן מחדש את המשוואה ונקבל:
\(\displaystyle {\Delta x \cdot \frac{M-m}{L-\Delta x} = \frac{E}{c^2}}\)
זו המשוואה הראשונה, נזכור אותה להמשך.
כאשר הקרינה מגיעה לדופן הימנית של הקופסה, היא נבלעת בה. כעת התנע של הקרינה חוזר לקופסה, ומבטל את התנע שנרכש בזמן הפליטה. לכן בסיום התהליך תנע הקופסה שווה לאפס והקופסה חוזרת להיות במנוחה.
שלב 3: שימור מרכז המסה
כיוון שאין כוחות חיצוניים שפועלים על המערכת, התנע הכולל של כל המערכת נשמר ולכן מרכז המסה של המערכת כולה חייב להישאר קבוע. נחשב את מיקום מרכז המסה בשני רגעים:
- בהתחלה, לפני פליטת הקרינה.
- בסיום, לאחר עצירת הקופסה.
לפני פליטת הקרינה, ניתן להניח כי מרכז המסה נמצא במרכז הקופסה, אם המסה של הקופסה מפולגת באופן אחיד. גם אם אין התפלגות אחידה, זה לא באמת משנה היכן בדיוק נמצא מרכז המסה, ממילא ניתן להגדיר את מיקום מרכז המסה בתור הנקודה \({x = 0}\). כלומר:
\(\displaystyle {x_{{\text{CM, initial}}} = 0}\)
לאחר עצירת הקופסה, הקופסה נעה שמאלה לאורך מרחק השווה ל- \({\Delta x}\). כדי שמרכז המסה ישאר במקום בנקודה \({x = 0}\), נצטרך להניח שהקרינה כביכול המירה מסה בשיעור \({m}\) מדופן שמאל של הקופסה לדופן ימין, כלומר: מסה בשיעור של \({M – m}\) נעה שמאלה למרחק של \({\Delta x}\) ובו-זמנית מסה בשיעור של \({m}\) נעה ימינה מרחק של \({L – \Delta x}\).
לכן מרכז המסה הסופי הוא:
\(\displaystyle {x_{{\text{CM, final}}} = -\frac{\left(M-m\right) \Delta x}{M} +}\)
\(\displaystyle {+ \frac{m \left(L-\Delta x\right)}{M}}\)
על מנת שמרכז המסה לא יזוז, נדרוש שמרכז המסה הסופי וההתחלתי יהיו זהים:
\(\displaystyle {x_{{\text{CM, final}}} = x_{{\text{CM, initial}}}}\)
כלומר:
\(\displaystyle {\Delta x \cdot \frac{M-m}{L-\Delta x} = m}\)
זו המשוואה השנייה. אם נשווה את שתי המשוואות, הראשונה והשנייה זו לזו, נקבל:
\(\displaystyle {m = \frac{{E}}{{c^2}}}\)
ולכן: \({E = m c^2}\)
- יש כאן הנחה שמהירות הקופסה קטנה משמעותית ממהירות האור, אחרת אי אפשר היה להשתמש בנוסחה הפשוטה של זמן השווה למרחק לחלק למהירות. [↩]