בפוסט כאן למדנו כיצד ניתן לגזור את משוואת שרדינגר ומשוואת קליין בתוך הקשר הניוטוני והיחסותי בין האנרגיה והתנע של חלקיק, כאשר התהליך הנ"ל נקרא: קוונטיזציה.
נתחיל בקשר הניוטוני בין האנרגיה, המסה והמהירות:
\(\displaystyle E=\frac{1}{2}m{{v}^{2}}\)
התנע של חלקיק שווה \(p=mv\) ולכן את האנרגיה נוכל לרשום במונחי התנע:
\(\displaystyle E=\frac{1}{2}m{{v}^{2}}=\frac{{{{p}^{2}}}}{{2m}}\)
הדרך לעשות קוונטיזציה למשוואה היא על ידי החלפת האנרגיה \(E\) והתנע \(p\) באופרטורים.
אופרטור האנרגיה הוא:
\(\displaystyle \hat{E}=i\hbar \frac{\partial }{{\partial t}}\)
ואופרטור התנע הוא:
\(\displaystyle \hat{p}=-i\hbar \frac{\partial }{{\partial x}}\)
ואם נציב בקשר בין האנרגיה והתנע נקבל:
\(\displaystyle i\hbar \frac{\partial }{{\partial t}}=\frac{1}{{2m}}\cdot {{\left( {-i\hbar \frac{\partial }{{\partial x}}} \right)}^{2}}=-\frac{{{{\hbar }^{2}}}}{{2m}}\cdot \frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{x}^{2}}}}\)
הנגזרת השניה במרחב הופכת לאופרטור הלפלסיאן כאשר מדובר בשלושה מימדי מרחב:
\(\displaystyle {{{\vec{\nabla }}}^{2}}=\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{x}^{2}}}}+\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{y}^{2}}}}+\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{z}^{2}}}}\)
האופרטורים פועלים על פונקצית הגל \(\psi\) ולכן נקבל את משוואת שרדינגר:
\(\displaystyle i\hbar \frac{{\partial \psi }}{{\partial t}}=-\frac{{{{\hbar }^{2}}}}{{2m}}{{{\vec{\nabla }}}^{2}}\psi \)
את משוואת קליין נוכל לקבל מתוך הקשר היחסותי בין אנרגיה תנע ומסה:
\(\displaystyle {{E}^{2}}={{\left( {pc} \right)}^{2}}+{{\left( {m{{c}^{2}}} \right)}^{2}}\)
גם במקרה זה נציב את האופרטורים של התנע והאנרגיה:
\(\displaystyle {{\left( {i\hbar \frac{\partial }{{\partial t}}} \right)}^{2}}={{\left( {-i\hbar \frac{\partial }{{\partial x}}} \right)}^{2}}{{c}^{2}}+{{m}^{2}}{{c}^{4}}\)
נפתח את הסוגריים ונעביר צדדים במשוואה:
\(\displaystyle \frac{1}{{{{c}^{2}}}}\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{t}^{2}}}}-\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{x}^{2}}}}+\frac{{{{m}^{2}}{{c}^{2}}}}{{{{\hbar }^{2}}}}=0\)
גם כאן האופרטורים פועלים על פונקציות הגל ולכן נקבל את משוואת קליין:
\(\displaystyle \frac{1}{{{{c}^{2}}}}\frac{{{{\partial }^{2}}\psi }}{{\partial {{t}^{2}}}}-{{{\vec{\nabla }}}^{2}}\psi +\frac{{{{m}^{2}}{{c}^{2}}}}{{{{\hbar }^{2}}}}\psi =0\)