אנטי-חומר: התאום המסתורי של היקום

במאמר היום אסביר לכם לעומק את אחד המושגים המפורסמים שזלגו מהמדע הרציני החוצה אל התרבות הפופולרית, והפעם: אנטי-חומר.

בדומה למושגים כמו חומר אפל, רב-יקום וחורים שחורים, כך גם אנטי-חומר הפך לכוכב פופולרי במיוחד בתחום סרטי המד"ב. מי שאוהב את סדרת סרטי אווטאר (Avatar) – את הסרט הראשון לפחות – זוכר כיצד ספינת החלל שהביאה את בני האדם לפנדורה, משתמשת במנוע המבוסס על שילוב של חומר ואנטי-חומר כדי להגיע למהירויות בין-כוכביות.

כנראה הדוגמה המפורסמת ביותר לקוחה מהסרט: "מלאכים ושדים", בכיכובם של טום הנקס, יואן מקגרגור וגם איילת זורר שלנו בתפקיד הפיזיקאית. בסרט – המבוסס על ספר מאת דן בראון, מי שכתב את "צופן דה-וינצי" – טום הנקס מציל את הוותיקן מהשמדה שתוכננה להתבצע באמצעות פצצה המבוססת על אנטי-חומר שנגנב מהמעבדה של איילת זורר במאיץ החלקיקים CERN בשוויץ.

יופי טופי, אבל מה זה בדיוק אנטי-חומר? מה זה אומר, מעבר לנפנופי ידיים ששמעתם עד עכשיו? מאיזה כובע הפיזיקאים שלפו את השפן הזה? ולמה? האם הוא באמת קיים, או שמדובר בהשערה בלבד? ולמה הוא כזה אנטי?

על כל התשובות האלה אני רוצה לענות במאמר הנוכחי. אם אי פעם נתקלתם במושג הזה ולא היה לכם מושג במה בדיוק מדובר, אז זו ההזדמנות שלכם. להלן אכנס לעובי הקורה, ואסביר את כל העסק צעד אחר צעד. על הדרך, אתם תלמדו פיזיקה מדהימה על גבול הכישוף ממש, אני לא צוחק. אתם לא תאמינו לאיזה מחוזות מוזרים מגיעים הפיזיקאים כשהם נדרשים לתאר את העולם…

אוקיי, בואו נתחיל.

לקוונטט משוואות

בראשית המאה ה-20 פיזיקאים החלו לנסות ולפתח מודל מתמטי חדש שיתאר את הדינמיקה של חלקיקים תת-אטומיים. החל משנת 1900 פיזיקאים כמו מקס פלנק, וולפגנג פאולי, נילס בוהר, וורנר הייזנברג ומקס בורן (כולם זוכי פרס נובל), זרקו לאוויר רעיונות חדשים מעבר לפיזיקה הקלאסית המוכרת, אך מי שעשה קפיצה משמעותית קדימה – לפחות מבחינת פיתוח המודל המתמטי – הוא הפיזיקאי ארווין שרדינגר.

בשנת 1926, שרדינגר הציג לעולם את "משוואת שרדינגר": משוואה דיפרנציאלית שמתארת את הדינמיקה של חלקיק קוונטי, למשל: אלקטרון. אם החוק השני של ניוטון, \(F=m\cdot a\), הוא למעשה משוואה דיפרנציאלית שמתארת את הדינמיקה של גופים גדולים (מכוכבים ועד וירוסים), אז משוואת שרדינגר מבצעת פעולה דומה, רק עבור אטומים וחלקיקים קטנים יותר.¹

משוואת שרדינגר לא נולדה יש מאין; שרדינגר פיתח אותה ישירות מתוך המכניקה של ניוטון. כיצד?

על פי ניוטון, האנרגיה של גוף תלויה במסה של הגוף ובתנע שלו (והתנע עצמו תלוי במהירות). שרדינגר השתמש בקשר הזה בדיוק, ופשוט עשה לו: "קוונטיזציה". אם זה נשמע לכם קצת מעורפל, אל דאגה; כל מה שאתם צריכים לדעת זה שתהליך הקוונטיזציה – כך אנחנו הפיזיקאים קוראים לזה – הוא תהליך הכולל פרוטוקול די מסודר שבו אנחנו לוקחים משוואה מהפיזיקה הקלאסית, ומעבירים אותה דרך מכונה מתמטית. המכונה הנ"ל מפעילה על המשוואה כל מיני עדכונים ושינויים, והופ: מה שיוצא מהצד השני זו אותה משוואה קלאסית שממנה התחלנו, אבל בגרסה הקוונטית שלה! (מי שלא מפחד ממתמטיקה, מוזמן לראות כיצד התהליך הנ"ל נעשה בקישור כאן).

כשלמדתי בפעם הראשונה בתואר ראשון על התהליך הזה, עף לי הסכך; מדהים שכל הפיזיקאים האלה של תחילת המאה ה-20 הצליחו לחשוב על הטריק הזה… לא צריך בכלל להמציא פיזיקה חדשה, אפשר פשוט לקחת את הפיזיקה הקלאסית הישנה ולעשות לה "עדכון גרסה". מהר מאוד למדנו בתואר כיצד לעשות קוונטיזציה לא רק על המכניקה הניוטונית, אלא גם על האלקטרודינמיקה של מקסוול וכו'. זה ממש מגניב.

אמנם משוואת שרדינגר הייתה צעד ענק קדימה ללא ספק, אבל הבעיה הגדולה ביותר שלה הייתה שהיא לא לוקחת בחשבון את האפקטים של תורת היחסות. במילים אחרות: במקרה שבו אלקטרון נע במהירות גבוהה מדי – קרוב למהירות האור – משוואת שרדינגר לא עובדת יותר. אף אחד גם לא מצפה ממנה: כזכור, משוואת שרדינגר צמחה ישירות מתוך המכניקה הניוטונית, ואם המכניקה של ניוטון אינה מתחשבת בתורת היחסות, אין סיבה לצפות שמשוואת שרדינגר כן תעשה את זה.

לכן עוד באותה שנה שבה שרדינגר פרסם את המשוואה המפורסמת שלו, הפיזיקאי אוסקר קליין השתמש באותה שיטה בדיוק שבה השתמש שרדינגר כדי לפתח משוואה חדשה, טובה יותר. כאמור לעיל, שרדינגר השתמש בקשר הניוטוני בין האנרגיה של גוף לבין התנע והמסה שלו, ומתוך הקשר הנ"ל הצליח לסחוט את משוואת שרדינגר. קליין לעומת זאת, גם לקח את הקשר בין האנרגיה של גוף לבין התנע והמסה שלו אך הפעם מתוך תורת היחסות של איינשטיין, ולקשר הזה עשה "קוונטיזציה". התוצאה הייתה משוואה חדשה שמתארת את הדינמיקה של חלקיק קוונטי אבל הפעם עם התחשבות בתורת היחסות של איינשטיין (גם כאן, את הפיתוח של משוואת קליין תוכלו למצוא בקישור כאן).²

אלא שגם פה נוצרה בעיה מסוג אחר. איך לומר זאת בפשטות: המשוואה של קליין יצרה כאב ראש מתמטי לכל מי שניסה לפתור אותה. מבחינה מתמטית, היא פשוט הייתה "משוואה מעצבנת". מבלי להיכנס למלוא הפרטים הטכניים, אומר רק זאת: בעוד משוואת שרדינגר הייתה משוואה דיפרנציאלית מסדר-ראשון, משוואת קליין הייתה משוואה מסדר-שני. אין לי ספק שמי מכם שעשה קורס במשוואות דיפרנציאליות חלקיות כבר מחפש אופטלגין רק מלשמוע על זה.³

השדים של דיראק

פה נכנס לתמונה הגיבור של הסיפור שלנו: הפיזיקאי הבריטי פול דיראק. איך לומר זאת בעדינות, דיראק היה טיפוס קצת מוזר. וגם שתקן, מאוד שתקן. חבריו לקיימברידג' אפילו המציאו יחידת מידה על שמו, שנקראת בפשטות: דיראק. מהי מודדת בדיוק? ובכן, היא מודדת שתיקה: יחידת דיראק אחת שווה למילה אחת בשעה. ישבתם עם חברים ואמרתם רק עשר מילים במשך שעתיים? אז השתיקה שלכם שווה 5 דיראק. בקיצור, הוא לא היה דברן גדול.

מה שבטוח זה שהשתיקה הנ"ל לא נבעה מחוסר מחשבה. דיראק השקיע את מיטב זמנו בלמצוא משוואה נוחה יותר מאשר המשוואה של קליין, והכי חשוב: משוואה שתהיה יפה יותר.

דיראק היה אובססיבי לגבי אסתטיקה מתמטית. מבחינתו, משוואה פיזיקלית לא הייתה רק כלי עבודה; היא הייתה צריכה להיות יצירת אמנות. המשקל שדיראק נתן ליופי המתמטי של משוואה היה כל כך גדול, עד כדי שכך שבמאמר שפרסם ב-1963, דיראק הגדיל לעשות וטען שיש להתייחס ליופי מתמטי כמדריך אמין יותר לחקר האמת מאשר מידת ההתאמה לנתונים ניסיוניים, שלעיתים יכולים להיות מבולגנים או לא שלמים. אם לצטט את דיראק: "חשוב יותר שיהיה יופי במשוואות מאשר שהן יתאימו לניסוי".⁴)

מבחינתו של דיראק, המשוואה של קליין פשוט לא הייתה יפה. לכן דיראק הפשיל שרוולים, ובשנת 1928 הוא החליט לנסות מחדש: הוא התחיל מהקשר היחסותי בין האנרגיה והתנע של חלקיק (כמו שקליין עשה), אבל הפעם דיראק ניסה לעשות קוונטיזציה בצורה קצת שונה כדי לבנות משוואה דווקא מסדר-ראשון, כמו המשוואה של שרדינגר, ולא מסדר שני כמו של קליין.⁵

והוא הצליח. המשוואה החדשה לא הייתה רק יפה; היא גם עבדה מצוין. בפרט, היא הסבירה ותיארה את רמות האנרגיה של אטום המימן בדיוק מרשים, הרבה יותר טוב מאשר משוואת שרדינגר.⁶

אך היופי המתמטי כנראה בא גם עם מחיר, כי מהר מאוד התברר שמשוואת דיראק מכילה בעיה אפלה ומטרידה שפיזיקאים לא יכלו להתעלם ממנה: המשוואה הכילה בתוכה גם פתרונות המייצגים חלקיקים בעלי אנרגיית מנוחה שלילית.

למה הכוונה? ולמה זו בעיה? אסביר זאת במילים פשוטות: על פי ניוטון, אם גוף לא נמצא בתנועה (כלומר התנע שלו שווה אפס), אז גם האנרגיה של הגוף היא אפס. איינשטיין בא וחידש כי התנועה של גוף יכולה להוסיף לגוף אנרגיה, אבל גם לגוף שאינו נמצא בתנועה תמיד תהיה אנרגיה חיובית שאינה אפס. לפי איינשטיין, רק מעצם העובדה שלגוף יש מסה, אז בהכרח יש לו גם אנרגיה שאגורה במסה שלו. זו המשמעות של המשוואה המפורסמת \({E=mc^2}\), כלומר: לגוף בעל מסה \(m\) תמיד תהיה אנרגיה חיובית \(E\) גם אם הגוף נמצא במנוחה ואין לו תנע כלל. האנרגיה הזו נקראת: אנרגיית המנוחה של גוף, או: האנרגיה שתמיד יש לגוף מעצם העובדה שיש לו מסה.

אך למרבה האימה, פיזיקאים גילו כי המשוואה של דיראק מולידה מתוכה לא רק מלאכים, אלא גם שדים; נראה כי למשוואת דיראק קיימים פתרונות כשרים לחלוטין מבחינה מתמטית, אך כאלה שמתארים אלקטרון בעל אנרגיית מנוחה שלילית!

רגע, מה? איך זה יכול להיות? זו הרי תוצאה אבסורדית ומטופשת… הרי כבר אמרנו כי לכל גוף בעל מסה חיובית \(m\) תמיד תהיה אנרגיית מנוחה חיובית \(E\), על פי המשוואה של איינשטיין \({E=mc^2}\). אם כן, מה המשמעות של חלקיק בעל אנרגיית מנוחה שלילית? האם אנו אמורים להבין מכך שיש לו מסה שלילית?

מיותר לציין כי דיראק "חטף על הראש" מהפיזיקאים המובילים של התקופה: הייזנברג, פאולי ובוהר, שלא חסכו ביקורת על התחזיות האבסורדיות של המשוואה שלו. לא שהיו להם הצעות טובות יותר, כן? אף אחד מהם לא הציע משוואה יחסותית שעובדת מצוין כמו המשוואה של דיראק, אבל להתלונן זה בחינם.

כישוף מתמטי

כעת הגענו אל השלב בו פיזיקאים הופכים להיות מכשפים, ועם כמה נפנופים של שרביט המתמטיקה הם מסוגלים לייצר דברים יש מאין. פריצת הדרך הגיעה לא באמצעות יצירה של משוואה חדשה, מדויקת וללא תחזיות אבסורדיות; לא ולא, פריצת הדרך הגיעה על ידי פרשנות מבריקה של האבסורד עצמו.

מי שאחראים להכשרת האבסורד, היו הפיזיקאים ריצ'רד פיינמן וארנסט שטוקלברג. שני אלה הבינו כי מבחינה מתמטית, אלקטרון עם אנרגיה שלילית שנע קדימה בזמן (מהעבר לעתיד), שקול מתמטית לאלקטרון עם אנרגיה חיובית שנע אחורה בזמן (מהעתיד לעבר). במילים פשוטות: את הבעיה של אלקטרון עם אנרגיית מנוחה שלילית ניתן לפתור – לפחות באופן עקרוני – אם נאמר כי מדובר למעשה באלקטרון "נורמלי" בעל אנרגיה חיובית, אלא שהוא פשוט נע אחורה בזמן. הבעיה היא שאנחנו כמובן מסוגלים לראות רק עצמים שנעים קדימה בזמן, ולכן בפועל לא נוכל לצפות באלקטרון עם אנרגיה חיובית שנע אחורה בזמן.

אלא שכאן הם הבינו דבר נוסף: אלקטרון עם אנרגיה חיובית שנע אחורה בזמן – שבו לעולם לא נוכל לצפות – גם הוא שקול מתמטית לאלקטרון עם אנרגיה חיובית שנע קדימה בזמן, עם שינוי אחד קטן: במקום מטען חשמלי שלילי צריך להיות לו מטען חשמלי חיובי.

לסיכום:

1. משוואת דיראק חוזה אלקטרון עם מטען שלילי ואנרגיה שלילית שנע קדימה בזמן. לא יכול להיות. אבל זה שקול מתמטית ל:
2. אלקטרון עם מטען שלילי ואנרגיה חיובית שנע אחורה בזמן. לא נוכל למצוא אותו. אבל זה שקול מתמטית ל:
3. אלקטרון עם מטען חיובי ואנרגיה חיובית שנע קדימה בזמן! אולי זה קיים, מי יודע…

הבנתם את הטרלול? הטריק המתמטי כאן הוא להראות כי את התחזית האבסורדית של משוואת דיראק בדבר קיומו של אלקטרון עם אנרגיה שלילית ומטען חשמלי שלילי, ניתן פשוט להמיר לתחזית שקולה מתמטית שאומרת שחלקיק כזה יראה לעינינו כמו אלקטרון עם אנרגיה חיובית ומטען חשמלי חיובי.

לימים, החלקיק התיאורטי הזה – אלקטרון עם מטען חיובי – נקרא בשם: פוזיטרון (קיצור של: Positive Electron), וכאמור לעיל הוא דומה לאלקטרון בכל תכונותיו חוץ מדבר אחד: המטען החשמלי; לאלקטרון יש מטען שלילי ולפוזיטרון יש מטען חיובי. מבחינה מתמטית, הפוזיטרון שנע קדימה בזמן מהעבר לעתיד אצלנו במעבדה, הוא למעשה אלקטרון שהחליט לנוע אחורה בזמן, מהעתיד לעבר.

התחזית האבסורדית של משוואת דיראק קיבלה כעת מועמד שאפשר לצאת ולחפש: פוזיטרון. החלקיק הזה הוא האח התאום של האלקטרון, וזהה לו בכל דבר חוץ מהמטען. אם קיים חלקיק שכזה, כל מי שלעג לדיראק יצטרך לאכול את הכובע ולבקש עוד.

כל האמור לעיל אלו להטוטים מתמטיים שכבודם במקומם מונח, אך באותם ימים העולם נראה מושלם עם אלקטרונים ופרוטונים בלבד, וכל ניסיון להוסיף חלקיק נוסף לאוסף לא התקבל כל כך בקלות. פאולי אף טען בנחרצות שאם המשוואה של דיראק מחייבת את קיומם של פוזיטרונים – או: אלקטרונים עם מטען חיובי – הרי שזו הוכחה לכך שהמשוואה עצמה פשוט שגויה. נראה כי הקהילה המדעית העדיפה להמתין לתיאוריה מעודכנת יותר, כזו שלא תדרוש מהם להאמין בחלקיק מסוג חדש.

ואז הגיע קארל אנדרסון, פיזיקאי צעיר ונמרץ מהמכון הטכנולוגי של קליפורניה (Caltech). אנדרסון בכלל לא ניסה למצוא פוזיטרונים. למעשה, הוא הודה מאוחר יותר שהיה עסוק מדי בתפעול המכשור שלו מכדי למצוא זמן לקרוא את המאמרים המורכבים של דיראק, המטרה שלו הייתה אחרת לגמרי: למדוד את ספקטרום האנרגיה של חלקיקי קרינה קוסמית. אנדרסון עבד עם תא ערפל – מיכל אטום מלא באדי מים או אלכוהול רוויים. כאשר חלקיק טעון עובר דרך התא, הוא משאיר שובל לבן ודק שאפשר לצלם. אם מוסיפים שדה מגנטי חזק, מסלול החלקיק מתעקם: חלקיק בעל מטען שלילי פונה לכיוון אחד, וחלקיק בעל מטען חיובי פונה לכיוון השני.

ב-2 באוגוסט 1932, אנדרסון לכד בעדשת המצלמה שלו את התמונה ששינתה את הכל. הוא זיהה מסלול של חלקיק שמתנהג בדיוק כמו אלקטרון מבחינת המסה והאנרגיה, אבל מתעקם לכיוון הלא נכון – הכיוון של מטען חיובי. החלקיק המסתורי היה קל כמו אלקטרון, עם מטען זהה בגודל אך הפוך בסימן. את האפשרות כי מדובר בפרוטון אנדרסון פסל מהר מאוד, כי לפרוטון יש מסה הרבה יותר גדולה, והמסלול הנמדד היה הרבה יותר ארוך ממה שפרוטון כבד יכול לספק. לחלקיק החדש הנ"ל אנדרסון קרא בשם: פוזיטרון, ובכך העניק לאנטי-חומר את שמו הרשמי הראשון. מבלי שהתכוון לכך, אנדרסון סיפק את ההוכחה הניסיונית המוחצת לתחזיות האבסורדיות של דיראק ולפרשנות המוזרה של פיינמן ושטוקלברג.

משוואת דיראק כמובן שאינה מוגבלת לאלקטרונים, ולכן אנו יודעים היום כי לכל חלקיק קוונטי "רגיל" ביקום יש תאום המכונה אנטי-חלקיק. באופן כללי, חלקיק ואנטי-חלקיק זהים לחלוטין בתכונות שלהם – כגון: מסה, ספין, אורך חיים וכו' – אך תמיד נושאים מטען חשמלי הפוך.⁷

זוגות חלקיקים שכאלה – חלקיק ואנטי-חלקיק – יכולים להיווצר יש מאַיִן, כביכול. המילה "אַיִן" האמורה כאן אין פירושה כלום ושום דבר, אלא הכוונה שהם יכולים להיווצר לא מתוך חומר קדום כלשהוא, אלא מתוך קיומה של אנרגיה טהורה. למשל, קרינה אלקטרומגנטית בעלת אנרגיה מספקת יכולה להיעלם, להחליף צורה ולהופיע בתור זוג חלקיקי חומר עם מסה של ממש, חלקיק והתאום שלו אנטי-חלקיק. בנוסף, אמנם מלכתחילה הקרינה הייתה חסרת מטען חשמלי, אך בסוף התהליך נשארנו עם שני חלקיקים טעונים, עם מטען זהה בגודל אך הפוך בסימן.

ההיפך נכון באותה מידה: זוג חלקיקי חומר ואנטי-חומר יכולים גם "להתאיין" במידה וייפגשו, כלומר להשמיד את עצמם ולהפוך חזרה לאנרגיה טהורה. הפרשנות של פיינמן ושטוקלברג הופכת כאן למטורפת ממש, וניסח זאת יפה הפיזיקאי היפני יויצ'ירו נאמבו (Yoichiro Nambu), חתן פרס נובל לפיזיקה לשנת 2008:

"היצירה וההשמדה של זוגות חלקיקי חומר ואנטי-חומר המתרחשת בתהליכים קוונטים, אינה אלא שינוי כיוון הזמן של חלקיקים הנעים מהעבר לעתיד או מהעתיד לעבר".

המציאות היא יצור מוזר…

1. למעשה גם גופים גדולים יותר כגון: צבירי אטומים או מולקולות יכולים עדיין להיחשב כגוף קוונטי, אבל לצורך המאמר נגביל את עצמנו לאטומים. [↩]
2. המשוואה נקראת: משוואת קליין-גורדון, על שמו של קליין עצמו והשותף שלו לפיתוח המשוואה, הפיזיקאי וולטר גורדון. בגרסה הראשונה שלה המשוואה עשתה קוונטיזציה לתורת היחסות הפרטית של איינשטיין, אך מאוחר יותר המשוואה הוכללה גם לתורת היחסות הכללית. [↩]
3. ליתר דיוק, במשוואת שרדינגר יש נגזרת ראשונה בזמן ונגזרת שנייה במרחב, מה שגורם לחוסר סימטריה בין זמן למרחב, ולכן משוואת שרדינגר אינה יחסותית. במשוואת קליין יש נגזרת שנייה בזמן ונגזרת שנייה במרחב. במשוואה יחסותית הזמן והמרחב חייבים להופיע באותה דרגת נגזרת, ולכן משוואת קליין היא יחסותית. כאמור, הנגזרת השנייה בזמן מייצרת מגוון בעיות והראשית שבהם היא שבמשוואת קליין צריך לדעת תנאי התחלה לא רק על פונקציית הגל, אלא גם על הנגזרת שלה. [↩]
4. The Evolution of the Physicist's Picture of Nature, Scientific American, May 1963 (Volume 208, Number 5 [↩]
5. כאמור לעיל, שרדינגר יצר משוואה מסדר ראשון בזמן ומסדר שני במרחב, ולכן היא לא יחסותית. קליין יצר משוואה מסדר שני גם בזמן וגם במרחב, ולכן היא משוואה יחסותית אבל מייצרת בעיות אחרות בגלל הנגזרת הנוספת בזמן. המשוואה של דיראק היא מסדר ראשון בזמן וגם מסדר ראשון במרחב. [↩]
6. הסיבה לכך היא כי משוואת דיראק כללה בתוכה גם את תכונת הספין של האלקטרון, תכונה שגורמת לרמות האנרגיה באטום המימן להתפצל. [↩]
7. יש תכונות קוונטיות נוספות שמתהפכות בין זוג תאומים שכאלה, כגון: מטען צבע, מספר לפטוני או מספר באריוני, אך לא ניכנס לכך במסגרת המאמר. כמו כן, חלקיק ללא מטען חשמלי הוא האנטי-חלקיק של עצמו. לדוגמה: לפוטון אין מטען חשמלי, אין לו מטען צבע והוא לא נושא מספרים קוונטיים אחרים שצריכים להתהפך. לכן, אין דרך להבדיל בין פוטון לאנטי-פוטון. גם בוזון-היגס נחשב לאנטי-חלקיק של עצמו. לגבי הנוטרינו, זו אחת השאלות הפתוחות בפיזיקה. הנוטרינו הוא חלקיק ללא מטען, ופיזיקאים מנסים לגלות כיום האם הוא האנטי-חלקיק של עצמו או שיש לו אנטי-חלקיק נפרד. [↩]