חישוב יחידות פלנק ע"י אנליזה ממדית

בפוסט כאן למדנו על האפשרות כיצד ניתן לחשב מערכת יחידות של אורך, זמן, מסה ומטען, מתוך ארבעת קבועי הטבע: \(\hbar\), \(K\), \(G\) ו- \(c\). לשם הדגמה, נבדוק כיצד ניתן לחשב את זמן-פלנק \({{T}_{p}}\) מתוך קבועי הטבע הנ"ל.

נצפה כי זמן-פלנק \({{T}_{p}}\) יהיה מכפלה של קבועי הטבע, כאשר החזקה של כל קבוע אינה ידועה:

\({{T}_{p}}={{c}^{\alpha }}\cdot {{K}^{\beta }}\cdot {{G}^{\gamma }}\cdot {{\hbar }^{\delta }}\)

אנו יודעים כי כל קבועי הטבע נמדדים ביחידות: של אורך \(\left[ L \right]\), זמן \(\left[ T \right]\), מסה \(\left[ M \right]\), ומטען \(\left[ Q \right]\), באופן הבא:

\(\displaystyle c=\frac{{\left[ L \right]}}{{\left[ T \right]}}\)

\(\displaystyle G=\frac{{{{{\left[ L \right]}}^{3}}}}{{\left[ M \right]\cdot {{{\left[ T \right]}}^{2}}}}\)

\(\displaystyle K=\frac{{\left[ M \right]\cdot {{{\left[ L \right]}}^{3}}}}{{{{{\left[ T \right]}}^{2}}\cdot {{{\left[ Q \right]}}^{2}}}}\)

\(\displaystyle \hbar =\frac{{{{{\left[ L \right]}}^{2}}\cdot \left[ M \right]}}{{\left[ T \right]}}\)

נציב בביטוי של זמן-פלנק, ונקבל:

\(\displaystyle {{T}_{p}}=\frac{{{{{\left[ L \right]}}^{\alpha }}{{{\left[ M \right]}}^{\beta }}{{{\left[ L \right]}}^{{3\beta }}}{{{\left[ L \right]}}^{{3\gamma }}}{{{\left[ L \right]}}^{{2\delta }}}{{{\left[ M \right]}}^{\delta }}}}{{{{{\left[ T \right]}}^{\alpha }}{{{\left[ T \right]}}^{{2\beta }}}{{{\left[ Q \right]}}^{{2\beta }}}{{{\left[ M \right]}}^{\gamma }}{{{\left[ T \right]}}^{{2\gamma }}}{{{\left[ T \right]}}^{\delta }}}}\)

נכנס איברים, ונקבל:

\({{T}_{p}}={{\left[ L \right]}^{{\alpha +3\beta +3\gamma +2\delta }}}{{\left[ M \right]}^{{\beta +\delta -\gamma }}}\cdot \)

\(\cdot {{\left[ Q \right]}^{{-2\beta }}}{{\left[ T \right]}^{{-\alpha -2\beta -2\gamma -\delta }}}\)

המכפלה של כל הביטויים הנ"ל חייבת בסופו של דבר להיות שווה ליחידת זמן, ולכן נוכל לקבל תנאים על החזקות, ולרשום ארבע משוואות:

\({\beta =0}\)

\({\alpha +3\beta +3\gamma +2\delta =0}\)

\({\beta +\delta -\gamma =0}\)

\({-\alpha -2\beta -2\gamma -\delta =1}\)

נציב \({\beta =0}\) בכל מקום, וכן \({\delta =\gamma}\) מהמשוואה השלישית, ונקבל שתי משוואות:

\({\alpha +5\delta =0}\)

\({-\alpha -3\delta =1}\)

הפתרון של המשוואות, הוא:

\(\displaystyle \delta =\gamma =\frac{1}{2}\)

\(\displaystyle \alpha =-\frac{5}{2}\)

ולכן נקבל:

\(\displaystyle {{T}_{p}}={{c}^{{-\frac{5}{2}}}}\cdot {{K}^{0}}\cdot {{G}^{{\frac{1}{2}}}}\cdot {{\hbar }^{{\frac{1}{2}}}}=\sqrt{{\frac{{\hbar G}}{{{{c}^{5}}}}}}\)

וקיבלנו את הביטוי עבור זמן-פלנק. בצורה דומה ניתן לחשב גם את הביטויים עבור אורך-פלנק, מסת-פלנק ומטען-פלנק.