יחידות פּלַנְק: מערכת היחידות של אלוהים

בפוסט הקודם הצגתי את המודל הסטנדרטי של פיזיקת החלקיקים. אחד מעוקבי הבלוג שאל אותי בפייסבוק לגבי מושג לא ברור שנקרא: פּלַנְק, מושג שעולה שוב ושוב בעיקר בכל מה שקשור לפיזיקת החלקיקים, המפץ הגדול ותורת המיתרים.

מה זה הפלנק הזה? זה חלקיק? זה כוח? אולי זה תופעה או אפקט כלשהוא?

אז החלטתי להרים את הכפפה ולהסביר את כל העסק, בגלל שזה אחד הרעיונות המקוריים והיפים בפיזיקה המודרנית. אני הייתי די מופתע כשלמדתי על זה בפעם הראשונה, כי מדובר בדרך חדשה, מקורית ודי מדהימה להסתכל על העולם הפיזיקלי. אז כנסו למצב של תשומת לב, כי אציג פה כמה רעיונות שנראים במבט ראשון מעט מוזרים, אבל הם שווים כל שקל.

אי-שוויון אטומי (תרתי משמע)

בתור התחלה, נסתכל על אטום המימן. מדובר באטום הפשוט ביותר בטבע, המורכב משני חלקיקים בלבד: פרוטון (שהוא למעשה גרעין האטום), ואלקטרון שמקיף את הגרעין, וזהו. כמו "מערכת שמש" קטנה שכזו, שכוללת רק את השמש וכוכב לכת בודד.

אוקיי, בין הפרוטון והאלקטרון באטום המימן פועלים שני כוחות:

1. כוח המשיכה הגרביטציוני: זה הכוח המוכר והידוע שכולכם שמעתם עליו, שפועל בין כל שתי מסות ביקום; החל משני גרגירי חול על החוף, ועד לשמש וכוכבי הלכת. עוצמת הכוח נקבעת ע"י קבוע הגרביטציה \(G\), שערכו הוא: \(G=6.67\cdot {{10}^{{-11}}}\), במערכת היחידות המקובלת.¹
2. כוח משיכה חשמלי: זה הכוח שפועל בין שני מטענים. במקרה של אטום המימן, לפרוטון יש מטען חשמלי חיובי ולאלקטרון מטען שלילי. עוצמת הכוח נקבעת על ידי הקבוע החשמלי \(K\), שערכו הוא: \(K=9\cdot {{10}^{9}}\), במערכת היחידות המקובלת.²

אבל! חישוב פשוט מאוד (שעשיתי בשבילכם כאן), מגלה כי בין הפרוטון והאלקטרון באטום המימן, הכוח החשמלי חזק פי \({{10}^{{40}}}\) מהכוח הגרביטציוני!!! זו לא טעות כתיב, זה באמת \({{10}^{{40}}}\), רק שיהיה ברור. מילא היה מדובר ביחס של פי 10, או פי 1000… אבל פי \({{10}^{{40}}}\) ??? איך זה יכול להיות? מה פשר הדבר?

שאלה זו הטרידה את הפיזיקאי הגרמני מקס פלנק (1858-1947), אבי תורת הקוונטים. כראוי לפיזיקאי דגול, פלנק חשב בגדול ולא הוטרד רק מהשוני בערכים של שני הקבועים המוזכרים לעיל, \(G\) ו- \(K\); פלנק התבונן על שני קבועי טבע נוספים, לשניהם יש חשיבות עליונה בפיזיקה:

1. מהירות האור: מסומנת באות \(c\), וערכה הוא: \({c=299,792,458}\) מטרים לשניה. מהירות האור \(c\) היא הקבוע היסודי ביותר בתורת היחסות של אלברט איינשטיין. לדוגמה: לפי תורת היחסות, תנועה במהירות גבוהה גורמת להאטת הזמן, והערך של מהירות האור \(c\) הוא למעשה מדד לכמה מהר יש לנוע כדי שאפקטים של האטת הזמן יתחילו לשחק תפקיד משמעותי.
2. קבוע דּירַק: מסומן באות \(\hbar\), וערכו הוא: \(\hbar =1.05\cdot {{10}^{{-34}}}\), במערכת היחידות המקובלת.³ הקבוע הזה נקרא על שמו של הפיזיקאי הבריטי פול דירק, והוא למעשה הקבוע היסודי של תורת הקוונטים.⁴ כשם ש- \(G\) מופיע במשוואות התנועה של ניוטון, כך \(\hbar\) מופיע במשוואת שרדינגר, שהיא "משוואת התנועה" של חלקיק קוונטי.

הנה סיכום קצר של ארבעת הקבועים:

שם	סמל	ערך ביחידות המקובלות
קבוע הגרביטציה	\(G\)	\(\displaystyle 6.67\cdot {{10}^{{-11}}}\)
הקבוע החשמלי	\(K\)	\(\displaystyle 9\cdot {{10}^{{9}}}\)
מהירות האור	\(c\)	\({299,792,458}\)
קבוע דּירַק	\(\hbar\)	\(\displaystyle 1.05\cdot {{10}^{{-34}}}\)

כפי שבטח שמתם לב בעצמכם, הערכים של כל ארבעת הקבועים האלה, שונים משמעותית אחד מהשני; קל לראות כי מדובר בהבדלים של עשרות סדרי גודל!!! פה בדיוק נכנסת הגאונות של מקס פלנק, כי הוא שאל את עצמו שאלה פשוטה, אבל רדיקלית:

האם קיימת מערכת יחידות שבה לכל קבועי הטבע האלה, יהיה ערך השווה בדיוק ל-1?

אני יודע מה אתם חושבים… במבט ראשון זה נראה כמו סתם תרגיל של פיזיקאי משועמם שאין לו משהו אחר לעשות בחיים, והוא מחפש איך לשבור את הראש…

אבל חשבו לרגע על ההשלכות של השאלה הזו; מה זה בעצם אומר שהערך של כל ארבעת הקבועים האלה הוא בדיוק 1? זה אומר שבמערכת כזו, כל האפקטים של כל תחומי הפיזיקה באים לידי ביטוי בדיוק באותה מידה, וכולם יחד משחקים תפקיד משמעותי ואף אחד לא משתלט על הבמה על חשבון האחר!

אסביר זאת שוב במילים פשוטות:

1. בעולם המבוסס על מערכת שכזו, המשיכה הגרביטציונית והמשיכה החשמלית משחקות תפקיד חשוב באותה מידה בדיוק, הרי \({G=1}\) בדיוק כמו ש- \({K=1}\)! חסל סדר כוח גרביטציוני חלשלוש וכוח חשמלי בריון.
2. בעולם המבוסס על מערכת שכזו, חייבים לקחת בחשבון – באותה מידה – גם אפקטים של תורת הקוונטים (כי \({\hbar=1}\)) וגם אפקטים של תורת היחסות (כי \({c=1}\))!

זו הייתה המשימה של מקס פלנק, לנסות להפוך את ערכם של כל קבועי הטבע הללו להיות שווים בדיוק ל-1.

הפוך, גוטה, הפוך…

כדי לפתור את הבעיה, מקס פלנק היה צריך לחשוב 180 מעלות הפוך מהמקובל. פלנק הבין כי על פי השיטה המקובלת, מערכת היחידות שבה אנו מודדים אורך, זמן, מסה, מטען וכו' נקבעה מסיבות היסטוריות, אי שם בצרפת של סוף המאה השמונה עשרה.⁵ אם קבועי הטבע מחושבים בהתאם ליחידות השרירותיות הללו, אז מה הפלא אם יש להם ערכים מוזרים, מגעילים וללא כל היגיון?

לכן פלנק הציע ללכת בדיוק בדרך ההפוכה:

במקום לקבוע שרירותית את ערכם של היחידות ומתוכם לחשב את קבועי הטבע, עדיף לתת לקבועי הטבע עצמם לקבוע את ערכם של היחידות!

הבנתם? קבועי הפיזיקה בעצמם יהפכו להיות המקור למערכת היחידות! לדוגמה: מעתה והלאה, יש להתייחס למהירות-האור \(c\) בתור "יחידת-מהירות", לקבוע \(G\) בתור "יחידת-גרביטציה", וכן הלאה, ומתוך כל ארבעת הקבועים האלה נוכל לגזור את יחידות האורך, הזמן, המסה, והמטען.

חייבים להודות שזה פשוט גאוני… זה לא סתם גאוני, זו למעשה שיטה שתהיה נכונה בכל זמן, בכל מקום, ולכל תרבות, אפילו תרבות חוצנית. ובמילותיו של מקס פלנק עצמו:

נוכל לקבוע מערכת יחידות "טבעיות", בהתאם לקבועי הפיזיקה היסודיים ולא בהתאם לאובייקטים פיזיים, ולכן מערכת שכזו תשמור על משמעותה לנצח ותהיה נכונה לכל התרבויות ביקום, כולל תרבויות חוצניות ולא-אנושיות.

מקס פלנק, 1899.

למעשה מדובר במערכת יחידות קוסמית, מערכת שאלוהים עצמו משתמש בה… אני מדבר ברצינות, הרי איזו ברירה יש לו? זו מערכת שנובעת באופן מתמטי ישירות מתוך קבועי הטבע שהוא עצמו יצר, לכן במובן מסויים היא כפויה עליו.

מקס פלנק הצליח כמובן במשימה, ומצא דרך להגדיר – רק באמצעות קבועי הטבע – מערכת יחידות של אורך, זמן, מסה ומטען.⁶ כל היחידות הללו נקראות על שמו:

1. אורך-פלנק: \({{L}_{p}}\)
2. זמן-פלנק: \({{T}_{p}}\)
3. מסת-פלנק: \({{M}_{p}}\)
4. מטען-פלנק: \({{Q}_{p}}\)

השיטה שבה השתמש פלנק כדי לפתור את הבעיה נקראת: אנליזה ממדית, ולמי מכם שיש עצבים וסבלנות לקצת מתמטיקה, אז שחזרתי את החישוב של פלנק בקישור כאן, כי שיטת החישוב מגניבה ברמות. מכל מקום, חשוב יותר שתראו – בטבלה להלן – את התוצאה הסופית של החישובים שלו, ולאחר מכן תבינו את המסקנות הנובעות מכך. בזמן שאתם מסתכלים בטבלה, אל תשכחו: יחידות-פלנק נובעות מתוך קבועי הטבע, ולא להיפך! אני יודע שזו דרך מוזרה להסתכל על כל העסק, אבל זו בדיוק הנקודה.

שם יחידה	הקשר לקבועי הטבע	הערך של יחידת-פלנק במערכת היחידות המקובלת
אורך-פלנק	\(\displaystyle {{L}_{p}}=\sqrt{{\frac{{\hbar G}}{{{{c}^{3}}}}}}\)	\(\displaystyle 1.6\cdot {{10}^{{-35}}}\) מטר
זמן-פלנק	\(\displaystyle {{T}_{p}}=\sqrt{{\frac{{\hbar G}}{{{{c}^{5}}}}}}\)	\(\displaystyle 5.4\cdot {{10}^{{-44}}}\) שניה
מסת-פלנק	\(\displaystyle {{M}_{p}}=\sqrt{{\frac{{\hbar c}}{G}}}\)	\(\displaystyle 2.8\cdot {{10}^{{-8}}}\) קילוגרם
מטען-פלנק	\(\displaystyle {{Q}_{p}}=\sqrt{{\frac{{\hbar c}}{K}}}\)	\(\displaystyle 19\cdot {{10}^{{-19}}}\) קולון

מסקנות

במבט ראשון, הטבלה נראית כמו אוסף של נוסחאות משמימות ומספרים יבשים. אז תרשו לי להסביר מה ניתן להסיק מהתוצאות.

מסקנה ראשונה

שימו לב מה קורה לקבועי הפיזיקה אם מודדים אותם ביחידות פלנק. קחו לדוגמה את מהירות האור; נסו לראות מה קורה אם במקום למדוד את מהירות האור ביחידות המקובלות – כלומר: מטר חלקי שניה – נמדוד אותה ביחידות פלנק, כלומר: אורך-פלנק \({{L}_{p}}\), חלקי זמן-פלנק \({{T}_{p}}\):

\(\displaystyle \frac{{{L_p}}}{{{T_p}}} = \frac{{\sqrt {\frac{{\hbar G}}{{{c^3}}}} }}{{\sqrt {\frac{{\hbar G}}{{{c^5}}}} }} = \sqrt {\frac{{\hbar G}}{{{c^3}}}\frac{{{c^5}}}{{\hbar G}}} = \sqrt {{c^2}} = c\)

ראיתם מה קרה? שימוש ביחידות פלנק מחזיר אותנו חזרה לקבוע \(c\) עצמו! זה אומר שהערך של מהירות האור שווה בדיוק ל-1, כי במשך זמן-פלנק אחד, האור מתקדם מרחק השווה לאורך-פלנק אחד!⁷

אפשר כמובן להוכיח זאת (בקישור כאן) גם עבור שאר הקבועים: \(G\), \(K\), ו- \(\hbar\), ולהראות שביחידות פלנק, הערך של כולם שווה בדיוק ל-1, וזה מדהים.

מסקנה שנייה

שימו לב למטען-פלנק: \(19\cdot {{10}^{{-19}}}\) קולון, וערכו השוואה למטען של פרוטון ואלקטרון, השווה ל: \(1.6\cdot {{10}^{{-19}}}\) קולון. במילים פשוטות: מטען-פלנק גדול פי 12 ממטען פרוטון ואלקטרון.

עכשיו שימו לב למסת-פלנק: \(21.8\cdot {{10}^{{-9}}}\) ק"ג. וערכו השוואה למסה של פרוטון ואלקטרון, השווה ל: \(1.67\cdot {{10}^{{-27}}}\) (לכל היותר). כעת נקבל כי מסת-פלנק גדולה פי \({{10}^{{19}}}\) ממסת פרוטון ואלקטרון!

עכשיו ברור מדוע בין פרוטון ואלקטרון כוח הגרביטציה הרבה יותר חלש מהכוח החשמלי!

הסיבה אינה בגלל ההבדל המספרי בערכם של הקבועים \({G}\) ו- \({K}\), הרי ביחידות פלנק שניהם שווים ל-1. הסיבה מדוע כוח הגרביטציה חלש כל כך, היא כי המסה של הפרוטון והאלקטרון קטנה מאוד ביחס למסת-פלנק! לעומת זאת, הכוח החשמלי חזק הרבה יותר, כי המטען של פרוטון ואלקטרון קטן רק פי 12 ממטען-פלנק!

במילים פשוטות:

כשאלוהים ברא את העולם, הוא אכן עשה אַפְלָיָה; אבל לא בין הכוחות, אלא בין המסה והמטען של הפרוטון והאלקטרון: את המסה הוא חילק להם בקמצנות נוראית, אבל במטען חשמלי הוא דווקא פינק אותם ביד רחבה!

בקיצור, יש להם מעט מאוד מסה, אבל המון מטען (כמובן ביחס למסה ולמטען "הטבעיים" של פלנק).

מסקנה שלישית

שימו לב עד כמה קטן הערך של זמן-פלנק: \(5.4\cdot {{10}^{{-44}}}\) שניות! זו הסיבה מדוע אין לנו היום מודל פיזיקלי שיכול לתאר את הדינמיקה של היקום בשבריר השנייה שלאחר המפץ הגדול, שהרי כאמור לעיל, במשך אותו זמן חייבים לקחת בחשבון גם את תורת היחסות וגם את תורת הקוונטים, ונכון להיום אין לנו תיאוריה מוכחת שמשלבת בין שתי התורות.

כנ"ל לגבי אורך-פלנק, הערך שלו מאוד קטן: \(1.6\cdot {{10}^{{-35}}}\) מטרים! רק לשם השוואה, לחלקיקים תת-אטומיים – כמו הפרוטון למשל – יש גודל של כ- \({{10}^{{-15}}}\) בערך, פי \({{10}^{{20}}}\) מאורך-פלנק! בשבריר השניה שלאחר המפץ הגדול, האנרגיה והטמפרטורה היו כל כך גבוהות, שאפילו חלקיקים תת-אטומיים לא היו יכולים להיווצר. אי אילו אובייקטים שאולי היו קיימים באותם רגעים, היו לכל היותר מסדר גודל של אורך-פלנק.

במילים פשוטות: יחידות פלנק מסמנות את גבול הפיזיקה המודרנית; אין לנו היום מודל שמסוגל לשלב בין תורת היחסות לתורת הקוונטים ולתאר את הפיזיקה של אותם תנאים.

סיכום

אז מה היה לנו כאן? בתחילת הדרך, תהינו מדוע קבועי הטבע שונים כל כך אחד מהשני. פתרנו את הבעיה באמצעות שינוי נקודת המבט: במקום להחליט שרירותית על היחידות שבאמצעותם נמדוד את קבועי הטבע, אפשר במקום זאת לחפש מהם היחידות האופייניות ביותר לטבע שלנו, היחידות שבהם כל תחומי הפיזיקה משחקים תפקיד חשוב באותה מידה. את היחידות האלה מצא מקס פלנק, ולערכים שלהם יש חשיבות לא קטנה.

1. במערכת היחידות SI, לקבוע G יש יחידות של מטר מעוקב לק"ג לשניה בריבוע. [↩]
2. במערכת היחידות SI, לקבוע K יש יחידות של ק"ג כפול מטר מעוקב לשניה בריבוע לקולון בריבוע. [↩]
3. במערכת היחידות SI, לקבוע דירק יש יחידות של מטר מרובע כפול ק"ג לשניה. [↩]
4. קבוע דירק נקרא גם קבוע פלנק המצומצם, כי הוא למעשה שווה לקבוע פלנק המקורי לחלק לשני פאי. [↩]
5. להרחבה, ראו את סדרת הפוסטים שכתבתי בנושא, על הקילוגרם, המטר והשניה. [↩]
6. פלנק הוסיף וחישב גם יחידת טמפרטורה שנגזרת מתוך קבוע טבע נוסף הנקרא: קבוע בולצמן, אך מסיבות דידקטיות לא הוספתי זאת כאן. [↩]
7. באותה מידה אפשר למדוד זמן בשנים, ואורך בשנות-אור. ביחידות אלו, ערכה של מהירות האור הוא גם 1, כי האור מתקדם שנת-אור אחת במשך שנה אחת. אמנם, שימוש ביחידות אלה לא יבטיח כי הערך של שאר קבועי הטבע גם יהיה שווה ל-1. [↩]