הקִילוֹגְרָם, לא מה שחשבתם. (טרילוגיית היחידות, חלק א')

יום שישי, יצאתם לשוק לקנות פיצוחים לשבת. אתם מבקשים מהמוכר קילו גרעיני אבטיח. המוכר ממלא שקית בכמה כפות של גרעינים, ושם על המשקל. וואלה! יצא בדיוק קילוגרם אחד, לא פחות ולא יותר.

אבל רגע אחד, איך המשקל עצמו יודע שהכמות שמונחת עליו היא קילוגרם אחד? טוב, זה קל; ברור כי המכשיר כּוּיַל בתהליך הייצור שלו; המכשיר "יודע" מראש לשייך מספר לכל מסה שמונחת עליו. אבל תשובה זו אינה פותרת את הבעיה, אלא רק דוחפת את השאלה שלב אחד אחורה: איך מי שכייל את המכשיר יודע מה זה קילוגרם?

האמת, מה יודע או לא יודע מי שכייל את המכשיר לא ממש מעניין, השאלה החשובה היא זו:

האם אתם יודעים מה זה קילוגרם?

זו שאלה כל כך בסיסית, שאלה שנראית מובנת מאליה, ודווקא משום כך אף אחד (כמעט) לא יודע את התשובה. הפסיקו לקרוא לרגע, ונסו לענות על השאלה הפשוטה: מה זה קילוגרם? אם תחשבו על זה רגע, כולנו גדלנו לתוך עולם שבו הקילוגרם פשוט קיים, אבל אף אחד לא יודע מה זה בדיוק.

אגלה לכם סוד: אפילו פיזיקאים לא יודעים, כי הנושא פשוט אינו בתוכנית הלימודים; כבר בהרצאה הראשונה, בקורס הראשון (מכניקה ניוטונית) של התואר הראשון בפיזיקה, המרצה פשוט מצהיר כי מסה נמדדת בקילוגרמים, והוא פשוט מניח שכולם יודעים במה מדובר. בפועל, אף אחד מהתלמידים אינו שואל מה זה בדיוק קילוגרם, אף על פי שאף אחד לא יודע את התשובה.

איך קילוגרם נולד

אוקיי, כדי להבין מה זה קילוגרם, נחזור מעט אחורה. כולנו יודעים כי לפני שמכשירים אלקטרוניים נכנסו לשימוש, לכל מוכר בשוק היו: 1. מאזניים, 2. סט של משקולות. אם הייתם רוצים לקנות קילוגרם אחד של פיסטוקים, המוכר היה שולף גוש מתכת ספציפי בעל מסה של קילוגרם אחד בדיוק, מניח אותו על צד אחד של המאזניים, ועל הצד השני מוסיף פיסטוקים עד שהמאזניים – ניחשתם נכון – מאוזנות.

ברור כי בתקופות שונות בהיסטוריה ובמקומות שונים בעולם, לא בהכרח השתמשו בקילוגרם כדי למדוד מסה; היו מגוון יחידות מידה שונות ומשונות כדי למדוד מסה, אבל זו לא הנקודה החשובה. העובדה שחשוב לדעת היא שהיה דרוש אובייקט פיזי – גוש מתכת, למשל – כדי לייצג את יחידת המידה שבפועל נמצאת בשימוש באותו מקום. בנוסף, כדי לקיים מערכת מסחר תקינה, כל שלטון מקומי היה חייב לקבוע תקנים מחמירים ולאכוף אותם, כגון: צורה אחידה למשקולות, איסור להשתמש במתכת שמחלידה וכו'.

לאחר התפשטות האימפריות האירופאיות לכל קצווי תבל, הלך וגבר הצורך לקבוע מידה אחידה, קבועה ובלתי משתנה שבאמצעותה נוכל למדוד מסה. לכן בשנת 1799, האקדמיה הצרפתית למדעים הכינה גליל מתכת העשוי כולו מפלטינה, שמסתו שווה – במידת הדיוק הגבוהה ביותר האפשרית של אותה תקופה – למסה של ליטר אחד של מים בטמפרטורה של 4 מעלות צלזיוס.¹

וכך נולד הקילוגרם.

חשוב להדגיש: לאחר שהגליל נוצר, הוא עצמו כעת הקילוגרם, בה"א הידיעה. אי אפשר – בהגדרה – למדוד אותו בהשוואה למסה אחרת, כי אין קילוגרם "אחר" חוץ ממנו. במילים אחרות: אפילו אם נרצה כעת למדוד מה המסה של ליטר מים בטמפרטורה של 4 מעלות, עדיין נצטרך להשוות את המים אל הגליל, ולא להיפך! זכרו כי כל המטרה היא לקבע את הגדרת הקילוגרם כך שלא תשתנה לעולם, וברור כי אי אפשר להשתמש בליטר מים כמסת ייחוס. מים מתאדים וקשה לשמר אותם, לכן הגליל נוצר – באופן חד פעמי – בהתאם למסת ליטר מים, ובאותו רגע הפך בעצמו להיות הקילוגרם. זו הסיבה מדוע הגליל נשמר בקפדנות בארכיון הלאומי של צרפת, והעתקים שלו יוצרו על פי דרישה כדי שגם למדינות אחרות יהיה אובייקט פיזי שמייצג את הקילוגרם הסטנדרטי.

כל העסק עבר שדרוג מסוים לאחר שנת 1875 עקב הקמת הלשכה הבין לאומית למידות ומשקלות.² הלשכה החליפה את הגליל הקיים בגליל חדש ומשודרג, שנעשה מתערובת של פלטינה ואירידיום; תערובת שהקנתה לגליל קשיחות גבוהה יותר, מינימום התפשטות תרמית ועמידות גבוהה יותר נגד חמצון. הגליל החדש נוצר כך שאפילו אם היו הבדלים בין המסה שלו למסה של הגליל הקודם, הבדלים אלו ממילא היו מעבר ליכולת המדידה של אותה תקופה, ולכן בשנת 1889 הגליל החדש הפך להיות הקילוגרם.

מכל מקום, ההבדל המשמעותי לא נובע משדרוג התכונות של הגליל; זה טוב ויפה, אבל זו לא הנקודה המכרעת. מדובר דווקא בכמות ההעתקים שנוצרו לגליל החדש ובמעקב אחריהם:

• שישה העתקים נוצרו ונשמרו ביחד עם המקור באותה כספת.
• עשרה העתקים נוספים נוצרו לצורך שימוש מעשי שוטף, בעיקר כיול.
• ארבעים העתקים נוספים הופצו למדינות שונות בעולם, ועם השנים – ככל שמדינות נוספות הצטרפו לארגון – מספרם גדל לכמעט מאה העתקים (יש אחד גם בישראל).³

וכאן התחילו הצרות.

הגליל של היום זה לא הגליל של אתמול

כאמור לעיל, כל המטרה היא להגדיר את הקילוגרם פעם אחת וזהו; אם נצטרך להתעסק עם הגדרת הקילוגרם כל שני וחמישי, לא עשינו כלום. ברור כי יצאנו מנקודת הנחה האומרת שאם נייצר גליל מתכת שיגדיר את הקילוגרם ונשמור עליו בסביבה מבוקרת בשבע עיניים, אז מסת הגליל לא תשתנה לעולם, או לפחות היא תישאר קבועה לאורך המון, המון, ה-מ-ו-ן שנים. זו הייתה טעות.

אחרי כמה עשרות שנים בלבד כבר היה ברור כי הקילוגרם משתנה. איך יודעים? זכרו כי אי אפשר באמת לדעת אם מסת הגליל המקורי השתנתה. גם אם המסה שלו באמת השתנתה, אין לנו למה להשוות אותו, הרי הוא עצמו הקילוגרם! אבל אפשר להשוות אל הגליל המקורי את המסה של ההעתקים שלו.

ההשוואה הראשונה התבצעה בשנת 1948, ומיד היה ברור כי מסת ההעתקים השתנתה. מדובר בהבדלים של מיקרו-גרמים, כמות מזערית ביחס לקילוגרם המקורי, אך אלו היו הבדלים מובהקים וברי-מדידה. בשנת 1989 – מאה שנים בדיוק לאחר הייצור של הגליל המקורי וההעתקים שלו – בוצעה השוואה נוספת. המצב רק נהיה יותר גרוע; אפשר לקבוע בוודאות כי המסה של כל ההעתקים הולכת ומשתנה עם הזמן. יש לזכור כי הבעיה אינה יכולה להיפתר על ידי מעקב תקופתי ותיעוד מוקפד של השינויים. הסיבה פשוטה: כל המדידות מתבצעות ביחס לגליל המקורי, לכן אין אפשרות לדעת מי באמת השתנה, המקור או ההעתק. בפועל, אם כל ההעתקים הראו חוסר יציבות במסה שלהם, די ברור כי אין סיבה להניח שדווקא הגליל המקורי יציב לחלוטין.

בשורה התחתונה: זה לא עסק. לא די בכך שהקילוגרם בכבודו ובעצמו הולך ומשתנה עם הזמן, גם אין לנו דרך לדעת את מידת השינוי, כי אין לנו מדידה אבסולוטית, רק מדידה יחסית. אז מה עושים? איך ניתן להגדיר את הקילוגרם באופן מוחלט ובלתי משתנה?

ובכן, במהלך העשורים האחרונים – מאז 1989 – פיזיקאים העלו מספר הצעות איך להגדיר את הקילוגרם מחדש, ולהלן אתמקד באחת מהן.

לספור אטומים בפינצטה

כדי להבין במה מדובר, יש לזכור כי גם אם אנחנו לא מסוגלים לייצר אובייקט פיזי עם מסה קבועה, אין צורך להתייאש כי הטבע עשה זאת בשבילנו, בדמותם של אטומים. קחו לדוגמא את אטום הפחמן. כמו כל אטום אחר בטבע, גם אטום הפחמן מורכב משלושה סוגי חלקיקים תת-אטומיים: אלקטרונים, פרוטונים ונוטרונים. באטום הפחמן יש בדיוק 6 חלקיקים מכל סוג.⁴

למיטב ידיעתנו, המסה של אלקטרון היא קבועה ובלתי משתנה לעולם, וכל האלקטרונים בטבע זהים זה לזה. עובדה זו נכונה גם עבור פרוטונים ונוטרונים, ומכאן נובע כי גם לאטום פחמן בודד יש מסה קבועה ובלתי משתנה לעולם, ומסה זו משותפת לכל אטומי הפחמן ביקום.

אתם כבר בטח מנחשים לאן זה הולך: במקום להגדיר את הקילוגרם באמצעות גליל פלטינה השמור בכספת, נוכל לחשב – ממש לספור – כמה אטומי פחמן דרושים כדי שהמסה הכוללת של כולם יחד תהיה הכי קרובה שאפשר למסה של הקילוגרם שכבר נמצא בשימוש.⁵ החישוב המלא אינו מסובך, אבל הוא אינו טריוויאלי כמו שנדמה במבט ראשון. אם בא לכם להתעמק בנושא, עשיתי בשבילכם את החישוב בקישור כאן. מכל מקום, להלן התוצאה הסופית.

בשורה התחתונה, את המסה של גרם אחד נוכל להגדיר כשווה למסה הכוללת של:

50,184,508,190,229,061,679,538

אטומי פחמן בדיוק. הקילוגרם שווה ל-1000 גרם, לכן בשיטה זו גם הקילוגרם מוגדר אוטומטית. כעת אפשר להיות רגועים; הקילוגרם כבר לא מוגדר על ידי אובייקט מלאכותי מעשה ידי אדם, אלא על ידי מספר ספציפי של אטומי פחמן, שלכל אחד מהם מסה זהה וקבועה לנצח!

בהתאם להגדרה הנ"ל, נעשו ניסיונות בעשורים האחרונים לייצר אובייקט מלאכותי שמספר האטומים שבו יהיה שווה למספר המחושב! זה מדהים, אך ניתן היום ללטש גביש לרמת גימור כל כך גבוהה, עד כדי כך שמתקבל כדור (כמעט) מושלם, כאילו היה מדובר בכדור מתמטי. בעזרת שיטות אינטרפרומטריות⁶ ניתן למדוד את קוטר הכדור עד לרמת דיוק של ננומטר בודד (ומכאן לחשב את הנפח שלו), ובעזרת קריסטלוגרפית X-ray ניתן להסיק על המבנה האטומי של הגביש (ומכאן לדעת את המרחק בין אטום לאטום). משני נתונים אלה – הנפח והמרחק האטומי – אפשר ממש לחשב כמה אטומים יש בתוך הכדור! בדרך זו ניתן להמשיך ללטש את הכדור עוד עוד, עד לקבלת קוטר המתאים בדיוק למספר האטומים שיש בקילוגרם בודד.

בתמונה להלן תוכלו לראות כדור שכזה. מדובר כנראה באובייקט העגול ביותר שנוצר אי פעם; לשם השוואה: אם הכדור הקטן שבתמונה היה בגודל של כל כדור-הארץ, אז הפרש הגבהים בין "ההר" הגבוה ביותר, אל "העמק" הנמוך ביותר היה פחות מ-2.5 מטרים:

ד"ר התחכמות

צר לי לבשר לכם, אבל בפועל שיטת ספירת האטומים לא התקבלה, ונכון להיום הקילוגרם מוגדר בשיטה אחרת. תשאלו למה? התשובה פשוטה: פיזיקאים מאוד אוהבים להתחכם, הם מתים על זה. אז מה הם עשו?

ב-2019, לאחר בחינה מעמיקה של מספר הצעות, הוועדה הבינלאומית הכללית למידות ומשקלות החליטה לאמץ הגדרה אחרת לקילוגרם. כמו מקודם, את הפרטים המלאים תוכלו למצוא בקישור כאן, אבל אפשר לתמצת את הרעיון באופן הבא:

• הפיזיקאים החליטו שיש להגדיר את הקילוגרם על ידי המשוואה המפורסמת של איינשטיין: \(E=m{{c}^{2}}\).
• משוואה זו קושרת בין מסה \(m\) לבין האנרגיה \(E\) הגלומה באותה מסה.
• הקשר בין המסה לאנרגיה מתבצע דרך מהירות האור \(c\).
• על פי המשוואה ברור כי לקילוגרם בודד (\({m=1}\)), יש אנרגיה \(E\) השווה בדיוק ל- \({{c}^{2}}\), מהירות האור בריבוע.

כעת במקום לספור אטומים, הפיזיקאים סופרים פוטונים; למי שלא מכיר, פוטונים אלו החלקיקים המרכיבים את הקרינה האלקטרומגנטית. בניגוד לאטומים, לפוטונים אין מסה, אך יש להם אנרגיה. לכן בשיטה זו – ובדומה מאוד לשיטה הקודמת – אפשר להגדיר את הקילוגרם לא בתור מקבץ של כך וכך אטומי פחמן, אלא בתור מקבץ של כך וכך פוטונים, עם אנרגיה כוללת השווה בדיוק למהירות האור בריבוע!

ללא ספק, זה נשמע מוזר מאוד… למה? כי קילוגרם משמש למדידת מסה של חומר. אז עכשיו במקום להגדיר קילוגרם באמצעות חומר (אטומים), הפיזיקאים מגדירים קילוגרם באמצעות קרינה (פוטונים)!

אלא שזו אינה המוזרות היחידה. שימו לב כי לפי המשוואה של איינשטיין, \(E=m{{c}^{2}}\), הקשר בין מסה \(m\) לאנרגיה \(E\) עובר דרך מהירות האור \(c\). אבל את מהירות האור – כמו כל מהירות אחרת – מודדים במטרים לשנייה!

מכאן נובעת מסקנה מוזרה נוספת ולא כל כך אינטואיטיבית:

לפי השיטה העדכנית ביותר, הקילוגרם מוגדר באמצעות המטר והשנייה!

במילים פשוטות: ללא הגדרות מדויקות של המטר ושל השנייה, הקילוגרם עצמו אינו מוגדר סופית! את הפוסטים הבאים אקדיש לנושאים אלה; אנו נבין לעומק מה ההגדרה המדויקת של המטר ושל השנייה.

כבר אמרתי שפיזיקאים אוהבים להתחכם?⁷

1. צפיפות המים משתנה כפונקציה של הטמפרטורה, ובטמפרטורה של 3.98 מעלות צלזיוס צפיפות המים היא הגבוהה ביותר. [↩]
2. אמנם הלשכה נמצאת פיזית בצרפת, אך מדובר בארגון בין-לאומי לכל דבר; עשרות מדינות חברות בארגון, ואף השטח שבו נמצא הארגון נחשב כשטח בין-לאומי, לא שטח צרפתי. [↩]
3. לאף אחד מההעתקים לא הייתה מסה זהה בדיוק למקור, אך ההבדלים נמדדו בשעת הייצור ותועדו בקפדנות. [↩]
4. מדובר באיזוטופ של פחמן הנקרא פחמן-12. יש גם איזוטופים אחרים שנבדלים מפחמן-12 במספר הנוטרונים בגרעין האטום. בנוסף, פחמן-12 נבחר מסיבות היסטוריות כי קבוע אבוגדרו מוגדר באמצעותו, אך ניתן למעשה לבחור באטום מסוג אחר, כגון: סיליקון או זהב. [↩]
5. במבט ראשון זה נשמע כמו טיעון מעגלי: אנו מודדים את מסת אטום הפחמן ביחידות של קילוגרם, ואז משתמשים במסה הזו כדי להגדיר מהו קילוגרם… זה נשמע קצת מסריח, אבל השיטה כשרה. ברגע שנצליח לחשב כמה אטומי פחמן נמצאים בקילוגרם "סטנדרטי", נוכל לחשוב על מסת אטום הפחמן כמנותקת מיחידה כזו או אחרת. במילים אחרות: מסת הפחמן פשוט קיימת אפילו מבלי שהצמדנו לה יחידות כאלה או אחרות. כעת נוכל להגדיר את הקילוגרם באמצעות מספר ספציפי של אטומי פחמן. [↩]
6. ראו למשל כאן: Sphere diameter interferometry with nanometer uncertainty, Metrologia, 57 2020 [↩]
7. אני מגזים… כמובן שלהתחכמות הזו יש סיבה טובה. בשיטה הקודמת של ספירת אטומים, עדיין יש צורך לייצר אובייקט מלאכותי כדי לייצג את הקילוגרם במציאות, פשוט כדי שנוכל להשתמש בו למטרות כיול. לעומת זאת, בשיטה החדשה אין צורך לייצר אובייקט שכזה. באמצעות ההגדרה העדכנית של הקילוגרם, אפשר לכייל מכשיר הנקרא: kibble balance, שהוא למעשה סוג של מאזניים חשמליות, בניגוד למאזניים מכניות רגילות. מכשיר זה מסוגל למדוד מסה של אובייקט באמצעות מדידת זרם חשמלי בהתאם לערך של קבוע פלנק, כל זאת ללא צורך להשוות את המסה הנמדדת למסת ייחוס, כמו במאזניים מכניות רגילות. [↩]