שיטות להגדרת הקילוגרם

בפוסט כאן הזכרנו שתי שיטות שבאמצעותן ניתן להגדיר את הקילוגרם. להלן נרחיב על כל שיטה בנפרד.

שיטה ראשונה: ספירת אטומים

על פי שיטה זו, הקילוגרם מוגדר על ידי מספר ספציפי של אטומי פחמן-12. שיטה זו מבוססת על מספר הנקרא: קבוע אבוגדרו, על שם הפיזיקאי האיטלקי אמדאו אבוגדרו (1776-1856). מבחינה היסטורית, קבוע אבוגדרו מוגדר כמספר האטומים ב-12 גרם של פחמן-12. על פי הגדרה זו ערכו של קבוע אבוגדרו נמדד באמצעות ניסוי.

לעומת זאת, על פי ההגדרה החדשה של הקילוגרם משנת 2019, הערך של קבוע אבוגדרו נקבע באופן מוחלט ואינו תלוי במדידה. ערכו הוא:

\(N=6.02214076\cdot {{10}^{{23}}}\)

בנוסף, כמות אובייקטים השווה למספר אבוגדרו נקראת: מול (mole). לשם השוואה ניתן לחשוב על מילים כגון: תריסר או צמד, מילים המייצגות כמות של 12 או 2, בהתאמה. מול אחד זו כמות אובייקטים השווה למספר אבוגדרו. לכן המסה של מול בודד עבור כל חומר שהוא, שווה בדיוק למספר אבוגדרו כפול המסה של אטום בודד מאותו חומר.

מכל מקום, נוכל להשתמש בקבוע אבוגדרו כדי למצוא מספר מדויק של אטומי פחמן-12 שיגדירו את הקילוגרם. בשלב הראשון נמצא שורש שלישי לקבוע אבוגדרו (בהמשך יובהר מה המוטיבציה להוציא שורש שלישי):

\(\sqrt[3]{N}=84446884.9584\)

כאמור לעיל, בשיטה זו אנו ממש סופרים אטומים בודדים, לכן נרצה לעגל את המספר הנ"ל לשלם הקרוב ביותר: \(84,446,885\). אמנם, נוסיף \(1\) למספר הזה כדי לקבל: \(84,446,886\). הסיבה לכך פשוטה: אם נעלה את המספר \(84,446,886\) בחזקת 3, נרצה שהתוצאה תתחלק ב-12. מדוע?

זכרו כי \(84,446,{{886}^{3}}\) יוגדר מעתה בתור הערך של קבוע אבוגדרו, שמייצג 12 גרם של פחמן-12 (הצעה שכאמור לא התקבלה). לכן אם \(84,446,{{886}^{3}}\) מתחלק ב-12, אז תוצאת החלוקה תהיה מספר האטומים בגרם בודד. המספר \(84,446,{{886}^{3}}\) אכן מתחלק ב-12 ותוצאת החלוקה היא:

50,184,508,190,229,061,679,538

זה מספר אטומי פחמן-12 המייצגים גרם בודד. לכן הקילוגרם (של כל חומר שהוא) יוגדר כמסה השווה למסה הכוללת של פי אלף אטומי פחמן-12 שיש בגרם בודד.

בשיטה זו אנו למעשה מקבעים את הערך של קבוע אבוגדרו, כך שערך זה לא תלוי במדידה כל שהיא, ומכאן נובע כי \(84,446,{{886}^{3}}\) זה מספר האובייקטים במול (mole) אחד בודד. בדרך זו ניתן לדמיין מול אחד של כל חומר שהוא, בתור קובייה שיש בה בדיוק \(84,446,886\) אטומים בכל צלע.

שיטה שניה: קבוע פלנק

ההגדרה העדכנית של הקילוגרם משנת 2019, מתבססת על קבוע פלנק \(h\), שהוא קבוע יסודי במכניקת הקוונטים. קבוע פלנק קושר בין התדר של פוטון \(f\), לבין האנרגיה שלו \({{E}_{p}}\):

\(\displaystyle {{E}_{p}}=hf\)

מתוך משוואת איינשטיין \(E=m{{c}^{2}}\), נובע כי ניתן להגדיר קילוגרם אחד בתור מסה עם אנרגיה השווה ל- \({{c}^{2}}\). נוכל לחשוב על אנרגיה זו כעל אנרגיה של מקבץ פוטונים בהתאם לקשר:

\(\displaystyle E={{c}^{2}}=h{{f}_{1}}+h{{f}_{2}}+\cdots =h\sum\limits_{n}{{{{f}_{n}}}}\)

ערכו של קבוע פלנק נקבע על ידי מדידה בניסוי, אך ההגדרה החדשה של הקילוגרם קיבעה את הערך של קבוע פלנק והוא כעת לא תלוי בניסוי, אלא מוגדר להיות:

\(\displaystyle h=6.62607015\cdot {{10}^{{-34}}}\left[ {\frac{{kg\cdot {{m}^{2}}}}{s}} \right]\)

כחלק מהגדרת המטר גם ערכה של מהירות האור – בדומה לקבוע פלנק – נקבעה באופן מוחלט שאינו תלוי בניסוי:

\(\displaystyle c=299,792,458\left[ {\frac{m}{s}} \right]\)

לכן מקבץ הפוטונים שיגדיר את הקילוגרם יהיה בעל תדר כולל של:

\(\displaystyle \sum\limits_{n}{{{{f}_{n}}}}=\frac{{{{c}^{2}}}}{h}\)

מכל האמור נובע כי ניתן להגדיר את הקילוגרם כמסה שהאנרגיה הגלומה בה (על פי משוואת איינשטיין) שווה לאנרגיה הכוללת של צבר פוטונים שהתדר הכולל שלהם הוא בדיוק \({{c}^{2}}/h\). אם נציב מספרים נקבל:

\(\displaystyle 1.356392489652\cdot {{10}^{{50}}}\left[ {Hz} \right]\)

וכך מוגדר הקילוגרם. הדרך המתמטית בה מוצגת הגדרה זו היא כך:

\(1\left[ {kg} \right]=\)

\(=\frac{{{{{\left( {299792458} \right)}}^{2}}}}{{6.62607015\cdot {{{10}}^{{-34}}}}}\cdot \frac{{\Delta {{\nu }_{{Cs}}}}}{{9192631770}}\cdot \frac{h}{{{{c}^{2}}}}\)

קשה במבט ראשון לראות איך ההגדרה המתמטית קשורה לתיאור המילולי לעיל, אך ניתן לראות כי מהירות האור בריבוע נמצאת במונה, וזו האנרגיה של קילוגרם בודד. אם נחלק את האנרגיה בקבוע פלנק במכנה, נקבל את התדר הכולל של הפוטונים שחישבנו קודם. הביטוי:

\(\displaystyle \frac{{\Delta {{\nu }_{{Cs}}}}}{{9192631770}}\)

הוא למעשה ההופכי של הגדרת השנייה, ולכן ביטוי זה למעשה מייצג את יחידת התדר הנקראת הרץ \(\left[ {Hz} \right]\).