המשוואה היפה ביותר אי פעם

בעולם המתמטיקה, המשוואה שאציג בפניכם בפוסט הנוכחי נחשבת כמו סונטה של שייקספיר בעולם השירה, או סימפוניה של מוצרט בעולם המוזיקה. ריצ'ארד פיינמן, חתן פרס נובל לפיזיקה לשנת 1965, קרא למשוואה הזו: היהלום שבכתר. דעתו של פיינמן אינה דעת יחיד; רבים וטובים – פיזיקאים ומתמטיקאים כאחד – מסכימים כי זו כנראה המשוואה היפה ביותר אי פעם, הדובדבן שבקצפת. אפילו האדמו"ר מגוגל, בכבודו ובעצמו, אם תשאלו אותו: "מהי המשוואה היפה ביותר?", מיד יוביל אתכם אל המשוואה הזו.

אני לא רוצה להציג את המשוואה מיד, כדי לא "לבזבז" אותה. סך הכל, יש סיכוי לא קטן שאם תראו את המשוואה "סתם ככה", במפתיע, ללא הקשר מתאים, לא תבינו מה הביג-דיל, מה כל כך מיוחד בה. מזה בדיוק אני רוצה להימנע. סוף כל סוף, המטרה שלי היא שבסיום הפוסט הנוכחי גם אתם תראו את היופי המתמטי שקורן מתוך המשוואה הזו.

לכן לפני שאציג אותה, אפרט בקצרה את הסיבות מדוע המשוואה הזו יפה כל כך. בהמשך ארחיב על כל סיבה וסיבה בפירוט, אך לפני כל דבר אחר חשוב לתת מסגרת למה אנו מתכוונים כשאנו מדברים על יופי מתמטי, והמשוואה שאציג לכם היא דוגמה כמעט יחידה שבה מתקיימות כל הסיבות הללו בו-זמנית.

ובכן, זו המשוואה היפה ביותר אי-פעם, כי:

1. המשוואה אסתטית.
2. המשוואה פשוטה.
3. המשוואה קושרת יחדיו לא פחות מחמישה מספרים בעלי חשיבות עצומה בעולם המתמטיקה.
4. המשוואה מדגימה בצורה מ-ע-ו-ל-ה את העוצמה של המתמטיקה בכל מה שקשור לפיתוח של רעיונות מופשטים, במיוחד כאלה שעבורם יש לנו מעט מאוד אינטואיציה טבעית.

המשוואה המדוברת נקראת: משוואת אוֹיְלֶר,¹ על שם המתמטיקאי השוויצרי לֵיאוֹנַרְד אוֹיְלֶר (1707-1783), והנה היא לפניכם במלוא תפארתה והדרה, מופת של יופי מתמטי:

\(\displaystyle {{e}^{{i\pi }}}+1=0\)

אוקיי, מספיק עם כל היחצ"נות; תכלס, מה הופך את משוואת אוילר ליפה כל כך?

סיבה ראשונה: אסתטיקה

במילים פשוטות: המשוואה אלגנטית, נקיה ולא צורמת לעין. כאמור, בואו נדבר תכלס, אז במקום לבזבז זמן להסביר לכם למה בדיוק הכוונה, פשוט אציג בפניכם משוואה מגעילה:

\(\displaystyle \frac{1}{\pi }=\frac{{2\sqrt{2}}}{{9801}}\sum\limits_{{k=0}}^{\infty }{{\frac{{(4k)!(1103+26390k)}}{{k{{!}^{4}}\left( {{{{396}}^{{4k}}}} \right)}}}}\)

אלוהים ישמור, מה זה הדבר הזה? זו לא משוואה, זו מפלצת מלאת קוצים! מאיפה הופיעו כל המספרים המוזרים האלה? למה דווקא 1103? המשוואה הזו צריכה להיות מפוקחת עם הגבלת גיל. רק מלהסתכל על המשוואה אני זז באי נוחות בכיסא, ויסלח לי סרִינִיוַאסה רַמנוּג'אַן (1887-1920), המתמטיקאי ההודי שהציג אותה בתחילת המאה העשרים.²

בקיצור, נראה לי שהבנתם את ההבדל בין משוואה אלגנטית למשוואה שתוקעת לכם אצבע בעין.

סיבה שניה: פשטות

משוואת אוילר היא משוואה פשוטה. במילים אחרות: לא מסובכת. גם כאן, במקום להכביר מילים והסברים מהי משוואה פשוטה, תרשו לי להציג בפניכם משוואה מסובכת קצת יותר, ותראו את ההבדל בעצמכם:

\(\displaystyle \pi ={{\left[ {6\cdot \sum\limits_{{n=1}}^{\infty }{{\left( {\frac{n}{{{{{(n+1)}}^{2}}}}-\frac{{n-2}}{{{{n}^{2}}}}} \right)}}} \right]}^{{\frac{1}{2}}}}\)

אתם שמים לב להבדל? אמנם אין במשוואה הזו כיעור יוצא דופן, אבל היא "סתם" מסובכת. נסו להשתמש במשוואה הזו כדי לחשב את הערך של \(\pi\) ותגלו מהר מאוד שאתם שוברים את השיניים.³

סיבה שלישית: החמישייה הפותחת

כאמור לעיל, במשוואה מופיעים לא פחות מחמישה מספרים שכל אחד מהם בפני עצמו הוא שחקן מפתח במתמטיקה. ביחד, אפשר לחשוב על חמשת המספרים הללו כעל נבחרת החלומות של המתמטיקה. אציג בפניכם את המספרים הללו אחד לאחד – מהקל אל הכבד, מהמוּכַּר יותר עד למוּכַּר פחות – ואפרט על החשיבות שלהם.

המספר 1

אני לא ממש חושב שיש צורך להסביר על החשיבות של המספר 1 במתמטיקה. מספר זה הוא האטום הראשוני, היסוד שממנו ניתן להתחיל לבנות את שאר המספרים. המספר 1 הוא הסמל שמייצג קיום. לכל אובייקט שקיים במציאות, ניתן לייחס את המספר הזה: כדור אחד, שולחן אחד, וכן הלאה.

המספר 0

במבט ראשון, המספר 0 נראה כמו סתם עוד מספר, שווה בין שווים. אך למעשה יש למספר 0 מעמד מיוחד, והשימוש בו מציין אבן דרך משמעותית בהתפתחות של המתמטיקה. הסיבה פשוטה: לא תמיד המספר 0 היה "קיים"; היה צריך להמציא \ לגלות אותו.

חשבו על זה כך: אם יש לי סוס, אוכל לייצג אותו באמצעות הסמל: 1. אם יש לי שני סוסים, אשתמש בסמל: 2, שלושה סוסים בסמל: 3, וכן הלאה. אבל מה הטעם להשתמש בסמל שמייצג את העובדה שאין לי סוסים בכלל? באותה מידה גם כבשים אין לי.

כך היה המצב במשך תקופה לא קצרה בהיסטוריה. היה צריך להמציא \ לגלות את המספר 0, ולייחס סמל מיוחד להיעדר של אובייקט, או במילים אחרות: לסמן את האי-קיום.

המספר פּאי: \(\pi\)

מדובר באחד המספרים המפורסמים ביותר, מספר שמופיע כמעט בכל ענף במתמטיקה ובפיזיקה. בראש ובראשונה המשמעות שלו היא גיאומטרית: \(\pi\) הוא היחס בין היקף המעגל לקוטרו. במילים פשוטות: אם תציירו מעגל שאורך קוטרו הוא 1, אז אורך ההיקף יהיה בדיוק \(\pi\):

המספר \(\pi\) הוא מספר אי-רציונלי, כלומר: אין אפשרות להציג אותו כחלוקה של שני מספרים שלמים.⁴ המספר \(\frac{{22}}{7}\), קרוב מאוד לערך האמיתי של \(\pi\), אך לא בדיוק. המספר \(\frac{{223}}{71}\) אפילו קרוב יותר, אך עדיין לא בדיוק. בקיצור, לעולם לא תצליחו למצוא שני מספרים שלמים שהיחס ביניהם שווה בדיוק לערך של \(\pi\), לכן את ערכו יש להציג בצורה עשרונית:

\(\displaystyle \pi =3.14159265359\ldots\)

מכל מקום, התצוגה העשרונית אף היא לעולם לא תהיה מדויקת, שכן למספר \(\pi\) יש רצף אינסופי של ספרות לאחר הנקודה העשרונית, ורצף זה לעולם לא יוצר תבנית שחוזרת על עצמה.

המספר \(e\)

המספר \(e\) נקרא: מספר אוילר, למרות שמי שגילה אותו היה המתמטיקאי יעקב בֶּרְנוּלִי (1654-1705). למרבה ההפתעה, ברנולי גילה את המספר בזמן שהתמודד עם בעיה מתחום הבנקאות, בעיה שניתן לסכם בפשטות באופן הבא:

נניח שהפקדתם בבנק דולר אחד, ותמורתו הבנק מבטיח לכם ריבית של 100% בשנה. בנוסף, הבנק מאפשר לכם לפרוס את הריבית הנ"ל לאורך השנה כמה פעמים שתרצו, ובלבד שכל הרווחים מושקעים חזרה בבנק. לדוגמה:

• אפשרות אחת היא לקבל 100% ריבית, פעם אחת בלבד בסוף השנה.
• אפשרות שניה היא לקבל 50% ריבית, אך פעמיים: פעם אחת לאחר חצי שנה, ופעם נוספת בסוף השנה.
• אפשרות שלישית היא לקבל 25% אחוז ריבית ארבע פעמים, בסוף כל רבעון.

וכן הלאה, וכן הלאה.

ברנולי גילה שלא משנה כמה פעמים תחלקו את הריבית לאורך השנה, לעולם לא תוכלו לפדות בסוף השנה יותר מערך מקסימלי של דולרים, ששווה בדיוק למספר הבא:

\(\displaystyle e=2.71828182846\ldots\)

לימים, לאונרד אוילר סימן את המספר הזה באות \(e\), לכן הוא נקרא על שמו, אף על פי שלא גילה אותו בפועל.

בדומה ל- \(\pi\), גם \(e\) הוא מספר אי-רציונלי בעל חשיבות מכרעת במתמטיקה. מספר זה מופיע שוב ושוב – כמו מעצמו – במגוון תופעות בטבע בהם יש גידול וצמיחה מעריכית.

המספר \(i\)

המספר החמישי והאחרון הוא: \(i\), המספר הידוע לשמצה שבזכותו (או באשמתו) כל תלמיד תיכון – וגם אני לא יוצא דופן – מגיע למסקנה (השגויה) כי המתמטיקה היא סוג של בדיחה. מדוע וכיצד?

גם אותי – כמו כולם – לימדו בתיכון כי למספר שלילי אין שורש ריבועי. הסיבה פשוטה: אם נכפיל כל מספר – חיובי או שלילי – בעצמו, התוצאה תמיד תהיה חיובית. לכן לא ייתכן שורש ריבועי למספר שלילי.

ואז בוקר בהיר אחד, המורה למתמטיקה הציגה בפני הכיתה את השאלה:

מהו השורש הריבועי של 1- ?

אני וכל שאר התלמידים בכיתה, מיד השבנו במקהלה כמו להקה של ברווזים: המורה, אבל אין מספר כזה !!! 

ואז המורה מכריזה שדווקא יש ויש, וכשדרשנו בתוקף מהמורה לכתוב את המספר המסתורי הזה על הלוח, גילינו לתדהמתנו כי במקום מספר כשר ונורמלי המורה מתחכמת וכותבת על הלוח \(i\), מכריזה כי זהו השורש הריבועי של \(-1\), וסוגרת ענין. בצורה קצת יותר מקצועית, כך זה נראה על הלוח:

\(\displaystyle i=\sqrt{{-1}}\)

התגובה הראשונה שלי הייתה:

מה זה זה??? זו רמאות! עבדו עלינו! סתם להמציא מספר, ככה חופשי? מותר בכלל לעשות דברים כאלה??? זה מה שנקרא: לא לשחק לפי החוקים! אם אין פתרון, יש להודות כי אין פתרון, ולא להמציא סתם מספרים!!!

ואז המורה מוסיפה חטא על פשע, ומכריזה כי המספר \(i\) נקרא "מספר מדומה", הכרזה שבעקבותיה התלמידים מאבדים את שארית האמון שעוד יש להם במתמטיקה.

אין כאן מקום להאריך יותר מדי בנוגע למספר \(i\), חוץ מלסכם ולומר כי \(i\) הוא באמת השורש הריבועי של \(-1\). מדוע ולמה יש הצדקה להמציא אותו יש מאין, זה כבר נושא לפוסט אחר. מכל מקום, המספר \(i\) כבר מזמן נחשב לילד לגיטימי של המתמטיקה, ואף הפך להיות חלק בלתי נפרד מתחומים רבים בפיזיקה, כמו מכניקת הקוונטים, למשל.

סיבה רביעית: אינטואיציה

אז עכשיו כשאנו יודעים כי משוואת אוילר כוללת את חמשת המספרים: \(1\), \(0\), \(\pi\), \(e\) ו- \(i\), אז מה המשוואה בעצם אומרת?

ובכן, לתרגם את המשוואה משפה מתמטית לשפה עברית, זו פעולה די פשוטה, כי המשוואה כוללת רק את פעולות החשבון הידועות. אם ניזכר לרגע במשוואת אוילר: \({{e}^{{i\pi }}}+1=0\), אז די ברור כי בעברית פשוטה, המשוואה טוענת את הטענה הבאה:

אם תקחו את המספר \(e\), תכפילו אותו בעצמו \(i\pi\) פעמים, ולתוצאה תוסיפו \( 1\), אז בסוף תישארו עם שום-כלום, \(0\) עגול!

הבנתם? אם לא הבנתם, אז מצוין! זה בדיוק מה שעוטף את המשוואה בשכבה נוספת של יופי, אפילו יותר ממה שהיה לה עד עכשיו. למה אני מתכוון? שימו לב כי עד כמה שהנוסחה פשוטה, אף על פי כן יש לנו מעט מאוד אינטואיציה טבעית לגבי התוכן שלה; הרי אתם בטח שואלים את עצמכם: איך לעזאזל אפשר להכפיל מספר בעצמו \(i\pi\) של פעמים? מה זה אומר בכלל?

עובדה זו – חוסר האינטואיציה הראשוני שלנו – ממחישה היטב את העוצמה של המתמטיקה; עוצמה שגלומה ביכולת של המתמטיקה לפרוץ גבולות אל עבר עולמות חדשים; עולמות עם מספרים מוזרים כמו \({{e}^{{i\pi }}}\) שנראה כאילו אין להם קשר למציאות, ולמרות הכל להוכיח שקיים קשר שכזה ישירות אל עולם המספרים הטבעיים הידוע והמוכר: \(1\) ו- \(0\).

אז מה המשמעות של המשוואה באמת? מי מכם שלא מצליח לישון מוזמן להיכנס לקישור כאן, כדי לקבל אינטואיציה קצת יותר עמוקה לגבי המשמעות של המשוואה ושל המספר המוזר הזה: \({{e}^{{i\pi }}}\).

סיכום

נו, אז מה אתם אומרים? התאהבתם? האם השתכנעתם כי משוואה זו היא אכן מיס יוניברס של המתמטיקה? אני מקווה שכן, כי היא באמת כזו, יש בה יופי מתמטי שקשה למצוא במשוואות אחרות.

1. ליתר דיוק: זהות אוילר [↩]
2. צחוק בצד, רַמנוּג'אַן היה אחד המתמטיקאים הגדולים של המאה ה-20, פלא מתמטי בפני עצמו והוא ראוי לפוסט נפרד. [↩]
3. למשוואה זו ניתן להגיע על ידי שימוש בפונקציית זטא של רימן באמצעות טור דיריכלה, ראו למשל בקישור כאן. מסתבר כי עבור הארגומנט s=2, פונקציית זטא מחזירה מספר השווה בדיוק לפאי בריבוע חלקי שש. [↩]
4. בנוסף להיותו מספר אי-רציונלי, פאי הוא גם מספר טרנסנדנטי, כלומר: מספר שאין פולינום בעל מקדמים רציונליים שהמספר פאי הוא אחד מהשורשים של הפולינום. [↩]