אין סיכוי, אבל עדיין לא בלתי-אפשרי

נניח ואתם צריכים להגריל באקראי מספר ממשי בין 0 ל-1. בהגרלה משתתפים כל המספרים בין 0 ל-1, כולם כולל כולם, רציונליים ואי-רציונליים ביחד. דמיינו את כל המספרים רשומים על פתקים, וכולם מתערבלים בתוך קופסה שחורה. אתם מכניסים את היד פנימה, ושולפים פתק אחד, שעליו כתוב מספר בודד. עכשיו בואו ונשאל שאלה פשוטה:

מהי ההסתברות שהמספר שהגרלתם הוא: \(\displaystyle {\frac{1}{\sqrt{2}}}\) ?

המספר \({\frac{1}{\sqrt{2}}}\) הוא מספר אי-רציונלי השווה ל- 0.7071 בקירוב. לכאורה, מתבקש להניח כי למספר הזה צריכה להיות איזו שהיא הסתברות מסוימת להיבחר, כמו לכל מספר אחר בין 0 ל-1. הסיבה לכך פשוטה: סוף כל סוף, מספר כלשהוא חייב להיבחר בהגרלה; משהו בסוף הרי ייבחר בפועל. בגלל שהבחירה נעשית באקראי ואין עדיפות למספר כזה או אחר, לכן לא ייתכן כי למספר מסוים תהיה הסתברות של 0%, והבחירה דווקא בו תהיה בלתי אפשרית.

אלא שהאמת מפתיעה יותר: ההסתברות לבחור בדיוק \({\frac{1}{\sqrt{2}}}\) שווה ל- 0%. למעשה, טענה זו נכונה גם לכל מספר ממשי אחר בין 0 ל-1. במילים אחרות: לכל מספר בין 0 ל-1 יש הסתברות של 0% להיבחר בהגרלה. בהמשך אוכיח מדוע זה נכון, אבל בינתיים אבקש שפשוט תאמינו לי. אם כך, אנו נקלעים למצב קצת מוזר: בסופו של דבר איזה שהוא מספר כן ייבחר בהגרלה, וזאת למרות שלכל מספר ממשי יש הסתברות של 0% להיבחר. רק מהעובדה הזו ניתן להסיק מסקנה מאוד מפתיעה:

גם אם למאורע מסוים יש הסתברות של 0% להתרחש, זה לא אומר בהכרח כי המאורע בלתי-אפשרי.

אמירה זו נוגדת כמובן את האינטואיציה היומיומית שלנו: כשאנו אומרים כי מאורע מסוים חסר סיכוי – כלומר: שיש סיכוי של 0% להתרחשות שלו – אנו מתכוונים לכך שהוא בלתי אפשרי; אף אחד לא היה טורח למלא כרטיס לוטו אם למספרים שהוא בחר בכרטיס היה סיכוי של 0% להיבחר בהגרלה. אך כפי שנראה במאמר הנוכחי, מבחינה מתמטית זה לא ממש נכון: הסתברות של 0%, לא גוררת (בהכרח) מצב "בלתי-אפשרי" (לפעמים זה דווקא כן נכון, אבל לא במקרה הכללי).

כדי להבין זאת אלמד אתכם היום על מושג חדש לגמרי שמתמטיקאים המציאו כדי להתמודד עם כל העסק, מושג שנקרא: צפיפות הסתברות. למושג החדש הזה יש משמעות שונה לגמרי בהשוואה למשמעות שיש להסתברות הרגילה שכולנו מכירים.

כל האמור לעיל מתקשר למה שלמדנו במאמר הקודם, בו ראינו כיצד כל המספרים הרציונליים בקטע בין 0 ל-1 לא תורמים כלל לאורך הקטע. בסוף המאמר הגענו למסקנה הבאה: אע"פ שיש אינסוף מספרים רציונליים בקטע בין 0 ל-1, עדיין "הכמות" שלהם אפסית ביחס לשאר המספרים האי-רציונליים, ולכן אם תבחרו באקראי מספר כלשהו בין 0 ל-1, הסיכוי שלכם לבחור מספר רציונלי שווה ל- 0%. אך לפי האמור לעיל, הסתברות של 0% אין פירושה (בהכרח) שהדבר בלתי-אפשרי…

נשמע מוזר? נכון, זה באמת מוזר. כדי להבין איך כל העסק עובד, ואיך "צפיפות הסתברות" פותרת את הבעיה, כדאי לקחת צעד אחורה ולהתחיל מדוגמה פשוטה.

זרוק מטבע

נניח שאנו מטילים מטבע. כידוע, ישנן שתי תוצאות אפשריות: פלי או עץ. כל תוצאה היא מאורע בדיד, כלומר: קיימים שני מאורעות נפרדים אפשריים שהמטבע יכול להציג: פלי או עץ.

אם המטבע שלנו הוא מטבע "הוגן", אז ההסתברות לכל מאורע היא 50%. במילים פשוטות: בכל הטלה יש הסתברות של 50% לקבל פלי, ו- 50% לקבל עץ. מכאן נובע שאם נטיל מטבע הוגן מספר גדול של פעמים, נצפה שקרוב לחצי מההטלות יצאו פלי, והחצי השני עץ.

בגרף למטה תוכלו לראות את ההסתברות לקבל X פעמים פלי מתוך 10 הטלות מטבע. כצפוי מכך שהמטבע הוגן, ניתן לראות כי האפשרות המסתברת ביותר היא לקבל 5 פעמים פלי מתוך 10 הטלות (הסתברות של כמעט 25%). ניתן כמובן לקבל יותר פעמים פלי, או פחות, אך בהסתברות נמוכה יותר, בהתאם לגובה העמודות. בכל מקרה, הסכום הכולל של כל ההסתברויות חייב להסתכם ב-100%:

אוקיי, אבל מה היה קורה אם המטבע לא היה הוגן? כלומר: נניח כי מדובר במטבע נוכלים שהתעסקו איתו, כך שכעת ההסתברות לקבל עץ או פלי בכל הטלה אינה שווה. לדוגמא: יכול להיות כי למטבע יש הטיה לטובת פלי, כך שההסתברות לקבל פלי בכל הטלה היא 68%, או 20%, או 92.6%, או כל ערך אחר. לצורך המחשה, נניח כי למטבע יש הטיה של 70% כלפי פלי. כעת נצפה כי אם נטיל את המטבע 10 פעמים, התוצאה המסתברת ביותר היא שנקבל פלי ב-7 מתוך 10 הטלות.

בגרף למטה תוכלו לראות את ההסתברות לקבל X פעמים פלי מתוך 10 הטלות מטבע. כצפוי מכך שהמטבע אינו הוגן, ניתן לראות כי האפשרות המסתברת ביותר היא לקבל 7 פעמים פלי מתוך 10 הטלות (הסתברות של קצת יותר מ- 25%). גם במטבע לא הוגן, ניתן כמובן לקבל יותר פעמים פלי, או פחות, אך בהסתברות נמוכה יותר, הכל בהתאם לגובה של העמודה הרלוונטית. גם כאן, אם נסכם את הגובה של כל העמודות, תמיד נקבל 100%:

עד כאן העסק פשוט, אבל בואו ננסה לסבך קצת את הניסוי שלנו. כיצד?

זה לא הוגן!

כל הגרפים למעלה נכונים כאשר אנו יודעים מראש את הטית המטבע. אבל בואו לרגע נניח כי אנחנו לא יודעים את הטית המטבע, כלומר: אנחנו לא יודעים אם המטבע הוגן או לא, ואנחנו גם לא יודעים עד כמה הוא לא הוגן. גם אם הטלנו את המטבע 10 פעמים ומתוכם קיבלנו 7 פעמים פלי, עובדה זו אינה מוכיחה כי למטבע יש הטיה של 70%. ייתכן כי למטבע אין הטיה כלל, כלומר: ייתכן ומדובר במטבע הוגן, ועדיין קיבלנו 7 פעמים פלי מתוך 10 הטלות. זה אפשרי בהחלט, פשוט מדובר בתוצאה עם הסתברות נמוכה יותר. לכן אם אנו לא יודעים את הטית המטבע, אז השאלה המתבקשת היא זו:

אם הטלנו את המטבע 10 הטלות, ומתוכם קיבלנו פלי 7 פעמים, מה הסיכוי שהטית המטבע היא 70% לטובת פלי?

הבנתם? אם לא שמתם לב, השאלה הזו כוללת שינוי מאוד משמעותי בהשוואה לשאלות הקודמות:

• עד עכשיו התעסקנו במשתנה בדיד, כלומר: חיפשנו את ההסתברות לקבל X פעמים פלי מתוך 10 הטלות. יש רק מספר סופי של אפשרויות בדידות נפרדות.
• כעת אנו מתעסקים במשתנה רציף, שהרי הטית המטבע יכולה להיות כל מספר בין 0% לבין 100%. במילים אחרות: אנו מבקשים לדעת מהי ההסתברות שהטית המטבע היא בדיוק 70%, בניגוד ל- 70.001% למשל, או: 69.999%, או כל מספר אחר.

הערה טכנית חשובה מאוד: מטעמי נוחות, מכאן ולהבא נפסיק לציין את הטית המטבע (או כל ערך הסתברותי אחר) ביחידות של אחוזים, אלא בתור מספר חסר יחידות בין 0 ל-1. לדוגמה: הסתברות של 50% תיוצג ע"י המספר 0.5, הסתברות של 91% ע"י המספר 0.91, הסתברות של 100% ע"י המספר 1, וכן הלאה. באופן דומה, הטית מטבע של 70% כלפי פלי תיוצג ע"י המספר 0.7, וכן הלאה. אל תשכחו כי הסתברות (או הטית מטבע) יכולה גם להיות מספר אי-רציונלי, כגון: \({\frac{1}{\sqrt{2}}}\), כלומר: 0.7071 בקירוב.

אוקיי, אז אם לחזור לשאלה שלנו: מהי ההסתברות שהטית המטבע היא בדיוק 0.7 (כלומר: 70%), אם קיבלנו 7 פעמים פלי מתוך 10 הטלות?

ניסיון לענות על השאלה הנ"ל יכולה להביא אותנו לכאורה לפרדוקס… הרי מצד אחד:

1. נראה פשוט להניח כי לכל מספר המייצג הטיה של המטבע צריכה להיות הסתברות סופית להיבחר. הרי בסופו של דבר, למטבע יש איזו שהיא הטיה בפועל…
2. אבל אם הטית המטבע יכולה להיות כל מספר ממשי בין 0 ל-1, ולכל מספר הסתברות סופית, נקבל כי סכום כל ההסתברויות מתפוצץ לאינסוף! לא ממש הגיוני.

אבל מצד שני:

1. בלית ברירה נצטרך להניח כי לכל מספר המייצג הטית מטבע יש הסתברות 0, מה שיגרום לכך שסך כל ההסתברויות ישאר 0.
2. אבל גם אפשרות זו אינה הגיונית כלל, שהרי סך כל ההסתברויות חייב להיות 1 (כלומר 100%). כאמור לעיל, יכול להיות שלמטבע יש הטיה של 0.7, או 0.24, או \({\frac{1}{\sqrt{2}}}\), אבל בכל מקרה קיימת הטיה כלשהיא. אנחנו מחפשים את ההסתברות של הטיה אחת מסוימת, אבל ברור כי אם נסכם את סך ההסתברויות של כל ערכי ההטיה האפשריים נהיה חייבים לקבל 1, כי בפועל קיימת הטיה כלשהיא. בקיצור, גם זה לא ממש הגיוני.

עכשיו יותר ברור לכם כי כל הבלגן נוצר בגלל שהטית המטבע היא משתנה רציף. במקרה של משתנה בדיד, אין לנו שום בעיה: לכל ערך של המשתנה ניתן לייחס הסתברות סופית, וסך ההסתברויות של כל הערכים האפשריים תמיד מסתכם ל-1. בהגרלת הלוטו למשל, יש מספר סופי של תוצאות (אמנם גדול), לכל תוצאה הסתברות סופית לזכייה (אמנם קטנה), וסך כל ההסתברויות שווה ל-1, כי מישהו בסוף תמיד זוכה.

אז מה עושים? איך בכלל אפשר לדבר על הסתברות של משתנה רציף, כגון: הטיה של מטבע?

הפרדוקס ופתרונו

במקרה של הטית המטבע כמשתנה רציף, המפתח להבנת העסק טמון בהכרת מושג חדש הנקרא: צפיפות הסתברות (Probability density). בניגוד להסתברות רגילה, צפיפות הסתברות מאפשרת לנו לחשב הסתברות מצטברת בטווח מסוים של ערכים, ולא את ההסתברות של ערך אחד בודד. לדוגמה: במקום לשאול מהי ההסתברות שלמטבע יש הטיה של 0.7 בדיוק, אנו למעשה צריכים לשאול: מהי ההסתברות שלמטבע יש הטיה בטווח ערכים מסוים סביב 0.7, למשל: בין 0.6 לבין 0.8, ורק בטווח הזה.

אם זה נשמע קצת מסובך, אז בואו ננסה לפשט את העסק וללכת צעד צעד: בשלב הראשון, ניקח את כל טווח הערכים האפשריים של הטית המטבע, טווח המשתרע בין 0 ל-1, ונחלק את הטווח הנ"ל לחמישה תחומים נפרדים: תחום ראשון בין 0 ל-0.2, תחום שני בין 0.2 ל-0.4, וכן הלאה. בשלב הבא, נציג על גרף את צפיפות ההסתברות של כל תחום בנפרד. החישוב המדויק של צפיפות ההסתברות מסובך יותר, ומי שממש רוצה להתעמק מוזמן להיכנס לקישור כאן, אבל אין צורך להתעמק בפרטים הטכניים, אציג לכם ישר את התוצאה הסופית:

בניגוד לגרפים הקודמים, הנתון החשוב ביותר בגרף למעלה אינו גובה העמודות, אלא דווקא השטח של כל עמודה. מדוע? כי דווקא השטח של כל עמודה מייצג את ההסתברות שלמטבע יש הטיה הנמצאת איפה שהוא בתחום שהעמודה מייצגת. לדוגמה: השטח של העמודה הימנית מייצג את ההסתברות שהטית המטבע היא איפה שהוא בין 0.8 לבין 1. באופן דומה, ההסתברות שהטית המטבע היא איפה שהוא בין 0.6 לבין 0.8 שווה לשטח של העמודה השנייה מימין, וכן הלאה.

לעומת זאת, הגובה של כל עמודה מציין את צפיפות ההסתברות של כל ערך אפשרי של הטית המטבע בכל אחד מהתחומים. העמודה המעניינת אותנו זו העמודה השנייה מימין, המייצגת הטיות מטבע בתחום שבין 0.6 לבין 0.8, ובדיוק באמצע נמצאת ההטיה שלנו: 0.7, שעליה דיברנו קודם.

חדי העין מביניכם בטח שמו לב שלחלק מהעמודות יש גובה הגדול מ-1. אם זה נראה לכם מוזר, אתם לא לבד, כי כאן בדיוק טמון ההבדל המהותי בין הסתברות לבין צפיפות הסתברות. כאמור לעיל, גובה העמודה השנייה מימין אינו מייצג את ההסתברות שלמטבע יש הטיה של 0.7, ולכן גובה העמודה יכול לקבל גם ערכים שגדולים מ-1. אך ורק השטח של כל עמודה חייב להיות קטן מ-1, כי רק השטח מייצג הסתברות אמיתית. השטח של כל עמודה שווה לגובה העמודה כפול הרוחב שלה, ואם תחשבו את שטח העמודה תגלו שהשטח אכן קטן מ-1.

יש לציין כי ברור שגרף העמודות לעיל הוא רק קירוב. אין סיבה (במקרה הכללי) שצפיפות ההסתברות תהיה זהה לערכים שונים של הטית המטבע, להיפך: אנו נצפה כי לכל הטית מטבע צריכה להיות צפיפות הסתברות ייחודית. במילים אחרות: נצפה כי צפיפות ההסתברות צריכה להיות עקומה "חלקה", ולא גרף של "עמודות".

אז מה עושים? הפתרון הוא לחשב את צפיפות ההסתברות לא ל-5 תחומים שונים כמו בגרף למעלה, אלא ל-10 תחומים שונים, ולאחר מכן ל-100 תחומים, ול-1000, ואחר כך למיליון וכן הלאה עד אינסוף. למעשה, נצטרך להוסיף עוד ועוד עמודות לגרף, כך שהרוחב של כל עמודה ילך ויצטמצם. ככל שנוסיף עמודות ונחשב את צפיפות ההסתברות של כל עמודה – כלומר: את הגובה שלה – כך נלך ונתכנס אל עקומה רציפה של צפיפות ההסתברות, וניתן לראות זאת באנימציה הבאה:

שימו לב כי ככל שאנחנו מוסיפים עוד ועוד עמודות, כך ניתן לחשב בצורה מדויקת יותר את ההסתברות שהטית המטבע תהיה סביב 0.7 בתחום צר יותר ויותר.

אסביר זאת ביתר פירוט: אם בהתחלה חישבנו את ההסתברות שהטית המטבע תהיה איפה שהוא בין 0.6 ל-0.8, כעת נוכל לצמצם את התחום ולחשב את ההסתברות שהטית המטבע תהיה איפה שהוא בין 0.65 ל-0.75, ואחר כך בין 0.69 ל-0.71, וכן הלאה. ככל שנוסיף יותר עמודות, כך רוחב כל עמודה יצטמצם, והערך של צפיפות ההסתברות (גובה העמודה) יתכנס סביב ערך אחד ספציפי של הטית מטבע.

כעת מגיע הפאנץ'-ליין של כל המאמר:

בגבול שבו העקומה של צפיפות ההסתברות הופכת להיות חלקה לגמרי – כלומר: כאשר מספר העמודות הוא אינסופי – נקבל כי השטח של כל עמודה הוא 0 !

מה זה אומר בדיוק? זכרו כי השטח של כל עמודה מציין את ההסתברות שלמטבע תהיה הטיה בתחום מסוים סביב ערך אחד ספציפי. אבל הגענו למצב שבו השטח של כל עמודה הוא אפסי, ולכן ההסתברות לקבל בדיוק הטיה אחת ספציפית שווה ל-0. אם נחזור לשאלה מתחילת המאמר: מה ההסתברות שלמטבע תהיה הטיה של 0.7 בדיוק? התשובה לכך היא: מדובר בהסתברות של 0.

אסביר זאת שוב:

1. בהתחלה ראינו כי קיימת הסתברות סופית לקבל הטיה בין 0.6 לבין 0.8, הסתברות השווה לשטח העמודה המייצגת את התחום הנ"ל.
2. לעומת זאת, ההסתברות לקבל הטיה בתחום צר יותר בין 0.65 ל- 0.75 היא נמוכה יותר, כי רוחב העמודה – ולכן השטח שלה – הצטמצם.
3. ההסתברות לקבל הטיה בין 0.69 לבין 0.71 הופכת להיות עוד יותר קטנה.
4. ההסתברות לקבל הטיה בין 0.699 לבין 0.701 הופכת להיות קטנה אף יותר.
5. ככל שננסה להצטמצם יותר ויותר סביב הטיה של 0.7 בדיוק, כך ההסתברות תשאף ל-0, למרות שצפיפות ההסתברות לא בהכרח שואפת ל-0.
6. בגבול שבו יש לנו אינסוף עמודות עם רוחב אפסי, זה הגבול בו צפיפות ההסתברות הופכת להיות עקומה חלקה, ונקבל כי ההסתברות לקבל הטיה של 0.7 בדיוק הופכת ל-0.

זכרו: כל האמור לא סותר את העובדה כי להטיית מטבע השווה ל-0.7 בדיוק יש צפיפות ההסתברות שאינה שווה ל-0, ואפילו גדולה מ-1, שהרי כאמור: צפיפות הסתברות אינה מייצגת הסתברות.¹

תובנה זו היא למעשה לב המאמר כולו:

אנו חושבים כי הסתברות 0 פירושה דבר בלתי-אפשרי, אבל זה לא נכון: רק אם צפיפות ההסתברות שווה ל-0, רק אז מדובר בדבר בלתי אפשרי!

חשבו על כך: אם הטלנו מטבע 10 פעמים ומתוכם קיבלנו פלי 7 פעמים, אז ההסתברות שהטית המטבע תהיה שווה ל-0.7 בדיוק היא הסתברות השווה ל-0, אבל זה לא אומר שבלתי-אפשרי שהטית המטבע תהיה שווה ל-0.7 בדיוק. אפשרי בהחלט שהטית המטבע תהיה 0.7 בדיוק, כי צפיפות ההסתברות של הטיה זו אינה שווה ל-0.

טענה זו נכונה לכל ערך של הטיה בין 0 ל-1: לכל הטיה שתבחרו יש הסתברות של 0, אבל מה שקובע אם ערך ההטיה הוא בלתי-אפשרי או לא, זו דווקא צפיפות ההסתברות של אותה הטיה. אם צפיפות ההסתברות אינה אפסית, אז הערך של ההטיה אפשרי בהחלט.

פה טמון ההבדל הגדול בין משתנה בדיד למשתנה רציף. במקרה של משתנה בדיד, מספיק שההסתברות של ערך מסוים תהיה שווה ל-0 כדי לקבוע שבלתי אפשרי לקבל את הערך הנ"ל. במשתנה רציף לעומת זאת, לכל ערך ממילא יש הסתברות השווה ל-0, ולא זה מה שיקבע האם אפשרי או בלתי אפשרי לקבל את הערך הנ"ל. מה שקובע זו צפיפות ההסתברות, ורק צפיפות השווה ל-0 פירושה ערך בלתי אפשרי.

סיכום

אם הגעתם עד כאן, אז עכשיו אפשר להבין יותר לעומק את מה שלמדנו במאמר הקודם. להזכירכם, בסוף המאמר הגענו למסקנה כי אע"פ שיש אינסוף מספרים רציונליים בקטע בין 0 ל-1 על ציר המספרים, עדיין "הכמות" שלהם אפסית ביחס לשאר המספרים האי-רציונליים. לכן אם תבחרו באקראי מספר כלשהו בין 0 ל-1, ההסתברות שלכם לבחור מספר רציונלי שווה ל-0.

אך במאמר הנוכחי התברר כי בבחירת ערך בודד מתוך משתנה רציף, מה שקובע זו צפיפות ההסתברות ולא ההסתברות עצמה. בחירה של ערך מסוים הופכת להיות בלתי אפשרית אך ורק אם צפיפות ההסתברות של אותו ערך שווה ל-0%, ולאו דווקא אם ההסתברות שווה ל-0%.² לכן כשמגרילים באקראי מספר ממשי בין 0 ל-1, בהחלט אפשרי להגריל מספר רציונלי, למרות שההסתברות לכך היא 0%.³

אם היה בלתי אפשרי לעשות זאת – באמת בלתי אפשרי – אז צפיפות ההסתברות של המספרים הרציונליים הייתה צריכה להיות 0, ואין סיבה להניח כי צפיפות ההסתברות של המספרים הממשיים בין 0 ל-1 אינה אחידה.⁴ אמנם למספרים הרציונליים יש "כמות" הרבה יותר קטנה בהשוואה לאי-רציונליים, אבל הם לא "עדיפים פחות"; בין 0 ל-1, אין עדיפות למספר ממשי כזה או אחר בהשוואה לשאר.

1. הדרך היחידה לקבל הסתברות סופית, היא להגדיר שני ערכי הטיה שונים זה מזה, למשל: 0.69 ו-0.71, ולחשב את ההסתברות שהטיית המטבע תהיה בין שני הערכים האלה. הסתברות זו היא בדיוק השטח שמתחת לעקומת צפיפות ההסתברות בין 0.69 מצד אחד, ובין 0.71 מצד שני. ככל שנבחר שני ערכי הטיה מרוחקים יותר זה מזה, כך השטח שמתחת לעקומה יגדל, ובהתאם גם ההסתברות תגדל. בכל מקרה, הסכום הכולל של כל ההסתברויות חייב להיות שווה ל-1. במילים אחרות: בגבול שבו מספר העמודות שואף לאינסוף, נקבל כי השטח הכולל של כל העמודות יחד הוא השטח הכלוא מתחת לעקומה בין 0 ל-1, ושטח זה תמיד יהיה שווה ל-1. [↩]
2. במקרה של המטבע, אם למשל ניתן היה לייצר את המטבע ולתכנן אותו כך שההטיה שלו יכולה להיות רק בין 0.4 ל-0.6, כלומר: מטבע שיכול להיות רק "קצת" לא הוגן – אבל לא יותר מדי – רק במקרה זה באמת אפשר היה לומר כי הטית מטבע של 0.7 היא בלתי אפשרית ואז היינו מצפים כי צפיפות ההסתברות של המטבע תהיה שווה ל-0 לכל ההטיות שמעל 0.6 ומתחת ל-0.4, כי כך תכננו את המטבע מבחינה פיזית. [↩]
3. דרך נוספת להסביר זאת היא כך: לכל מספר ממשי בודד יש הסתברות של 0% להיבחר. בגלל שקבוצת הרציונליים היא קבוצה בת מניה, לכן סכום ההסתברויות של כל המספרים הרציונליים הוא עדיין 0%. ולכן קבוצת הרציונליים אינה שונה במובן זה מכל מספר ממשי בודד אחר. המידה (Measure) של הרציונליים היא 0 בדיוק כמו המידה של מספר בודד. כשם שכל מספר ממשי בודד יכול להיבחר אע"פ שההסתברות שלו היא 0% (כאמור בגלל שצפיפות ההסתברות שלו שונה מ-0), כך גם מספר מקבוצת הרציונליים יכול להיבחר אע"פ שההסתברות לכך היא 0%. [↩]
4. צפיפות ההסתברות צריכה להיות 1 לכל מספר ממשי בין 0 ל-1. מכל מקום, גם אם נתעקש להגדיר את צפיפות ההסתברות של המספרים הממשיים בין 0 ל-1 כך שלרציונליים תהיה צפיפות 0 ולאי-רציונליים תהיה צפיפות 1, עדיין הצפיפות הזו תהיה זהה לחלוטין מבחינה מתמטית – על פי תורת המידה (Measure theory) – לצפיפות אחידה השווה ל-1 לכל המספרים הממשיים, כי המספרים הרציונליים היא קבוצה בת מניה עם מידה (measure) השווה ל-0, ולכן ממילא נקבל כי צפיפות הסתברות אחידה לכל המספרים הממשיים [↩]