האם גילינו את המתמטיקה, או המצאנו אותה?

את המאמר היום אפתח בשאלה:

האם גילינו את המתמטיקה, או המצאנו אותה?

לדעתי מדובר בשאלה שלא מקבלת תשומת לב במידה הראויה, למרות שמדובר בשאלה יסודית וחשובה מאין כמוה. במילים אחרות: האם המתמטיקאים הם ארכיאולוגים או מלחינים? אסביר למה הכוונה:

ייתכן כי למתמטיקה יש קיום אמיתי, מחוץ למחשבה האנושית, קיום שהוא חלק בלתי נפרד מהמציאות עצמה. לפי גישה זו, המתמטיקה הייתה קיימת גם לפני הופעת האדם ותתקיים גם לאחריו. לצורך השוואה, המתמטיקה היא כמו כוכב הלכת נפטון: לא המצאנו אותו בשנת 1846, אלא גילינו אותו, והוא היה קיים גם לפני כן, בלי קשר לאם אנו מודעים לקיומו או לא. במובן זה המתמטיקאים הם כמו ארכאולוגים: כל תפקידם הוא לבצע עבודת חפירה, ולחשוף עוד ועוד אמיתות מתמטיות שמסתתרות להן בנבכי המציאות, ועדיין לא נתגלו.

אך ישנה אפשרות נוספת: אולי המתמטיקה היא המצאה אנושית בלבד, כמו משחק השחמט למשל. אנחנו יצרנו יש מאין את כללי המשחק וחוקיו, ובתוך המסגרת הזו אנו ממציאים מהלכים, מפתחים אסטרטגיות וכו'. אולי המתמטיקה לא שונה: זו מערכת שאנחנו פיתחנו רק כדי שנוכל לתאר את המציאות שסביבנו. זו אמנם מערכת מוצלחת מאוד, אך אין לה קיום מחוץ לתודעה האנושית, וכל גילוי מתמטי חדש נובע אך ורק ממוחנו הקודח. במובן זה המתמטיקאים הם כמו מלחינים: הסימפוניה שלהם אמנם מדהימה, אך אין לה קיום אובייקטיבי ללא האדם שיבוא וילחין אותה.

כבר אלפי שנים שטובי המוחות בהיסטוריה ניסו לענות תשובה על השאלה הנ"ל, אך ללא הצלחה. הסיבה לכך פשוטה: יש נימוקים מצוינים לכל אחת מהדעות, ולא נראה כי יש דעה אחת שמצליחה לנצח בנוקאאוט.

אם אף פעם לא נתתם את דעתכם לשאלה הנ"ל, או אפילו אם כן אך לא הגעתם להחלטה, אז הנה ההזדמנות שלכם: במאמר הנוכחי אנסה להציג לכם את שתי הגישות, ואת הרציונל שעומד מאחורי כל גישה. מדובר בנושא מרתק, שנהרות של דיו כבר נכתבו עליו במהלך ההיסטוריה, והיום אנסה לתמצת את העיקר של העיקר.

אוקיי, נתחיל.

מספרים בחליפה ועניבה

דבר אחד ברור כבר מלכתחילה: נראה כי יש לנו נטייה ברורה לחשוב על המספרים הטבעיים (1,2,3… וכן הלאה) בתור מספרים שקיימים באמת. אמנם אנחנו לא פוגשים את המספר 2 מסתובב לו ברחוב לבוש בחליפה, אבל ברור כי כל מספר טבעי מייצג כמות שניתן להצמיד לקבוצת אובייקטים במציאות. לשם המחשה: גם לפני הופעת האדם, מה שהבדיל בין אטום פחמן לאטום חמצן זו כמות הפרוטונים בגרעין האטום. לכן נראה כי לא ממש הגיוני לטעון כי המספרים 6 ו-8 אינם קיימים באמת במציאות, כאשר לכל אטום פחמן ביקום יש בפועל 6 פרוטונים ולכל אטום חמצן יש 8.

כל האמור נכון גם לכל שאר המספרים הטבעיים, ואם כך: כל מה שנותר למתמטיקאים לעשות, זו עבודה ארכאולוגית כדי לחשוף אמיתות שכבר קיימות, למשל: שכל מספר טבעי ניתן להציג כמכפלה של מספרים ראשוניים בלבד (טענה זו נקראת: המשפט היסודי של האריתמטיקה). דוגמה נוספת: שאין שלושה מספרים טבעיים: b, a ו- c שמקיימים את המשוואה: aⁿ + bⁿ = cⁿ, כאשר n>2 (טענה זו נקראת: משפט פֵרְמַה). המתמטיקאי הגרמני ליאופולד קְרוֹנֵקֶר (1823-1891) היטיב לתאר גישה זו באומרו:

"אלוהים יצר את המספרים הטבעיים. כל השאר זו המצאתו של האדם".

ניתן להבין מדוע קרונקר נותן יחס מיוחד למספרים הטבעיים בלבד, כי כאשר יוצאים מחוץ לתחום המספרים הטבעיים, מתעוררת בעיה, במיוחד אם אנו רוצים להתייחס למספרים כקיימים באמת במציאות. למה אני מתכוון?

חשבו לרגע מה דינו של המספר פַּאי, למשל? האם הוא קיים באותו מובן שבו המספר 6 קיים? נראה שלא, כי אין במציאות מעגל גיאומטרי מושלם שניתן לחלק את היקפו בקוטרו ולקבל בדיוק פאי. דוגמה נוספת: במשולש ישר זווית שאורך כל אחד מהניצבים שלו הוא 1, נקבל כי אורך היתר הוא: \(\sqrt{2}\). אין בנמצא משולש גיאומטרי מושלם שכזה, כך שאולי \(\sqrt{2}\) קיים רק בראש שלנו, ולא מתגשם במציאות כלל.

האסכולה הפיתגוראית ביוון העתיקה האמינה בקיומם האמיתי של המספרים הטבעיים במובן הדתי והעמוק של המילה. פיתגורס וחסידיו (ובעקבותיהם גם הפילוסוף אַפְּלָטוֹן) האמינו כי הם קיימים ממש, כמוני כמוכם, וכל הטבע כולו הוא למעשה התגשמות של היצורים-מספרים הנ"ל והיחסים ביניהם. מקורות היסטוריים מאותה תקופה (ויש לקחת אותם בערבון מוגבל) מדווחים כי כאשר אחד התלמידים באסכולה הפיתגוראית גילה כי \(\sqrt{2}\) אינו ניתן לביטוי באמצעות יחס בין שני מספרים טבעיים, פיתגורס סילק את התלמיד מהקבוצה במקרה הטוב, ויש שאומרים כי הטביע אותו למוות במקרה הגרוע.

מכל מקום, גם אם לא תלכו רחוק כל כך עד כדי אימוץ אמונותיו של פיתגורס, עדיין ניתן לומר בבירור כי הסברה שמייחסת לכל המתמטיקה קיום ואנו רק מגלים אותה – אינה כה מופרכת. חשבו על כך: אם המתמטיקה היא המצאה מוחלטת, איך ייתכן שהיא כל כך אוניברסלית?

קחו לדוגמה את סדרת פִיבּוֹנָאצִי (על שם המתמטיקאי האיטלקי ליאונרדו פִיבּוֹנָאצִי), המורכבת מסדרת מספרים טבעיים שכל אחד הוא הסכום של שני הקודמים לו. מאז התגלית של פִיבּוֹנָאצִי, הסדרה חוזרת ומופיעה בשלל תחומים נפרדים לחלוטין! למספרי הסדרה ולתכונות שלהם יש מופעים ושימושים בבוטניקה, זואולוגיה, אופטיקה, מדעי המחשב ומה לא.

דוגמה נוספת היא התמרה אינטגרלית בין שתי פונקציות שגילה המתמטיקאי זָ'אן-בָּטִיסְט פוּרְיֵה, התמרה הנקראת על שמו: התמרת פוּרְיֵה. ניחשתם נכון: במאות שלאחר מכן לא הפסקנו לגלות את הקשר המתמטי הנ"ל כמעט בכל תחום שאתם יכולים לחשוב עליו: תרמודינמיקה, אלקטרומגנטיות, ספקטרוסקופיה, פיזיקה אטומית, עיבוד אותות, והרשימה ארוכה כאורך הגלות.

גובה, משקל לידה, לחץ דם, מנת משכל, כל התכונות האלה מתפלגות באוכלוסייה על פי פונקציית גָּאוּס בהתאם למשפט הגבול המרכזי. מה נראה לכם: קארל פרידריך גאוס, מגדולי המתמטיקאים בהיסטוריה, המציא את "משפט הגבול המרכזי" ואת פונקציית גאוס, או גילה אותם?

התמרת פוריה: \(\displaystyle \hat{f}\left( \omega \right)=\frac{1}{{\sqrt{{2\pi }}}}\int\limits_{{-\infty }}^{\infty }{f}\left( t \right)\ {{e}^{{-i\omega t}}}dt\)

התפלגות גאוס: \(\displaystyle f\left( x \right)=\frac{1}{{\sqrt{{2\pi {{\sigma }^{2}}}}}}{{e}^{{-\frac{{{{{\left( {x-\mu } \right)}}^{2}}}}{{2{{\sigma }^{2}}}}}}}\)

סדרת פיבונאצי: \({1,1,2,3,5,8,13,21,34,55\ldots}\)

ארחיק לכת ואומר כי במובן מסוים, הטענה כי המציאות כולה היא בסופו של דבר מבנה מתמטי מופשט, אינה טענה כה מופרכת. חשבו על כך: אנו משקיעים מאמץ בלתי פוסק כדי להסביר כל תופעה או תהליך במציאות באמצעות תופעות ותהליכים בסיסיים יותר. אם נמשיך בשיטה הזו, בסופו של דבר, תמיד נגיע לחלקיקים תת-אטומים ולאינטראקציות ביניהם.

אבל אם תשאלו פיזיקאי: מהו חלקיק תת-אטומי, תכלס? התשובה שתקבלו תהיה: חלקיק תת-אטומי הוא מצב מעורר של שדה וקטורי במרחב הִילְבֵּרְט. ואם אתם שואלים את עצמכם: מה זה לעזאזל שדה וקטורי במרחב הילברט? התשובה היא: זה מבנה מתמטי מופשט…

כל פיזיקאי יגיד לכם כי לפחות פעם אחת שאלו אותו: מה זה מרחב-זמן? כל פיזיקאי יגיד לכם כי קשה מאוד לענות תשובה מספקת, מבלי להיכנס למתמטיקה של העסק. עשו בעצמכם ניסיון: גשו לפיזיקאי הקרוב אליכם, תשאלו אותו מה זה מרחב-זמן, ואיך אומרים: אל תוותרו לו, אלא "תדחקו אותו לפינה". בסוף, לא תהיה לו ברירה אלא לפלוט משהו כמו:

מרחב-זמן זה יריעה דיפרנציאלית 4-מימדית, גזירה וחלקה, שהעקמומיות שלה ניתנת לייצוג באמצעות טֶנְזוֹר סימטרי מסדר-שני.

הבנתם? מבחינת תיאור המציאות, בסופו של דבר כל מה שיש לנו זה רק מתמטיקה. זה מדהים לחשוב כי את הרמות הגבוהות של המציאות, אנו מסוגלים לתאר באמצעות אובייקטים פיזיים המצייתים לכללים מתמטיים. אבל כשיורדים לרמה הבסיסית ביותר של המציאות, אנו נשארים רק עם המתמטיקה עצמה.

כל האמור לעיל מרמז לנו שאולי המתמטיקה אכן אמיתית במובן הפשוט של המילה. לצורך המחשה חשבו על השאלה הבאה: האם קוורקים קיימים באמת? כל פיזיקאי יגיד לכם שכן, הם באמת מסתתרים להם שם בתוך הפרוטונים. אבל חשוב לזכור שהקוורקים קיימים אך ורק במובן זה שקיומם מסביר מגוון רחב של תופעות בפיזיקת החלקיקים; אם מחר נמצא דרך אחרת, טובה יותר, להסביר מגוון רחב אף יותר של תופעות בהשוואה להיום, תהיו בטוחים שהקוורקים ייעלמו כלעומת שבאו.

באופן דומה ניתן לשאול: האם המרחב-זמן אמיתי, כלומר קיים באמת במציאות ולא רק במוחנו הקודח? התשובה הנפוצה תהיה: כן, מרחב-זמן קיים באמת במציאות, כי קיומו מסביר בצורה נפלאה מגוון עצום של תופעות. אבל אם המרחב-זמן הוא – בסופו של דבר – יצור מתמטי טהור, אז גם המתמטיקה אמיתית באותה מידה.

להחליף אקסיומות

אז זהו, הגענו למסקנה כי המתמטיקה היא תגלית ואנחנו רק ארכאולוגים?

לא כל כך מהר. יש עדיין מספר קושיות שהתומכים בגישה לעיל מתקשים לענות עליה.

כנראה הקושיה המפורסמת ביותר, מגיעה מתחום הגיאומטריה. מאז ימיו של אוקלידס ביוון העתיקה ועד המאה ה-19, הגאומטריה המישורית שלטה בעולם המתמטי. למעשה, באותם ימים זו הייתה הגאומטריה היחידה בנמצא, ואפילו הביטוי "גאומטריה מישורית" לא היה בשימוש; כל אימת שנאמרה המילה: "גאומטריה", הכוונה הייתה לגאומטריה הנפוצה והמקובלת שפותחה על ידי אוקלידס, וזו הגאומטריה שאנו לומדים בתיכון.

הגאומטריה הנ"ל מבוססת על חמש אקסיומות. ארבע מהן באמת עושות רושם "אקסיומטי", כלומר: הן באמת נראות כמו טענות מובנות מאליהן שלא דורשות שום הוכחה (כמו למשל האקסיומה הרביעית: שכל הזוויות הישרות שוות זו לזו). אלא שהאקסיומה החמישית משאירה קצת "טעם רע בפה", ולא ממש נראית כמו אקסיומה, אלא דווקא כמו משפט שניתן להוכיח מתוך ארבעת האקסיומות האחרות. להלן האקסיומה החמישית של אוקלידס:

בהינתן קו ישר ונקודה מחוץ לקו, ניתן להעביר דרך הנקודה אך ורק קו ישר אחד בלבד שאינו חותך את הקו המקורי (ולכן מקביל לו).

האקסיומה החמישית הנ"ל היא זו שלמעשה הופכת את הגאומטריה למישורית דווקא, גאומטריה שבה קווים מקבילים לא נפגשים, וסכום הזוויות במשולש שווה ל-180 מעלות.

כאמור לעיל, האקסיומה הזו נשמעת יותר כמו משפט בר-הוכחה ופחות כמו אקסיומה, אבל מתמטיקאים לא הצליחו להוכיח אותה, והם ניסו. אלא שבמאה ה-19, אולי מתוך יאוש, מתמטיקאים החלו להשתעשע ברעיון של שינוי האקסיומה החמישית. הרעיון היה פשוט: מה יקרה אם נקבע כי דרך הנקודה דווקא אי אפשר להעביר קו שאינו חותך את הקו המקורי? כלומר, החלפנו את האקסיומה של אוקלידס באקסיומה שאומרת שכל הקווים שיעברו דרך הנקודה תמיד נחתכים עם הקו המקורי.

וראו זה פלא: שינוי אקסיומטי קטן, והופ! קיבלנו גיאומטריה מסוג שונה לחלוטין: גיאומטריה סְפֵרִית. אם בגיאומטריה מישורית שני קווים מקבילים לא נחתכים וסכום זוויות המשולש שווה ל-180 מעלות, בגיאומטריה סְפֵרִית שני קווים מקבילים דווקא כן נחתכים וסכום זוויות המשולש גדול מ-180 מעלות.

מתמטיקאים עפים על זה: בוקר בהיר אחד הם החליטו לשנות שוב את האקסיומה החמישית, כך שדרך הנקודה ניתן כעת להעביר יותר מקו אחד המקביל לקו המקורי ואינו חותך אותו, והופ! קיבלתם גיאומטריה חדשה: גיאומטריה הִיפֶּרְבּוֹלִית, עם תכונות שונות המיוחדות לה בלבד.

בשלב זה אני חוזר לנושא הנידון: אם המתמטיקה אינה המצאה, אם היא באמת קיימת גם מחוץ לתודעתו של האדם, אז מהו המבנה הגאומטרי הבסיסי של המציאות? מישורי? ספרי? היפרבולי? או אולי מבנה אחר? ליתר דיוק:

באיזו אקסיומה אלוהים השתמש כשברא את העולם?

הגאומטריות החדשות הללו נתגלו בסוף המאה ה-19, ובתחילת המאה ה-20 אף התחזק הרושם כי המתמטיקה אינה תגלית אלא המצאה. כפי שכבר הצגתי לכם במאמרים הקודמים, פרויקט הדגל של עולם המתמטיקה באותה תקופה היה לבסס את כל המתמטיקה מחדש באמצעות אקסיומות חדשות המבוססות על לוגיקה טהורה, מה שגרם לכל המתמטיקה להראות כמו משחק פילוסופי אחד גדול.

המתמטיקאי והלוגיקן הגרמני קורט גֶדֶל (1906-1978) רק החמיר את המצב, כאשר הפתיע את כל עולם המתמטיקה בזמן שפרסם את משפט אי-השלמות המפורסם שלו. בפשטות, גדל הוכיח כי אם המתמטיקה שלנו עקבית וחפה מסתירות, אז היא בהכרח לא שלמה, כלומר: יש טענות מתמטיות נכונות בלתי-כְּרִיעוֹת, כלומר טענות שאי אפשר להוכיח. מכאן נובע כי טענות אלה לא צומחות מתוך האקסיומות הקיימות של המתמטיקה, ובמובן מסוים נמצאות "מחוץ" לעץ המתמטי (שהשורשים שלו אלו האקסיומות).

פה הבעיה: אמרנו קודם כי אולי המציאות עצמה היא מבנה מתמטי, וזהויות מתמטיות מתממשות בטבע בתור חוקי הפיזיקה. אם כן, אז לפי גדל ייתכן וקיים חוק פיזיקלי שמיוצג על ידי משוואה מתמטית בלתי כְּרִיעָה. במילים אחרות: אם נניח כי המתמטיקה אינה המצאה אלא היא הבסיס של כל המציאות, וחוקי הפיזיקה הם התוצר של המתמטיקה, אז המציאות במובן מסוים אינה שלמה; אי שם קיימת פיזיקה שלא נובעת ישירות מתוך המתמטיקה שבבסיס המציאות. קצת מוזר, לא ככה?

כל האמור לעיל מקשה על הגישה הטוענת כי המתמטיקה היא תגלית. ובכל זאת, יש להודות כי עדיין קשה לנו להשתחרר מכך לגמרי… הפיזיקאי היהודי-הונגרי יוּגִ'ין וִיגְנֶר (1902-1995) שזכה בפרס נובל לפיזיקה לשנת 1963, נתן לכך ביטוי מיוחד במאמר מפורסם שכתב בשנת 1960, מאמר שנקרא:

"היעילות הבלתי-סבירה של המתמטיקה במדעי הטבע".

במאמר ויגנר טוען כי למרות הכל, אי אפשר להתעלם מעובדה אחת פשוטה, והיא:

בתור כלי העבודה המרכזי של הפיזיקה (ומדעי הטבע בכלל), למתמטיקה יש יעילות כל כך מדהימה, שהיא ממש על גבול המסתורין. כולנו מקבלים זאת כדבר מובן מאליו, אבל חשבתם פעם כמה מדהימה היא העובדה שפיזיקאי יכול לשרטט כמה סמלים בטוש על הלוח, והעולם שסביבנו באמת מחליט לציית לאותם סמלים?

מה שבאמת מדהים לפי ויגנר, היא העובדה שברוב המוחלט של המקרים – ואולי אף בכולם – התשתית המתמטית שנדרשת כדי להסביר תופעה מסוימת, מיד מתווה לפיזיקאי את הדרך קדימה אל עבר מרחבים חדשים. במילים אחרות: גם לאחר שפיזיקאים גילו שתופעה מסוימת מתנהגת בהתאם למשוואה מתמטית כלשהיא, הצעד הבא שלהם זה פשוט להתחיל "לעוף על המתמטיקה" ולתת לה להגיד להם מה הלאה. זה עובד כל פעם כמו קסם: כל מה שהפיזיקאי צריך לעשות זה "לשחק עם המשוואות" ולראות מה יוצא… כמו קסם, פעם אחר פעם התוצרים התיאורטיים של המתמטיקה מתבררים כבעלי קיום אמיתי במציאות. הנה מספר דוגמאות להמחשת הנושא:

את תורת היחסות איינשטיין פיתח כדי להסביר – בגדול – דבר אחד בלבד: מדוע מהירות האור קבועה ללא תלות במערכת הייחוס, דבר שאינו אפשרי במכניקה הניוטונית. אלא שברגע שהתשתית המתמטית של תורת היחסות נולדה, נוצר מצב בו פיזיקאי גרמני בשם קַרְל שְׁוַרְצְשִׁילְד (1873-1916) התחיל "לשחק עם המשוואות" של איינשטיין, וגילה לפתע כי למשוואות יש פתרון מוזר, כזה שמתאר יצור חדש ולא ממש מובן, יצור עם תכונות מוזרות להחריד. לימים, היצור הנ"ל נקרא בשם: חור שחור, והמתמטיקה של איינשטיין הולידה אותו הרבה לפני שנתגלו עדויות אמפיריות לקיומו.

דוגמה נוספת: הפיזיקאי האנגלי פּוֹל דִּירַק (1902-1984), חתן פרס נובל לפיזיקה לשנת 1933, מצא את עצמו "משחק" עם משוואת שרדינגר בגרסה היחסותית שלה. מפה לשם, דירק גילה כי מתוך המתמטיקה נולד יצור חדש: חלקיק שדומה לאלקטרון בכל דבר חוץ מהמטען החשמלי: המטען שלו חיובי ולא שלילי. כך נתגלה האנטי-חומר, ולא כי מישהו צפה בו; הוא פשוט הופיע לו מתוך המתמטיקה. וראו זה קסם: חלקיקי אנטי-חומר לבסוף אכן נצפו, והכל בגלל היעילות של המתמטיקה בתור כלי עבודה שחושף בפני הפיזיקאים עולמות חדשים.

בוזון היגס נולד מתוך המתמטיקה של המודל הסטנדרטי של פיזיקת החלקיקים, משוואת הגלים מופיעה לה כאשר מצליבים את משוואות מַקְסְוֶול זו בזו (וכל סטודנט שנה ראשונה לומד לעשות את זה), והיד עוד נטויה, אבל נראה לי שהבנתם את העסק.

סיכום

לסיכום, אני באופן אישי מתקשה להחליט. מצד אחד, הייתי מאוד רוצה להאמין כי המתמטיקה היא תגלית. לדעת שכל המציאות שסביבנו בנויה על מתמטיקה טהורה… יש בזה קסם של ממש, ואני מאוד רוצה שזה יהיה נכון. מצד שני, אני נוטה לגישה שהמתמטיקה היא המצאה, אבל אני מודה בפה מלא:

האוניברסליות שלה והיעילות שלה, אלו עובדות שהם בגדר פלא של ממש.