הפרדוקס המוזר של המספרים הרציונליים

נסו לדמיין כי ברשותכם דף נייר לבן, ואתם מנסים למלא אותו בנקודות שחורות. המטרה שלכם היא להוסיף כמה שיותר נקודות שחורות, באופן צפוף ללא גבול, כך שלבסוף כל הנייר כולו יהפוך להיות שחור. יש ברשותכם עיפרון מחודד מאוד, ובאמצעותו אתם מוסיפים לדף הנייר הלבן נקודות שחורות, אחת לאחת, בכל פעם נקודה אחת בודדת. בנוסף, אין לכם מגבלת זמן.

אתם מתחילים בתהליך, בטוחים כי תצליחו במשימה, אך להפתעתכם אתם מגלים כי לא משנה כמה נקודות אתם מוסיפים לדף, הוא נשאר לבן… אתם מוסיפים מיליון, מיליארד, טריליון נקודות, והדף נשאר לבן לחלוטין. לא משנה כמה צפופות הנקודות שאתם מוסיפים, הדף עדיין נשאר לבן. לאט לאט אתם מבינים שמשהו מוזר מתרחש כאן. יש לכם את כל הזמן שבעולם, אבל אתם מתחילים לחשוש כי גם אם תוסיפו אינסוף(!!) נקודות שחורות, הדף עדיין יישאר לבן.

במאמר הנוכחי אראה לכם כי המספרים הפשוטים שכולנו אוהבים ומכירים מתנהגים בדיוק כך… לכולנו יש אינטואיציה פשוטה לגבי טבעם של מספרים וכיצד הם אמורים "להתנהג", אך כפי שתראו להלן, האינטואיציה מוטעית לגמרי. בפרט, במאמר להלן אתמקד בהוכחה של עובדה מוזרה ביותר, והיא:

על ציר המספרים, המספרים הרציונליים נמצאים בכל-מקום ובשום-מקום בו-זמנית.

אני מתכוון לכך ברצינות: אם למשל יגידו לכם לבחור באקראי מספר רציונלי מתוך כל המספרים הקיימים בין \({0}\) ל-\({1}\), הסיכוי שלכם לבחור מספר רציונלי הוא: 0%, למרות שיש אינסוף מספרים רציונליים בין \({0}\) ל-\({1}\).

המוזרות רק תגדל, כאשר אוכיח לכם כי כל המספרים הרציונליים הקיימים בקטע שבין \({0}\) ל-\({1}\), לא תורמים כלום לאורך הכולל של הקטע. אע"פ שהם ממלאים את הקטע מקצה לקצה, הם עדיין לא תורמים כלום לאורך שלו.

התוצאה המוזרה הזו נובעת ישירות מתוך: "תורת המידה" (Measure Theory), ענף במתמטיקה שמכליל את המושג הנפוץ שכולנו מכירים בשם: אורך. מדובר בכלי מתמטי רב עוצמה, שפותח במיוחד כדי לענות על שאלות שנראות במבט ראשון חסרות משמעות, שאלות כגון: מהו האורך של קבוצת המספרים הרציונליים?

אבל איך זה יכול להיות? איך ייתכן כי המספרים הרציונליים נמצאים בכל מקום ובשום מקום בו-זמנית? ובאיזה מובן אפשר לייחס להם אורך? כדי להבין זאת, נצטרך לפרק לגורמים את האינטואיציה שיש לנו על מספרים בכלל, ועל מושגים כגון: אורך וצפיפות בפרט.

אוקיי, בואו נתחיל.

הכל מדיד

בשלב הראשון, יש להבין מה משמעות המילה: מדידה (Measure), מבחינה מתמטית. לדוגמה: מה זה אומר – מבחינה מתמטית – למדוד את האורך של אובייקט?

בחיי היומיום, ברור לכולנו כי אנו מודדים אורך של אובייקט ע"י שימוש בסרגל. קניתם ספה, ואתם רוצים לדעת מה האורך שלה? אין בעיה, קחו סרגל ותמדדו. כל עוד מדובר באובייקט רציף, האורך שלו הוא מושג מוגדר היטב: המרחק מקצה לקצה.

גם במתמטיקה, כל עוד מדובר באובייקט רציף, האורך שלו הוא פשוט המרחק מקצה לקצה. לדוגמה: אם נסתכל על ציר המספרים, אורך הקטע בין \({3}\) לבין \({7}\) הוא פשוט: \({4}\). אם נסמן את האורך באות: \(\mu\), אז בניסוח פורמלי נוכל לכתוב זאת כך:

\({\mu \left[ {3,7} \right]=7-3=4}\)

לשם הפשטות, מכאן והלאה נסתכל על ציר המספרים רק בקטע שבין \({0}\) ו- \({1}\), קטע שאורכו מן הסתם הוא: \({\mu \left[ {0,1} \right]=1-0=1}\). כל המספרים בקטע הנ"ל מורכבים משתי קבוצות נפרדות:

1. מספרים רציונליים: כל המספרים שניתן לייצג כחלוקה של שני מספרים שלמים, כגון: \(\ldots \text{ }\frac{5}{8}\text{ },\text{ }\frac{3}{4}\text{ },\text{ }\frac{1}{2}\) וכל שאר המספרים שאנו מכירים בתור: שברים פשוטים.
2. מספרים אי-רציונליים: כל המספרים שלא ניתן לייצג כחלוקה של שני מספרים שלמים, כגון: \(\ldots \text{ }\sqrt{2}\text{ },\text{ }e\text{ },\text{ }\pi \) את כל המספרים האלה ניתן לייצג אך ורק באופן עשרוני.

שתי הקבוצות הנ"ל – הרציונליים והאי-רציונליים – ביחד מרכיבות את כל המספרים הממשיים בקטע \(\left[ {0,1} \right]\).

כעת אנו מגיעים לנקודה חשובה: אם כל המספרים בקטע \(\left[ {0,1} \right]\) הם מספרים ממשיים, והאורך הכולל של כל המספרים הממשיים הוא: \({1}\) (זה אורך הקטע), אז הגיוני לצפות שכל אחת משתי הקבוצות לעיל תתרום חלק מסוים לאורך הכולל של הקטע, לא ככה?

יכול להיות שכל קבוצה תורמת באופן שווה, כלומר: קבוצת הרציונליים תורמת 50% מאורך הקטע, וקבוצת האי-רציונליים תורמת את החצי השני. אמנם, ייתכן כי התרומה של כל קבוצה אינה זהה: אולי רוב המספרים בין \({0}\) ל-\({1}\) הם דווקא מספרים אי-רציונליים והם תורמים 80% מאורך הקטע, והמספרים הרציונליים תורמים את ה-20% הנותרים. איך שלא יהיה, ברור כי האורך הכולל של הקטע נוצר כך או אחרת מהמספרים שבתוך הקטע, לכן הגיוני להניח כי קיימת חלוקה כלשהיא בין הקבוצות, וכל קבוצה תורמת את חלקה.

השאלה המתבקשת היא איך אפשר למדוד את האורך של קבוצת הרציונליים בנפרד, וקבוצת האי-רציונליים בנפרד. בהמשך נענה על כך, אך בשלב הזה עדיף להתמקד אך ורק בשאלת החלוקה, כלומר: באיזו מידה תורמת כל קבוצה לאורך הקטע.

לפני שנוכיח מתמטית מהי התרומה של כל קבוצה, בואו ננסה לבצע ניחוש מושכל, בהתאם לתכונות המוכרות של המספרים.

צפוף על הציר

למספרים הרציונליים יש תכונה חשובה: הם צפופים. מבחינה מתמטית, הצפיפות מתבטאת בטענה הבאה:

בין כל שני מספרים ממשיים, קרובים אחד לשני ככל שתרצו, תמיד תוכלו למצוא אינסוף מספרים רציונליים.

במילים אחרות: תבחרו שתי נקודות על ציר המספרים בקטע \(\left[ {0,1} \right]\), ובין שתי הנקודות האלה תוכלו למצוא אינסוף מספרים רציונליים. לא משנה עד כמה הנקודות שבחרתם קרובות זו לזו, תמיד תוכלו למצוא מלאי בלתי מוגבל של מספרים רציונליים בין שתי הנקודות. כמו כן, לא משנה היכן בקטע \(\left[ {0,1} \right]\) נמצאות שתי הנקודות שבחרתם – בתחילת הקטע, באמצע שלו או בסופו – אתם תמיד תגלו אינסוף מספרים רציונליים המסתתרים להם שם בפנים.

התכונה הזו נקראת: צפיפות, והמשמעות שלה היא שהמספרים הרציונליים נמצאים לאורך כל הקטע \(\left[ {0,1} \right]\) ואין שום מקום פנוי מהם; כל חתיכה מהקטע שתבחרו – קטנה ככל שתרצו ולא משנה מהיכן – החתיכה הזו תכיל בתוכה אינסוף מספרים רציונליים.

אלא שתכונת הצפיפות משותפת גם למספרים האי-רציונליים! גם הם צפופים בקטע \(\left[ {0,1} \right]\), ובין כל שתי נקודות שתבחרו, תוכלו למצוא אינסוף מספרים אי-רציונליים.¹ מכאן גם נובע, כי הרציונליים והאי-רציונליים מעורבבים זה בזה באופן בלתי ניתן להפרדה. מסקנה זו נובעת ישירות מתכונת הצפיפות, שהרי:

1. בין כל שני מספרים רציונליים – קרובים ככל שיהיו – תמיד נוכל למצוא מספר אי-רציונלי,
2. בין כל שני מספרים אי-רציונליים – קרובים ככל שיהיו – תמיד נוכל למצוא מספר רציונלי.

הבנתם? נסו לדמיין את עצמכם עושים זום-אין לתוך ציר המספרים, ולא משנה כמה קרוב אתם מסתכלים, תמיד מופיעים עוד ועוד מספרים רציונליים ואי-רציונליים, אחד ליד השני, ללא סוף.

לאור כל זאת, רק נראה הגיוני להניח כי אם האורך הכולל של כל המספרים הממשיים בקטע \(\left[ {0,1} \right]\) הוא \({1}\), אז כנראה שקבוצת הרציונליים תורמת 50% מאורך הקטע, וקבוצת האי-רציונליים תורמת את ה-50% הנותרים. הרי כפי שראינו, שתי הקבוצות נמצאות בכל מקום בקטע \(\left[ {0,1} \right]\) ומעורבבות זו בזו.

אנלוגיה פשוטה תהיה לדמיין חוף ים, המורכב ממקבץ עצום של גרגירי חול, חלקם לבנים וחלקם שחורים. אם הגרגירים הלבנים והשחורים מעורבבים זה בזה באופן מוחלט וממלאים את כל החוף כולו, היינו מצפים כי הצבע של החוף כולו יהיה אפור.

זו האינטואיציה הפשוטה שלנו, והיא שגויה לחלוטין.

לתחום נקודות

זה הרגע בו אנו נדרשים להגדרה מדויקת יותר של המושג: מידה. כאמור לעיל, כל עוד אנחנו מדברים על אובייקט רציף, כגון: מידת כל המספרים בקטע \(\left[ {0,1} \right]\), אז המושג: מידה מתלכד עם המושג: אורך, במובן הפשוט של המילה. בפשטות: המידה של המספרים הממשיים בין \({0}\) ל-\({1}\) שווה לאורך הקטע מקצה לקצה, כלומר: \({1}\).

אבל מה נעשה אם נרצה לדעת מהו האורך הכולל של כל המספרים הרציונליים בין \({0}\) ל-\({1}\), ורק הם בלבד? האם אפשר – לשם המחשה – "להוציא" כביכול רק את המספרים הרציונליים מתוך הקטע \(\left[ {0,1} \right]\) ולמדוד את האורך הכולל שלהם? איך בכלל אפשר לייחס אורך למקבץ אינסופי של נקודות חסרות גודל המפוזרות לכל אורך הקטע \(\left[ {0,1} \right]\)?

כאן נכנס לתמונה הנרי לאון לֶבֶּג (1875-1941), מתמטיקאי צרפתי שהגה רעיון מבריק: כדי למדוד את האורך של המספרים הרציונליים בלבד, "נמשוך אותם" החוצה מתוך הקטע \(\left[ {0,1} \right]\), נכניס כל מספר רציונלי לתוך מקטע קטנטן משלו, ונחבר את האורך הכולל של כל המקטעים. כיצד?

חשבו על כל מספר רציונלי בתור נקודה בודדת על ציר המספרים, נקודה המוקפת בשני קווים התוחמים אותה מימין ומשמאל, ככה: \({\left| \bullet \right|}\). בדרך זו נוכל לתחום את כל הנקודות שמייצגות את המספרים הרציונליים. אפשר לומר כי כל מספר רציונלי על ציר המספרים אנו סוגרים משני צדדיו באמצעות זוג קווים היוצרים מקטע, והמרחק בין הקווים הוא אורך המקטע. לֶבֶּג הציע להגדיר את האורך הכולל של כל המספרים הרציונליים בתור סך כל האורכים של כל המקטעים הנ"ל.

אוקיי, אז איך מייחסים אינסוף מקטעים לאינסוף מספרים רציונליים? בשלב הראשון, מוצאים דרך למנות את כל המספרים הרציונליים אחד לאחד. אמנם יש אינסוף מהם, אך קיימת שיטה פשוטה – שלב אחר שלב – בה ניתן למנות אותם מבלי לפספס אף אחד:

1. נמנה את כל הרציונליים עם מכנה השווה ל-\({1}\), כך: \(\frac{1}{1}\text{ },\text{ }\frac{0}{1}\)
2. כעת נמנה את כל הרציונליים עם מכנה השווה ל-\({2}\), כך: \(\frac{2}{2}\text{ },\text{ }\frac{1}{2}\text{ },\text{ }\frac{0}{2}\)
3. נמשיך למנות את כל הרציונליים עם מכנה השווה ל-\({3}\), כך: \(\frac{3}{3}\text{ },\text{ }\frac{2}{3}\text{ },\text{ }\frac{1}{3}\text{ },\text{ }\frac{0}{3}\)
4. וכן עבור מכנה השווה ל-\({4}\), כך: \(\frac{4}{4}\text{ },\text{ }\frac{3}{4}\text{ },\text{ }\frac{2}{4}\text{ },\text{ }\frac{1}{4}\text{ },\text{ }\frac{0}{4}\)
5. וכן הלאה…

כעת אפשר לאחד את כל המספרים מכל השלבים, ולקבל רשימה ארוכה של כל המספרים הרציונליים: \(\ldots {{q}_{4}},{{q}_{3}},{{q}_{2}},{{q}_{1}}\) הרשימה אמנם אינסופית, אך אפשר להיות רגועים כי כל מספר רציונלי בין \({0}\) ל-\({1}\) יופיע ברשימה לפחות פעם אחת.

עכשיו מגיע הטריק של לבג: את המספר הרציונלי \({{q}_{n}}\), נתחום במקטע שאורכו הוא: \(\frac{1}{{{{2}^{n}}}}\). כלומר:

1. את המספר הראשון \({{q}_{1}}\) נתחום במקטע שאורכו: \(\frac{1}{2}\)
2. את המספר השני \({{q}_{2}}\) נתחום במקטע שאורכו: \(\frac{1}{{{{2}^{2}}}}=\frac{1}{4}\)
3. את המספר השלישי \({{q}_{3}}\) נתחום במקטע שאורכו: \(\frac{1}{{{{2}^{3}}}}=\frac{1}{8}\)
4. את המספר הרביעי \({{q}_{4}}\) נתחום במקטע שאורכו: \(\frac{1}{{{{2}^{4}}}}=\frac{1}{{16}}\)
5. וכן הלאה…

כדי לחשב את האורך הכולל של כל המקטעים, יש לחבר את כולם:

\(\displaystyle {\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{{16}}+\ldots}\)

הסכום הכולל של כל האברים הנ"ל הוא: \({1}\), והאנימציה הבאה ממחישה זאת:

לכאורה, המסקנה מכאן שהאורך של כל קבוצת המספרים הרציונליים הוא \({1}\), אך זו טעות, שהרי אין סיבה לבחור דווקא במקטעים שאורכם: \(\frac{1}{{{{2}^{n}}}}\). אם נרצה, נוכל לשנות את בסיס החזקה במכנה מ-\({2}\) ל-\({3}\) ולבחור במקטעים קצרים יותר, כגון: \(\frac{1}{{{{3}^{n}}}}\), או: \(\frac{1}{{{{4}^{n}}}}\), ואפילו: \(\frac{1}{{{{10}^{n}}}}\). במקרה האחרון, נקבל כי האורך הכולל של כל המקטעים נראה כך:

\(\displaystyle {\frac{1}{10}+\frac{1}{100}+\frac{1}{1000}+\frac{1}{{10000}}+\ldots}\)

כעת, הסכום הכולל של כל המקטעים הרבה יותר קצר:

\(\displaystyle {0.1+0.01+0.001+0.0001+\ldots=}\)

\(\displaystyle {=0.1111\ldots=\frac{1}{9}}\)

לפתע המספרים הרציונליים תורמים הרבה פחות לאורך הקטע \(\left[ {0,1} \right]\).

אתם כבר בטח מנחשים כי אין סיבה לעצור כאן, ונוכל למעשה להקטין את האורך הכולל של המקטעים כמה שנרצה. למעשה, נוכל להקטין את האורך הכולל עד ל-\({0}\) ממש!²

לכן אין מנוס מהמסקנה:

1. האורך הכולל של כל המספרים הממשיים בקטע \(\left[ {0,1} \right]\) הוא \({1}\).
2. המספרים הממשיים מורכבים משתי קבוצות לא-חופפות: קבוצת הרציונליים וקבוצת האי-רציונליים.
3. האורך של קבוצת הממשיים מורכב – בדרך זו או אחרת – מסכום האורכים של שתי הקבוצות הנ"ל: הרציונליים והאי-רציונליים.
4. אבל האורך הכולל של קבוצת הרציונליים הוא \({0}\).
5. מה שנשאר חייב להיות האורך הכולל של הקבוצה השנייה, כלומר: האורך הכולל של קבוצת האי-רציונליים הוא \({1}\).
6. מכאן נובע כי (כמעט) כל המספרים הממשיים בין \({0}\) ל-\({1}\) הם מספרים אי-רציונליים.

במילים פשוטות:

יש אינסוף מספרים רציונליים בין \({0}\) ל-\({1}\), הם נמצאים לאורך כל הקטע ואין שום מקום פנוי מהם, ועדיין הם כאילו לא קיימים בכלל! גם אם "נוציא" אותם החוצה, כלום לא ישתנה…

הבנתם?

סיכום

בכל מה שקשור לטבעם של המספרים, די ברור כי האינטואיציה הרגילה שלנו נשברת לחלוטין: המספרים הרציונליים נמצאים בכל מקום לכל אורך ציר המספרים, בצפיפות אינסופית, ובכל זאת – הם עדיין "מופרדים" אחד מהשני, ולא מצליחים "להידבק" כדי לייצר רצף של ממש… הם סוג של: "אבק מתמטי", דק ועדין וממלא את הכל, אך חסר ממשות ולא תורם כלום לרצף המספרים עצמם.

לתוצאה המתמטית הזו יש השלכות עמוקות על הפיזיקה, שכן תוצאה זו מסבירה מדוע המספרים הרציונליים לבדם אינם מספיקים לתיאור מלא של הפיזיקה.

המספרים האי-רציונליים נתגלו ביוון העתיקה בתקופתו של פיתגורס, אבל מה היה קורה אם לא היינו מגלים אותם? לכאורה, אין סיבה מדוע לא היינו אמורים להתקדם מבחינה פיזיקלית אל עבר תיאור מדויק של המציאות. כאמור לעיל, בכל רזולוציה שבה נסתכל, נמצא מלאי אינסופי של מספרים רציונליים. האם ייתכן כי היינו מסוגלים לפתח פיזיקה חלופית – טובה לא פחות מהנוכחית – שמבוססת אך ורק על מספרים רציונליים?

התשובה היא: לא. חוקי פיזיקה רבים מתוארים באמצעות משוואות דיפרנציאליות, כגון: משוואות מקסוול, משוואת שרדינגר, או משוואות השדה של איינשטיין. משוואות אלה – ורבות אחרות – נועדו כדי לתאר מושגים רציפים כגון: שדה, מרחב וזמן. כל המשוואות הללו דורשות שימוש בנגזרות ובאינטגרלים – פעולות שתלויות בקיומו של ציר מספרים רציף. לכן ברור מדוע אי אפשר לתאר את המציאות הפיזיקלית תוך הסתמכות על מספרים רציונליים בלבד, כי הם באים לידי ביטוי רק בתור נקודות מבודדות על ציר המספרים, והם אינם יכולים לספק את הרציפות הנדרשת לתיאור מלא של המציאות.

מכיוון שלמספרים הרציונליים יש מידה \({0}\), הם אינם יכולים "לשאת" על גבם רציפות מתמטית אמיתית. לא משנה כמה הם צפופים, הם אף פעם לא "נדבקים". לעומת זאת, המספרים האי-רציונליים הם אלו שתורמים למידה של הישר הממשי, והם אלו שמספקים את המסגרת המתמטית הנדרשת לרציפות של חוקי הפיזיקה.

1. ליתר דיוק, בין כל שני מספרים ממשיים קיימת קבוצה אינסופית בת-מניה של מספרים רציונליים, וקבוצה אינסופית לא בת-מניה של מספרים אי-רציונליים. [↩]
2. את הטכניקה הנ"ל לא ניתן ליישם על המספרים האי-רציונליים כי הם לא קבוצה בת-מניה, בניגוד לקבוצת הרציונליים שהיא בת-מניה. כלומר: אי אפשר לייצר רשימה אינסופית מסודרת שבה נדע בוודאות שכל מספר אי-רציונלי יופיע לפחות פעם אחת. אם ננסה לייחס סדרה אינסופית של מקטעים לכל המספרים האי-רציונליים, נגלה כי הסדרה נגמרת ועדיין נשארו מספרים אי-רציונליים ללא מקטעים. [↩]