הפרדוקס המפורסם ביותר במתמטיקה

"הגורם היסודי לצרות העולם המודרני הוא כי בני אדם טיפשים מלאים בביטחון, ובני אדם חכמים דווקא מלאים בספקות."

מי שאחראי לתובנה הכל-כך מוצלחת הנ"ל הוא המתמטיקאי והפילוסוף הבריטי בֵּרְטְרַנְד רַאסֶל (1872-1970), שעליו דיברנו במאמר הקודם.¹ ייתכן כי חלקכם כבר נתקלתם בראסל בעבר, אך לא דווקא בהקשר של הישגיו במתמטיקה, אלא בגלל דעותיו על הדת, זאת במידה ושמעתם על המושג: "קנקן התה של ראסל".

אם זו פעם ראשונה שאתם שומעים על כך, אז יש לדעת כי ראסל לא האמין באלוהים, אע"פ שהוא לא הגדיר את עצמו כאתיאיסט, אלא כאגנוסטיקן, כלומר: אדם שלא שולל את אפשרות קיומו של אלוהים, אך בפועל הוא אינו מאמין בקיומו עקב חוסר ראיות משכנעות מספיק.²

את אי-האמונה שלו באלוהים, ראסל השווה לאי-האמונה שלו בקנקן תה עשוי חרסינה שמקיף את השמש במסלול אליפטי בין כדור הארץ למאדים, ובפרט כאשר לקנקן התה הנ"ל יש תכונה מיוחדת במינה: הוא נעלם כל אימת שמנסים למצוא אותו. במילים אחרות: בלתי אפשרי להפריך את קיומו של קנקן התה החמקן. אני מניח כי הנמשל ברור, ולימים המשל הזה נקרא בפשטות: "קנקן התה של ראסל".³

אז היום אני מקדיש מאמר נוסף לראסל, פשוט כי אני מאוד אוהב אותו. ראסל לדעתי הוא אחת הדמויות המרתקות בהיסטוריה של המדע והפילוסופיה, וקשה שלא לחוש כלפיו הערכה עמוקה, כי הוא היה איש אשכולות מזן נדיר מאוד; במהלך חייו הוא חיבר עשרות ספרים ואלפי מאמרים בשלל נושאים שונים: מתמטיקה, פילוסופיה, חברה, מוסר, דת ופוליטיקה. על תרומתו לספרות הוא אף זכה בפרס נובל לספרות לשנת 1950. אחד מספריו המפורסמים שתורגם לעברית נקרא: "בעיות הפילוסופיה", ואני ממליץ לכל אחד ואחת מכם לתת אותו במתנה לעצמכם.

לדעתי האישית, הספר צריך להיות חלק ממערכת החינוך הממלכתית, כי הוא בראש ובראשונה ספר חינוכי מהמעלה הראשונה, ורק אחר כך ספר פילוסופי. כותרת הספר מעט מטעה, כי אפשר להבין ממנה שראסל מציג בספר את הפילוסופיה כבעייתית. ההיפך הוא הנכון: ראסל סוקר בספר סדרה של שאלות פילוסופיות שלכאורה התשובה עליהן ברורה לכל אחד ואחת מאתנו. לאורך הספר ראסל מראה כי לאחר בחינה מעמיקה יותר, מה שחשבתם למובן מאליו, לא בהכרח אכן כזה. ראסל משתמש בכך כדי לרמוז לקורא שרבות מהסברות שבהן אנחנו כל-כך בטוחים, הן בסה"כ ירושה תרבותית מהסביבה בה גדלנו. אמנם ייתכן וכדאי לדבוק בהן לאחר עיון, אך אם האדם אינו מטיל בהן ספק כלל, הוא נשאר כבול אליהן, אע"פ שהוא עצמו לא גיבש אותן. וזו – לדעתו של ראסל – יתרונה הגדול של הפילוסופיה: לאו דווקא לתת תשובה ברורה לשאלות היסוד – כי במקרים רבים הפילוסופיה אינה עושה זאת – אלא בעיקר להרחיב את אופקיו של האדם.

בנוסף, ראסל הוא דוגמה לאחד מאותם בני אדם בודדים שלקחו את יכולת המחשבה האנושית לקצה גבול היכולת, ורמז לכך נתתי במאמר הקודם, בו סיפרתי לכם על הפרויקט האדיר שהוא לקח על עצמו בתחילת המאה ה-20: לבנות מחדש את יסודות המתמטיקה; פרויקט שגרם לכך שנדרשו לראסל כ-400 עמודים רק כדי להוכיח את הזהות הפשוטה: 2=1+1.

במאמר הנוכחי, אתאר בפניכם מה הוביל את ראסל למשימה שלקח על עצמו: להגדיר מחדש את יסודות המתמטיקה. הטריגר שגרם לכך הוא פרדוקס מתמטי שראסל מצא, פרדוקס הנקרא על שמו: "פרדוקס ראסל". מדובר באחד מהפרדוקסים המפורסמים ביותר בהיסטוריה של הלוגיקה, ובוודאי כזה שהשפיע על העולם המתמטי של התקופה באופן מאוד משמעותי. את הפרדוקס ראסל גילה כאשר היה בן 30, לכן המאמר להלן יספק לכם גם הצצה למה מתרחש במוחו של גאון צעיר.

אוקיי, נתחיל.

על קבוצות שעושות צרות

בתחילת המאה ה-20, ראסל הצעיר מצא את עצמו מהרהר בהשלכות של תורה מתמטית שפותחה כ-25 שנים קודם לכן, ע"י המתמטיקאי הגרמני גֵּאוֹרְג קַנְטוֹר (1845-1918). התורה החדשה נקראה בשם: תורת הקבוצות (Set theory), וקנטור פיתח אותה כדי לחקור את התכונות של קבוצות שונות של מספרים, כגון: מספרים אלגבריים, מספרים טרנסצנדנטיים וכו'.⁴

בבסיס התורה עומד מושג הקבוצה (Set), כאשר הרעיון הכללי הוא די פשוט: קבוצה היא אוסף של אובייקטים, מכל סוג שהוא. במילותיו של קנטור עצמו: "קבוצה היא כינוס של אובייקטים מוגדרים ומובחנים של התפיסה שלנו או המחשבה שלנו. כינוס האובייקטים יוצר מכלול שלם מובחן הנקרא: קבוצה, והאובייקטים עצמם נקראים: אלמנטים של הקבוצה".

מספר האובייקטים בקבוצה אינו מוגבל; קבוצה יכולה להכיל אינסוף אובייקטים (כגון: קבוצת כל המספרים הזוגיים), או מספר סופי של אובייקטים (כגון: קבוצת כל הפתרונות למשוואה פולינומית ממעלה חמישית), או אובייקט אחד בלבד (כגון: קבוצת כל המספרים שמתקבלים מחלוקת היקף המעגל בקוטרו, שזה למעשה המספר פאי). קבוצה עם אובייקט אחד בלבד נקראת: יְחִידּוֹן (Singleton).

למעשה, אם קבוצה יכולה להכיל כל דבר, אז היא גם יכולה להכיל כלום. קבוצה שכזו נקראת: "קבוצה ריקה" (Null set), והיא ישות קיימת מבחינה מתמטית; זו קבוצה כשרה למהדרין, פשוט אין בה שום דבר, היא ריקה לגמרי.

גם ברור כי אם סוג האובייקטים בקבוצה אינו מוגבל, אז קבוצה יכולה להיות מורכבת מקבוצות אחרות; למשל: קבוצה שהאובייקטים בה הם: קבוצת המספרים שמתחלקים ב-2, קבוצת המספרים שמתחלקים ב-3, קבוצת המספרים שמתחלקים ב-4, וכן הלאה… כל הקבוצות הנ"ל מאוגדות יחד לקבוצת-על נפרדת, שהאלמנטים שלה הם קבוצות בפני עצמן.

בשלב זה, ראסל החל להשתעשע בהשלכות של התורה החדשה הזו, בעיקר לגבי קבוצות שהאובייקטים בהם אלו קבוצות אחרות. ראסל התעניין במיוחד בשתי הקבוצות הבאות:

1. קבוצה שמכילה את כל הקבוצות שמכילות אובייקט אחד בלבד.
2. קבוצה שמכילה את כל הקבוצות שמכילות יותר מאובייקט אחד.

ראסל שם לב כי יש הבדל גדול בין 2 הקבוצות הנ"ל:

1. הקבוצה הראשונה אינה מכילה את עצמה. מדוע? כי בקבוצה הראשונה, כל אובייקט הוא בעצמו קבוצה בעלת אובייקט אחד בלבד. יש המון קבוצות עם אובייקט בודד, ולכן קבוצת-העל מורכבת ממספר גדול של אובייקטים. אם קבוצת העל כוללת רק קבוצות עם אובייקט בודד, אז מכאן נובע כי היא אינה כוללת את עצמה.
2. הקבוצה השנייה לעומת זאת, כן מכילה את עצמה. מדוע? כי בקבוצה השנייה, כל אובייקט הוא בעצמו קבוצה עם יותר מאובייקט אחד. קבוצת-העל מורכבת ממספר גדול של אובייקטים, והיא מכילה את כל הקבוצות שיש להם יותר מאובייקט בודד, ולכן קבוצת-העל כוללת את עצמה.

השאלה הבאה שראסל שאל את עצמו, הובילה אותו לגלות פרדוקס בתורת הקבוצות. זו היא השאלה:

נסתכל על קבוצה שכוללת את כל הקבוצות שלא מכילות את עצמן, ורק אותן. האם קבוצה זו מכילה את עצמה, או לא?

מה דעתכם? ראסל גילה כי התשובה היא: אם היא לא – אז היא כן, ואם היא כן – אז היא לא.

כיצד? בואו נבחן את שתי האפשרויות:

1. נניח כי קבוצה זו לא מכילה את עצמה. אם כך, אז היא עומדת בתנאי ההצטרפות אליה, כי הרי היא הקבוצה שכוללת את כל הקבוצות שלא מכילות את עצמן. מכאן נובע כי הקבוצה דווקא כן מכילה את עצמה.
2. נניח כי קבוצה זו כן מכילה את עצמה. אם כך, אז היא לא עומדת בתנאי ההצטרפות אליה, כי הרי היא הקבוצה שכוללת את כל הקבוצות שלא מכילות את עצמן. מכאן נובע כי הקבוצה דווקא לא מכילה את עצמה.

הבנתם? ראסל מצא חור בתורת הקבוצות.

יש להדגיש: אם זה נשמע לכם כמו סוג של הטרלה מתמטית, אז דעו לכם כי לא מדובר בדבר של מה בכך, ותגליתו של ראסל הרסנית במובן המחמיר של המילה. הסיבה לכך פשוטה: באותה תקופה, עולם המתמטיקה כבר החל להסתמך על תורת הקבוצות כבסיס אקסיומטי שעליו ניתן לבנות את המתמטיקה כולה. אלא שאם סתירות לוגיות יכולות לצמוח מתוך תורת הקבוצות, משמע המבנה המתמטי כולו בסכנת קריסה.⁵

ברגע שבו ראסל הבין כי יש פרדוקס בתורת הקבוצות, הוא מיד שלח מכתב בן 2 עמודים למתמטיקאי הגרמני גּוֹטְלִיבּ פְרֵגֶה (1848-1925), אחד מהמתמטיקאים הבולטים והחשובים של אותה תקופה. ראסל ידע שפרגה כבר החל לעבוד על פיתוח מערכת אקסיומות המבוססת על לוגיקה טהורה שעליה ניתן לבסס את כל המתמטיקה. למעשה, בזמן שראסל גילה את הפרדוקס, פרגה כבר הספיק לפרסם את הכרך הראשון של עבודתו, והיה אוטוטו לקראת פרסום הכרך השני.⁶ אלא שראסל במכתבו לפרגה, הראה כי הפרדוקס נובע ישירות מתוך המערכת הלוגית של פרגה עצמו!⁷ תרגמתי לכם את תחילת המכתב של ראסל:

"פרגה היקר, כבר כשנה וחצי שאני מתעמק בספרך: "חוקי הבסיס של האריתמטיקה". אני מוצא את עצמי בהסכמה מלאה על כל הנושאים היסודיים בעבודתך, ובפרט לגבי הצורך לבסס את המתמטיקה על לוגיקה פורמלית. יש רק נקודה אחת שיוצרת עבורי קושי מסוים… (מכאן והלאה ראסל ממשיך ומתאר את הפרדוקס שגילה)."

תארו לכם מה עבר בראשו של פרגה המסכן כאשר קיבל את המכתב של ראסל… אל תשכחו שעבור מתמטיקאי, מכתב שכזה הוא נוקאאוט שקשה לקום ממנו. זמן קצר לאחר מכן, פרגה פרסם את החלק השני של ספרו למרות מכתבו של ראסל, אך הוסיף נספח לספר המתייחס לפרדוקס. בגילוי לב מעורר אמפתיה, פרגה פתח את הנספח במילים הבאות:

"קשה למצוא דבר מצער יותר שיכול לפקוד מתמטיקאי לאחר סיום עבודתו, מאשר הגילוי כי אחד מיסודות המבנה שלו נתון לזעזוע. זו הייתה העמדה שבה הוצבתי בעקבות מכתבו של מר ראסל, בדיוק כאשר הדפסת הכרך הזה הגיעה לכדי סיום."

זהו, עכשיו אתם יודעים מהו הפרדוקס של ראסל. ההשפעה של הפרדוקס על עולם המתמטיקה הייתה עצומה, והפרדוקס עצמו היה הטריגר שגרם לראסל עצמו לשנס מותניים, לקחת את עבודתו של פרגה ואת החזון הכללי שלו, ולנסות – ביחד עם מתמטיקאים נוספים – לפתח מערכת לוגית חדשה, מוצקה וחפה מסתירות, שעליה ניתן יהיה לבסס את המתמטיקה כולה.

1. Mortals and Others, Volume II, American Essays 1931-1935, page 28 [↩]
2. זו גרסה רכה של אגנוסטיות, כי יש אגנוסטיות "קשה" יותר, הטוענת כי לגבי קיומו או אי-קיומו של אלוהים, ראיות לכאן או לכאן אינן קיימות כלל באופן עקרוני. [↩]
3. ליתר דיוק, ראסל התמקד בקנקן תה שבלתי ניתן לגילוי באמצעות טכנולוגיה קיימת. לימים, קנקן התה של ראסל "שודרג" לגרסה מחוזקת יותר, הנקראת: "החד-קרן הוורודה הבלתי נראית". בניגוד לקנקן התה, החד-קרן אינה ניתנת לגילוי באופן עקרוני, לאו דווקא בגלל מגבלה טכנולוגית. [↩]
4. מספר אלגברי הוא כל מספר שהוא שורש של פולינום מדרגה n בעל מקדמים רציונליים. מספר טרנסנדנטי הוא כל מספר שאינו אלגברי. [↩]
5. כמובן שהמצב לא נשאר כך עד ימינו. לאחר תגליתו של ראסל, עולם המתמטיקה השקיע מאמצים לעדכן את תורת הקבוצות באופן שלא יגרום לפרדוקסים שכאלה. השינוי המרכזי היה בכך שתורת הקבוצות בגרסה המקורית שלה בנתה את כל שאר הקבוצות "מלמעלה למטה", כלומר התורה התחילה מקבוצת-על שכוללת את כל הקבוצות כולן, וכל קבוצה אחרת היא תת-קבוצה של אותה קבוצת-על. בגרסה המעודכנת של תורת הקבוצות, התהליך הפוך: "מלמטה למעלה", כלומר: קבוצת הבסיס היא הקבוצה הריקה, וקבוצות אחרות מורכבות ממנה. [↩]
6. פרגה כבר החל לעבוד על מערכת לוגית לביסוס המתמטיקה בספרו משנת 1879: Formula Language, Modeled Upon That of Arithmetic, for Pure Thought. בשנת 1902 כאשר ראסל שלח את מכתבו, פרגה כבר פרסם את החלק הראשון של ספר נוסף הנקרא: Basic Laws of Arithmetic, והיה כאמור לקראת פרסום החלק השני. שני הספרים מתארים את ניסיונו של פרגה לייצר מערכת לוגית של אקסיומות לביסוס המתמטיקה, וראסל הראה כי הפרדוקס נובע ישירות מתוך המערכת של פרגה. [↩]
7. ליתר דיוק, ראסל לא תיאר את הפרדוקס בגרסה המקורית שלו של תורת הקבוצות, אך למעשה הראה כי מהמערכת הלוגית של פרגה ניתן לייצר גרסה דומה של הפרדוקס. [↩]