2=1+1, נכון? עכשיו תוכיחו!

משהו מאוד מוזר ומדאיג מתרחש בעולם (ואני לא מתכוון מבחינה גיאו-פוליטית). נראה שמתחיל תהליך כלשהוא, שאם ילך ויתגבר ויצבור תאוצה מספקת, חלקים גדולים בציבור יתחילו לעשות רגרסיה מנטלית לתקופת ימי-הביניים, והשד יודע אילו השלכות יהיו לכך לטווח הארוך.

אני לא יודע אם שמעתם לאחרונה על טיפוס בשם טֵרֵנְס הַוַוארד (Terrence Howard) שבחודשים האחרונים, הוא והתיאוריות המדעיות שלו הפכו להיות ויראליים בצורה מדאיגה.

למי שלא מכיר, הווארד הוא שחקן קולנוע הוליוודי מצליח פלוס. הוא שיחק בעבר בכמה סרטים די מפורסמים וגם היה מועמד לאוסקר. בשנים האחרונות הצלחתו נסקה עוד יותר כשכיכב בתפקיד הראשי בסדרת הטלוויזיה הפופולרית: "אימפריה".

במהלך השנים האחרונות, הווארד החל לפתח שלל תיאוריות "פיזיקליות\מתמטיות\לוגיות" שקוראות תיגר – בלשון המעטה – על כל הפיזיקה\מתמטיקה\לוגיקה הידועה לנו.

הבחור רציני. הוא כותב, מפרסם, יוצר מודלים, מתראיין ומקדם את התיאוריות שלו בכל הזדמנות אפשרית.

טוב, אז מה הביג דיל? איך כתוב בתנ"ך: חֲסַר מְשֻׁגָּעִים אָנִי, כִּי הֲבֵאתֶם אֶת זֶה לְהִשְׁתַּגֵּעַ עָלָי?¹ מה כבר יקרה אם עוד איזה משיגנע מברבר שטויות?

ובכן, אני לא יודע איך ולמה, אבל הווארד זוכה לחשיפה אדירה, שהסלבריטי הממוצע רק יכול לחלום עליה. המדיה – אפילו זו שנחשבת עדיין שפויה – נותנת לו במה מטורפת, בסחף בלתי פוסק של טרלול שנראה כי יוצא משליטה. החלום הרטוב של עבדכם הנאמן הוא שהבלוג "שמץ של מושג" יגיע לאלפית מהחשיפה של הווארד…

קצרה היריעה למנות את כל הבמות שהוא מקבל במדיה. אלא שלאחרונה הווארד הוזמן לראיון בפודקאסט של ג'ו רוגן (Joe Rogan), כנראה הפודקאסט המצליח ביותר ברשת עם חשיפה של 17 מיליון מנויים, שם ניתנה להווארד הזדמנות לפרוס את כל התיאוריות שלו בנחת לאורך 3 שעות רצוף; כביכול מדובר באלטרנטיבה מדעית שציבור המאזינים צריך להכיר, לשקול או לקחת בחשבון. תרגמתי חלק מדבריו, רק שתבינו על מה מדובר:²

כל האנרגיה ביקום מובעת בתנועה, וכל התנועה מובעת בגלים, וכל הגלים הם עקומות, אז איך ייתכן שיש קווים ישרים ביקום? אין קווים ישרים. ואחרי שפותחים את פרח החיים באופן הנכון, מגלים המון צימודי גלים חדשים שחושפים את מרווחי החלל שבאמצע, וזה מה שמחזיק את כולנו … כעת באמצעות צימודי הגלים אנו יכולים לדעת את זוויות הפגיעה, מה שלא יכולנו לעשות קודם לכן עם חמשת הפֵּאוֹנים האפלטוניים, כי כל הפֵּאוֹנים מתבססים רק על קירוב ומיצוע כי אין קווים ישרים באמת … הרי הכבידה נוצרת בגלל הכוח החשמלי, וחשמל תמיד מחפש תנאי לחץ מינימליים. עקב כך החשמל מסתחרר בכיוון צפון-מזרח ומחפש להגיע למרכז החרוט. אבל הגל החשמלי הבא מגיע באותו רגע ודוחף את הגל הראשון אל עבר המערבולת…

הבנתם? כי אני לא הבנתי כלום…

לאחרונה הוא אף פרסם מאמר של 4 עמודים שבו הוא מוכיח כי, תחזיקו חזק: אחד כפול אחד דווקא שווה שניים. כן, שמעתם נכון: אחת המסקנות שאליה הווארד הגיע היא ש- 2=1×1, ממש כך. המאמר שלו הפך כמובן לוויראלי, משתפים אותו שוב ושוב, והווארד מוזמן לעוד ועוד אולפנים. אתם מוזמנים להתעמק במאמר שלו בקישור כאן, אם יש לכם חשק.

חכו, אתם לא תאמינו עד לאן מגיעה השגעת: הווארד הוזמן על ידי אוניברסיטת אוקספורד לפרוס את משנתו מול קהל סטודנטים סקרן.³ שמעתם נכון, אוניברסיטת אוקספורד. הווארד עומד ומסביר לכולם עד כמה המתמטיקה שגויה ולמעשה 2=1×1 וגם כי השורש הריבועי של 2 הוא דווקא מספר רציונלי, ולא כמו שחשבנו אלפי שנים (מה שבטוח הוא שהשורש הריבועי של טרנס הווארד הוא מספר אי-רציונלי).

הוא עולה לבמה וכולם מוחאים כפיים, ולבסוף יורד ממנה לקול תשואות הקהל אחרי הרצאה מטורללת ברמה מדאיגה. בכלל, בכל מקום שבו הוא מרואיין כולם מסביבו נורא מנומסים, מאוד פוליטיקלי-קורקט. יש לשמור על ראש פתוח, ככה כולם אומרים (אני כמובן גם תומך בשמירה על ראש פתוח, רק לא יותר מדי, כי אז המוח יכול לגלוש החוצה).

אני מנסה להבין מה הולך פה… אני לא מומחה לסוציולוגיה, אבל יש שיגידו כי מסיבות כאלה ואחרות, הולכת ומתפתחת בעולם גישה אנטי-ממסדית כללית שצוברת תאוצה בשנים האחרונות. אם עד עכשיו האויבים "הקלאסיים" של הגישה הנ"ל היו הממסדים הממשלתיים לסוגיהם, כעת נראה כי על הדרך הגישה הזו מתחילה לטרגט גם את המדע עצמו, כממסד. המדע הולך ומקבל תגית של "אשמה בגלל קרבה" (Guilty by Association).

טוב, אז למה אני מספר לכם את כל זה? קודם כל, כי זה מעניין (ומדאיג) לשים לב מה קורה בעולם, ואיך הוא משתנה סביבנו. אבל סוף כל סוף הטרלול של הווארד הוא לא המטרה המרכזית של המאמר, זו רק הרמה להנחתה. בפועל, אני רוצה להתמקד היום דווקא בנקודה מאוד עדינה, שרובנו לא מודעים אליה בכלל (אלא אם כן אנחנו מתמטיקאים), והיא:

הוכחת זהויות מתמטיות פשוטות זו משימה מאוד מורכבת.

במילים אחרות: לטרנס הווארד נדרשו רק 4 עמודים כדי "להוכיח" זהות פשוטה כמו: 2=1×1 (שהיא כמובן זהות שגויה, אבל היא עדיין פשוטה מאוד). לעומת זאת, למתמטיקאים נדרשים מאות עמודים כדי להוכיח זהויות שכאלה, אפילו שמדובר בזהויות פשוטות שמובנות מאליהן לכל אחד ואחת מאיתנו.

נשמע קצת הזוי מה שאמרתי עכשיו, אבל אני לא מתלוצץ, ואסביר למה אני מתכוון:

נניח כי הייתם רוצים להוכיח זהות מתמטית פשוטה ביותר, למשל: 2=2×1. כיצד הייתם עושים זאת?

סביר להניח שמהר מאוד הייתם מוכיחים את הזהות הנ"ל באמצעות ההגדרה של פעולת הכפל, שהיא למעשה "פעולת חיבור ארוכה": הכפלה של מספר Y במספר X פירושה חיבור X מספרי Y זה לזה. במילים אחרות: הזהות 2=2×1 נכונה כי 2=1+1.

אלא שכעת תצטרכו להוכיח מדוע 2=1+1. מצד אחד זו נראית משימה פשוטה להחריד, אבל אם באמת תנסו לעשות זאת, מהר מאוד אתם תגלו כי אתם לא באמת מוכיחים שום דבר; די מהר יתברר לכם כי את הזהות הפשוטה הזו אתם מקבלים כקביעה מובנת מאליה. לכאורה, מה יש להוכיח פה? ככה זה, וזהו.

אז אולי טיעון שכזה משכנע אתכם, אבל את בֶּרְטְרַנְד רַאסֶל (Bertrand Russell) – אחד מהמתמטיקאים הגדולים ביותר במאה העשרים – זה לא שכנע. לראסל לקח 379 עמודים של מתמטיקה חופרת עד שהוא הצליח להוכיח כי 2=1+1. אתם בטח שואלים את עצמכם למה לעזאזל דרושים כמעט 400 עמודים כדי להוכיח שאחד ועוד אחד שווה שניים… ובכן, התשובה מסתתרת מתחת לאחד מהפרויקטים הגדולים של עולם המתמטיקה במאה הקודמת.

כדי להבין מהו אותו פרויקט אדיר שעליו אני מדבר, יש לזכור כי המתמטיקה היא כמו בנין רב-קומות. בתחילת המאה ה-20 הבנין הנ"ל היה כבר די גבוה; תחומים מאוד מורכבים התפתחו בעולם המתמטי בעקבות המהפכה המדעית, תחומים כגון: חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, אנליזה מרוכבת, אלגברה ליניארית, ומה לא. אך כל תחום חדש עומד לחלוטין על כתפי קודמו, וקודמו מבוסס על התחום שמתחתיו, וכן הלאה וכן הלאה, כל הדרך למטה עד ליסודות המתמטיקה שראשיתם ביוון העתיקה. במילים אחרות: הנכונות של כל תחום חדש תלויה בנכונות של קודמיו, וכולם יחד תלויים ביסודות של הבנין כולו.

אבל האם אנחנו בטוחים שהיסודות של בנין המתמטיקה חזקים מספיק? האם ייתכן וקיבלנו בירושה יסודות רעועים, שיכולים לסכן את היציבות של הבנין כולו? ומה בכלל המשמעות של יסודות רעועים בהקשר זה?

אלה השאלות שהטרידו את גדולי המתמטיקאים של תחילת המאה ה-20, ובראשם דויד הילברט (1862-1943) וברטרנד ראסל (1872-1970). שני ענקי המתמטיקה האלה, קיבלו "בירושה" גורד שחקים מתמטי, ומה שהדיר שינה מעיניהם זו מידת החוזק של יסודות המבנה הנ"ל.

בנקודה זו חשוב להבין מה פירוש המושג: "יסודות חזקים", לפחות כפי שהבינו זאת הילברט וראסל. מבחינתם, גורד השחקים של המתמטיקה נמצא בסכנה אם חס וחלילה נגלה כי:

1. יש טענות מתמטיות נכונות שאין להם הוכחה.
2. יש טענות מתמטיות שיש להם בו-זמנית גם הוכחה וגם הפרכה.

הנה דוגמה פשוטה שבאמצעותה תוכלו להבין ממה הם פחדו כל כך. חשבו על הטענה המתמטית הבאה:

כל מספר זוגי גדול מ-2 ניתן להציג כסכום של שני מספרים ראשוניים.

זו טענה שנכונה לכל המספרים הזוגיים שבדקנו עד עכשיו, אז יכול להיות שהיא נכונה (טענת אמת), אבל עד היום לא מצאנו הוכחה לטענה הזו. מה שהפחיד את הילברט וראסל זו האפשרות שאולי אין בכלל הוכחה לטענה הזו במסגרת המתמטיקה הקיימת. אולי הטענה אכן נכונה לכל המספרים אבל אנו לעולם לא נוכל לדעת זאת בוודאות, כי ההוכחה לטענה פשוט אינה קיימת. מבחינתם מדובר בתועבה של ממש: מתמטיקה שיש בה טענות נכונות שאי אפשר להוכיח.

הילברט וראסל פחדו מתועבה נוספת שאולי מסתתרת לה אי-שם בתוך גורד השחקים המתמטי, והיא: העובדה שאולי יום אחד נוכל למצוא לטענה הנ"ל גם הוכחה וגם הפרכה. במילים אחרות: אולי קיימת אפשרות כי יום אחד הילברט ימצא דרך להוכיח את הטענה, ויום למחרת ראסל ימצא דרך להפריך אותה. כעת מדובר בתועבה אפילו גדולה יותר: משמעות הדבר היא שיש בתוך המתמטיקה סתירה פנימית; אפשר להוכיח דבר והיפוכו.

אם שתי התועבות האלה הן "רעידות אדמה", אז כל עולם המתמטיקה של תחילת המאה ה-20 פחד כי אולי היסודות הקיימים של גורד השחקים המתמטי אינם חזקים מספיק כדי לייצב את הבנין מפני "רעידות אדמה" שכאלה.

מסיבה זו, ברטרנד ראסל ביחד עם עוד מתמטיקאי נוסף בשם: אַלְפְרֶד וַיְיטְהֶד (Alfred Whitehead) לקחו על עצמם פרויקט מונומנטלי: להגדיר מחדש את יסודות המתמטיקה באופן כזה שיבטיח כי מכאן והלאה גורד השחקים של המתמטיקה יהיה יציב לחלוטין מפני כל רעידת אדמה. אם ננסח זאת באופן מקצועי יותר, וויטהד וראסל ניסו להבטיח כי: 1. לכל טענה מתמטית קבילה נוכל למצוא הוכחה או הפרכה, 2. לא תיתכן סתירה פנימית במתמטיקה.

לשם כך, וויטהד וראסל עמלו עשר שנים רצופות, ובסופם פרסמו חיבור בן שלושה כרכים שנקרא: "עקרונות המתמטיקה" (Principia Mathematica), חיבור שבאופן מוצהר נועד להיות התנ"ך המתמטי; החיבור לא נועד להכיל את כל הידע המתמטי שנצבר עד תקופתם – גם התנ"ך אינו מכיל את כל הדת היהודית – אבל כמו התנ"ך, החיבור אמור להניח מחדש יסודות איתנים ויציבים שעליהם תהיה מונחת המתמטיקה כולה. אפשר לומר שהם רצו להזיז את גורד השחקים המתמטי ולמצוא את "הקרקע" המתאימה ביותר שעליה ניתן להקים אותו. כאמור לעיל, הם פחדו שייתכן כי לגורד השחקים יש יסודות רעועים בתוך קרקע ביצתית, והם רצו לייצר עבורו יסודות חדשים מברזל, ולתקוע אותם בתוך קרקע חדשה מבטון מזוין.

מסיבה זו, וויטהד וראסל רצו "לחזור אחורה" רחוק ככל האפשר מבחינת האקסיומות וכללי ההיסק של המתמטיקה. לחזור אל הבסיס של הבסיס, עד כמה שאפשר, ומשם להתחיל לבנות את הכל מחדש. עקב כך, וויטהד וראסל בחרו בקרקע המוצקה ביותר שהמוח האנושי יכול לספק:

לוגיקה.

אם תקראו את "עקרונות המתמטיקה", מהרגע הראשון הוא לא יראה לכם בכלל כמו חיבור מתמטי; האקסיומות וכללי ההיסק שעליהם וויטהד וראסל ביססו את כל עבודתם, אינם מכילים "מתמטיקה" במובן הפופולרי והמוכר של המילה; הם מורכבים מלוגיקה צרופה. להמחשה, הנה מספר דוגמאות לחלק מהאקסיומות וכללי ההיסק שבהם השתמשו:

1. אם "X הוא אמת" היא טענה תקפה, אז גם "X הוא שקר" היא טענה תקפה.
2. אם טענה P היא טענה תקפה, אז טענה P היא או אמת או שקר.
3. אם הטענה "X הוא שקר" היא טענה שקרית, אז X הוא אמת.
4. אם "X או Y" הוא אמת, אז גם "Y או X" הוא אמת.

הבנתם? אלו היסודות החזקים ביותר בתוך הקרקע המוצקה ביותר, ולפי וויטהד וראסל אם המתמטיקה מבוססת על יסודות שכאלה, אז היא תהיה מושלמת: חפה מסתירות, ומסוגלת להוכיח או להפריך כל טענה מתמטית.

לאחר שהניחו את היסודות הלוגיים, וויטהד וראסל השקיעו עשרות עמודים רק כדי להגדיר היטב ולענות על שאלות יסודיות, כגון: מהו מספר? מה המשמעות של שוויון? איך מגדירים פעולת חיבור? וכן הלאה… סך הכל, לקח להם 379 עמודים של הגדרות שפה, אקסיומות, כללי היסק והוכחות-משנה כדי להגיע לבסוף להוכחה כי 2=1+1.

לא מדובר באגדה אורבנית. חיפשתי ומצאתי באינטרנט את "עקרונות המתמטיקה", ואכן כך הדבר… הנה המסקנה שאליה הגיעו, שחור על גבי לבן, לאחר 379 עמודים:

אם לא שמתם לב, הנה הגדלה של הקטע המעניין מאמצע העמוד, בו ראסל מכריז כי מכל האמור לעיל, ולאחר שפעולת החיבור הוגדרה כהלכה, נובע סוף כל סוף כי 2=1+1:

זהו, עכשיו אתם יכולים לישון בשקט: אחד ועוד אחד שווה שניים, והפעם זה סופי!

לימים, התברר כי הפרויקט של וויטהד וראסל נידון לכישלון, והמשימה שלהם – לייצב את גורד השחקים של המתמטיקה מפני כל רעידת אדמה – בלתי אפשרית. אם רצונכם לדעת מדוע ולמה, אתם מוזמנים לקרוא את המאמר שכתבתי בנושא, בקישור כאן.

אסיים באנקדוטה: בכרך השני של "עקרונות המתמטיקה",⁴ ראסל חוזר ומזכיר את הזהות: 2=1+1, שכבר הוכיח בכרך הראשון. ואז, בהומור אנגלי משובח, מוסיף וכותב: "זהות זו מאוד שימושית לעיתים קרובות".⁵

1. שמואל א', כא:טז [↩]
2. חלק מדבריו תרגמתי גם מהראיון שלו בטקס פרסי האמי, בקישור כאן. [↩]
3. רק לדייק לגבי אוקספורד: ההרצאה שמקושרת עושה רושם של הרצאה במועדון דיבייט של סטודנטים באוקספורד, אמנם יוקרתי במובן מסוים, אבל לא שייך ישירות לאוניברסיטה ולא גוף שמגביל את עצמו לתכנים אקדמיים. [↩]
4. בטענה 110.643* [↩]
5. ראו בקישור כאן. [↩]