מדוע ישנם שלושה ממדי מרחב ורק ממד זמן אחד

אנו חיים במרחב תלת-ממדי ויכולים לנוע בחופשיות מעלה/מטה, קדימה/אחורה וימינה/שמאלה. הזמן לעומת זאת הוא חד-ממדי, ואנו נעים בו בכיוון אחד בלבד: מהעבר אל העתיד.

אבל למה?

עם יד על הלב, מתי בפעם האחרונה שאלתם את עצמכם מדוע אנחנו חיים במציאות שבה יש דווקא שלושה ממדי מרחב וממד זמן אחד? בשיא הרצינות, למה אנחנו לא חיים במציאות שבה יש ארבעה ממדי מרחב, או יותר? אני מודה שקשה לנו לדמיין מציאות שכזו, אבל מגבלת הדמיון שלנו אינה רלוונטית לשאלה.

אם בכל זאת מגבלת הדמיון מהווה בעיה מבחינתכם, אז את אותה שאלה אפשר לשאול גם על מציאות שבה יש שני ממדי מרחב בלבד (הרי אין לנו שום בעיה לדמיין עולם דו-ממדי). האם יש סיבה מדוע אנחנו יצורים תלת-ממדיים ולא דו-ממדיים? האם יש בעיה עקרונית מדוע כל היקום (וכל מה שבתוכו) אינו מתקיים על גבי מישור שטוח לחלוטין?

רגע, ומה לגבי הזמן? למה יש רק ממד זמן אחד? למה אין שני ממדי זמן? או יותר? יש משהו שמונע מהזמן להיות רב-ממדי, כמו המרחב?

באופן אישי, אני חובב נלהב של השאלות הנ"ל, אבל לא רק בגלל שהן מאוד מסקרנות, אלא דווקא בגלל שהפיזיקה מאפשרת לנו לענות על השאלות האלה!

אני יודע כי במבט ראשון, הטענה הזו נשמעת מוזרה במקצת; לכאורה, היינו מצפים כי בנושאים אלה נמצא את עצמנו מהר מאוד גולשים לתחום הפילוסופיה, ואולי אפילו לתחומה של הדת (הרי ידוע כי למספרים מסוימים יש סימבוליקה ומשמעות עמוקה במסגרת כתבי הקודש). מי יודע, אולי קיימת סיבה תיאולוגית למספר ממדי המרחב והזמן.

מכל מקום, אני לא מתכוון להיכנס להלן להסברים פילוסופים או דתיים מסיבה פשוטה: הפיזיקה עצמה תשמש אותנו כארגז כלי עבודה, ובאמצעותם נוכל להתמודד ישירות עם השאלה.

תרשו לי להסביר למה בדיוק אני מתכוון:

אם נרצה לדעת מדוע אנו חיים במציאות שבה ישנם 3 ממדי מרחב ו-1 ממדי זמן, כל שנצטרך לעשות הוא "לזרוק" לתוך חוקי הפיזיקה ממדים נוספים (או להוציא החוצה) ולראות מה יהיו ההשלכות לכך. במילים פשוטות: בואו ונבדוק מה חוקי הפיזיקה יכולים לספר לנו, אם משדרגים – או משנמכים – את מספר ממדי המרחב והזמן שבהם הם פועלים.

כדי לעשות את החיים קלים, כדאי שנשתמש בסימונים מוסכמים: את מספר ממדי המרחב (Space) נסמן באות S, ואת מספר ממדי הזמן (Time) נסמן באות T. כך נוכל לומר כי אנו חיים במציאות בה S=3 מבחינה מרחבית, וגם T=1 מבחינה זמנית. כעת נבדוק מה יש לפיזיקה לספר לנו, במידה ואנו משנים את הערכים של S ושל T.

אני אעשה לכם ספוילר מראש, ואציג כבר עכשיו את המסקנה הסופית. גם אם לא תגיעו עד הסוף, לפחות תדעו את התשובה:

1. יקום עם מרחב ארבע-ממדי ומעלה (S≥4) יסבול מחוסר יציבות.
2. יקום עם מרחב דו-ממדי ומטה (S≤2) יסבול מחוסר מורכבות.
3. יקום עם זמן רב-ממדי (T≥2) יסבול מחוסר יכולת לבצע תחזית או ניבוי (ומגוון תסבוכות נוספות).

עכשיו שאתם יודעים את התשובה, אסביר לכם איך הגענו אליה.

אין כלום וכלום לא קורה

נתחיל במקרה הפשוט ביותר: אין מרחב (S=0) ואין זמן (T=0). טוב, קל להבין מדוע אנו לא חיים במציאות שכזו; אם אין מרחב ואין זמן, ממילא אין כלום.

כמו כן, קל לראות כי אם אין זמן (T=0), אז הוספת ממדי מרחב (S>0) לא ממש יועילו במשהו. מציאות שבה יש ממדי מרחב אך אין ממד זמן זו מציאות קפואה. שום דבר אינו מתרחש במציאות שכזו, גם אם קיימים במרחב אי אלו אובייקטים.

כל העסק לא יציב בכלל

אוקיי, בואו ונעלה שלב אחד קדימה למציאות בה יש ממד זמן אחד (T=1), שזו המציאות שבה אנו חיים. כאן העסק הופך להיות מעניין יותר, שהרי לא ברור למה המציאות שאנו חיים בה כוללת בתוכה בדיוק שלושה ממדי מרחב (S=3), לא יותר ולא פחות. כפי שנראה להלן, לפיזיקה יש תשובה!

כדי להבין מדוע S=3, נסתכל על כוח הכבידה. כידוע, כוח הכבידה הפועל בין שני גופים דועך באופן פרופורציונלי למרחק בריבוע (R²). בדרך כלל מציגים זאת כעובדה נתונה ללא הסברים נוספים, אך יש לכך סיבה.

מבלי להיכנס ליותר מידי פרטים טכניים, רק אספר לכם כי מבחינה מתמטית, כוח הכבידה נגזר מתוך פונקציית פוטנציאל המצייתת למשוואה דיפרנציאלית הנקראת: משוואת פּוֹאַסוֹן (על שם המתמטיקאי הצרפתי סִמֵאוֹן פּוֹאַסוֹן). כאשר פותרים את משוואת פואסון בשלושה ממדי מרחב (S=3), באמת מקבלים כוח שדועך בהתאם למרחק בריבוע.

אבל איזה כיף שאפשר לפתור את משוואת פואסון גם עם ארבעה ממדי מרחב (S=4)! במקרה הזה, התוצאה משתנה וכוח הכבידה כבר אינו דועך על פי מרחק מרובע (R²) אלא דווקא על פי מרחק מעוקב (R³). זה אולי נראה הבדל קטן, אך ההשלכות לכך מרחיקות לכת: כוח כבידה שתלוי בחזקה השלישית של המרחק, אינו מקיים מסלולים יציבים. במילים פשוטות: כדור הארץ לא יוכל להילכד במסלול יציב סביב כוכב כמו השמש שלנו.¹

כמובן שהאמירה הנ"ל לא מוגבלת לכדור הארץ: כל פלנטה, שביט, אסטרואיד או כל גוף אחר שיתקרב לכוכב מכל סוג שהוא – בכל מקום ביקום – ימצא את עצמו מתרסק פנימה אל תוך הכוכב או נמלט ממנו (אם יש לו מספיק אנרגיה התחלתית). אבל כך או כך, הוא לא יוכל בכל מקרה להיכנס למסלול יציב. מסלולים יציבים פשוט אינם מסוגלים להתקיים עם כוח כבידה שכזה. ביקום עם ארבעה ממדי מרחב (S=4), מערכות שמש וגלקסיות פשוט לא יתקיימו מלכתחילה.²

כל העסק פשטני מדי

אוקיי, אז מה עם שני ממדי מרחב (S=2)? מה הבעיה שכולנו פשוט נחיה בעולם דו-ממדי, שם כוח הכבידה לא יוצר בעיות כל כך חמורות?³

ובכן, הבעיה המרכזית היא שמדובר בעולם "פשוט" מדי, ואין לפיזיקה – וגם לכימיה ולביולוגיה – הרבה עם מה לעבוד ביקום פשטני שכזה.

לדוגמה: כמעט כל הכימיה האורגנית מתקיימת אך ורק בתלת-ממד (מבחינת הקונפיגורציה המולקולרית), ותרכובות אורגניות הן הבסיס לחיים כפי שאנו מכירים אותם. חשוב להדגיש: אין להבין מכך שכימיה מכל סוג שהוא לא יכולה להתקיים בדו-ממד באופן עקרוני; אלא שכימיה כזו תהיה מאוד מוגבלת ולא "עשירה" מספיק כדי לתמוך ולייצר מבנים כימיים מורכבים.

כל האמור נכון גם לביולוגיה. קחו לדוגמה את המוח האנושי: במוח האנושי יש כ-85 מיליארד נוירונים המחוברים ביניהם באמצעות סינפסות. מידת הקישוריות שיש לכל נוירון גבוהה מאוד: בממוצע, לכל נוירון יש כ-1000 סינפסות המקשרות אותו לנוירונים אחרים. זו בדיוק המורכבות שעולם דו-ממדי לא מסוגל לספק: עם שני ממדי מרחב בלבד (S=2), לא הייתם מסוגלים להשיג דרגה כל כך גבוהה של קישוריות.

נסו זאת בעצמכם: קחו דף ניר וציירו עליו 10 נקודות, איפה שרק תרצו. כעת נסו לחבר בקווים את הנקודות אחת לשניה, כאשר המטרה היא שכל נקודה תהיה מחוברת לכמה שיותר נקודות אחרות.

מהר מאוד אתם תגלו כי קווים מתחילים לחצות אחד את השני. בכל מקום בו שני קווים חוצים זה את זה תצטרכו להוסיף נקודת צומת חדשה, לכן בסופו של דבר – לא משנה כמה תתאמצו – אתם תגלו כי הקישוריות במערכת שלכם מאוד מוגבלת; כל נקודת צומת תהיה מחוברת (בממוצע) לשש נקודות צומת אחרות, לכל היותר.⁴

זהו, זה הכל. רמת קישוריות של מקסימום שש סינפסות בממוצע לנוירון – לא יותר – ולא משנה כמה נוירונים יש לכם סך הכל. במילים אחרות: אם תנסו לפתח מבחינה ביולוגית יצור חי דו-ממדי עם מוח או מערכת עצבים, תגלו מהר מאוד שאתם מוגבלים בכל מה שקשור למורכבות היצור. לשם השוואה: אפילו לתולעים נימיות – מהיצורים הפשוטים ביותר בטבע עם מערכת עצבים – יש בערך 30 סינפסות בממוצע לנוירון בודד. ושוב, אין להבין מכך שביולוגיה לא יכולה להתקיים בדו-ממד באופן עקרוני; אלא שביולוגיה כזו תהיה מאוד מוגבלת ולא "עשירה" מספיק כדי לתמוך ולייצר מבנים ביולוגים מורכבים.

קשה לתפוס חניה בתל אביב

אוקיי, אז עושה רושם כי שלושה ממדי מרחב (S=3) זה מספר הקסם כדי שנוכל להיות פה מלכתחילה. אבל מה לגבי ממד הזמן? עדיין לא ברור אם ממד זמן בודד הוא מצב הכרחי. אמנם במציאות שלנו יש רק ממד זמן אחד ויש לו כיוון ברור שאנו קוראים לו: קדימה (מהעבר אל העתיד), אך מה יקרה ביקום בו יש שני ממדי זמן (T=2), כלומר: זמן דו-ממדי?

ובכן, איך אנסח זאת במילים פשוטות: ביקום שכזה נוכל לסובב את העתיד אל העבר, ולהיפך.

אנסה להסביר זאת באמצעות אנלוגיה: דמיינו שיש לכם עיפרון המונח על שולחן, וחוד העיפרון – השפיץ – מופנה ימינה. אם בשלב כלשהוא תרצו שהעיפרון יצביע שמאלה, לא תהיה לכם שום בעיה; כל מה שאתם צריכים לעשות זה לסובב את העיפרון כמו מחוג של שעון, ולהפנות אותו כלפי כיוון שמאל.

אבל! אם העיפרון היה חי במרחב חד-ממדי, לא הייתם מסוגלים לעשות זאת. העיפרון לא היה מסוגל להסתובב אם למשל הוא היה מונח בתוך צינור קשיח. עצם העובדה שאתם מסוגלים לסובב את העיפרון, מעידה על כך שהעיפרון יכול לנוע גם בציר מרחבי נוסף!

הבנתם? בזמן דו-ממדי ניתן להפוך את כיוון הזמן מהעתיד של ממד אחד אל העבר של אותו ממד דרך ממד-זמן שני… אם כבר, למה שלא נתפרע: אובייקט יוכל להיכנס למסלול מעגלי סגור בזמן דו-ממדי וכל הקונספט של סיבה ותוצאה נעלם! האובייקט הופך להיות סיבת עצמו, אלוהים-סטייל!

חשבו על כך: ביקום שלנו, שני אובייקטים יכולים להיפגש בנקודה מסוימת במרחב ובאותו זמן, ולאחר מכן להחליט אם להיפרד מרחבית או לא. ביקום עם זמן דו-ממדי, שני אובייקטים יוכלו להיפרד אף על פי ששניהם לא יעזבו את אותה נקודה מרחבית… הם פשוט ייפרדו בזמן; כל אחד נשאר בדיוק באותו מקום אך פשוט יזרום לו להנאתו לזמן שונה!

ההיפך נכון באותה מידה: רק תחשבו על עוגמת הנפש שתיגרם לכם, כאשר סוף כל סוף מצאתם חניה פנויה בתל אביב אחרי שעה של סיבובים, ושניה לפני שאתם מחנים, הופ! מישהו אחר מופיע שם מהעבר שלו.

כל זה מאוד משעשע, אבל דעו לכם כי התסבוכת הזו לא נשארת רק ברמת תרחישים מוזרים הנראים כאילו יצאו מסרטי מדע בדיוני, אלא יורדת עמוק אל תוך המתמטיקה של חוקי הפיזיקה עצמם. למשל:

1. בכל מה שקשור למודל הסטנדרטי של פיזיקת החלקיקים, ניתן להראות כי זמן דו-ממדי מאפשר למרכיבי האטום – אלקטרונים ופרוטונים – לעשות באופן ספונטני טרנספורמציה לחלקיקים אחרים, כך שאטומים פשוט לא יכולים להתקיים לאורך זמן. אפילו פוטונים – חלקיקי אור – יהיו מסוגלים באופן ספונטני להתפצל לכל חלקיק אחר בתוספת האנטי-חלקיק שלו.⁵
2. בנוסף, מסתבר כי אם מוסיפים משתנה זמן נוסף למשוואות הדיפרנציאליות שמתארות את חוקי הפיזיקה, מתקבל מצב בו אמנם אפשר למצוא פתרון למערכת המשוואות, אך הוא לא פתרון יחיד. במצב שכזה לא ברור מה יועילו חוקי הפיזיקה לצופה תבוני שרוצה לבצע תחזית או ניבוי, אפילו אם יש לו מידע מלא על תנאי ההתחלה של המערכת. משתנה זמן נוסף יכול לגרום לסֵט (אפילו אינסופי) של פתרונות אפשריים מבלי היכולת לדעת מי מהם יתרחש בפועל.⁶

סיכום

אז מה ניתן להבין מכל האמור לעיל? אם לסכם שוב את התשובה לשאלה שהצגתי בראשית המאמר – מדוע ממדי המציאות הינם כפי שהם – ניתן לומר כי:

1. יקום עם מרחב ארבע-ממדי ומעלה (S≥4) יסבול מחוסר יציבות.
2. יקום עם מרחב דו-ממדי ומטה (S≤2) יסבול מחוסר מורכבות.
3. יקום עם זמן רב-ממדי (T≥2) יסבול מחוסר יכולת לבצע תחזית או ניבוי (ומגוון תסבוכות נוספות).

ניתן להציג את כל מה שלמדנו בתרשים הבא:

נראה כי אנחנו חיים במציאות שתפורה לנו לפי מידה. המתמטיקאי הגרמני גוטפריד וילהלם לייבניץ (1646-1716) ניסח זאת באופן קצר וקולע:

אנו חיים ביקום מאוזן; כזה שמייצר מצד אחד מקסימום תופעות, אך מצד שני דורש מינימום היפותזות כדי להסביר אותן.

1. באופן כללי עבור S ממדי מרחב נקבל כי הכוח המתקבל הוא בחזקה הופכית של S-1, תמיד דרגה אחת פחות ממספר הממדים. טענה זו נכונה החל מ-3 ממדי מרחב (S=3) ומעלה. [↩]
2. ראו הסבר מורחב בקישור כאן. [↩]
3. לפי תורת היחסות הכללית, כוח הכבידה נעלם לגמרי כאשר S=2, כי כוח הכבידה הוא תוצאה של עיקום המרחב-זמן, וניתן להראות כי כאשר S=2 המרחב-זמן חייב להיות שטוח, ואין לו יכולת להתעקם, ראו למשל בקישור כאן. [↩]
4. ראו בקישור כאן. [↩]
5. התהליך בו חלקיק הופך לחלקיק אחר – או למספר חלקיקים אחרים – נקרא: דעיכה. כדי שהדעיכה תתרחש, צריכים להתקיים מספר חוקי שימור, כגון: חוק שימור מטען, ומעל הכל נדרש כי מסת המנוחה של התוצרים תהיה נמוכה ממסת המנוחה של המקור. לכן באופן כללי, ככל שמסת המנוחה של חלקיק גדולה יותר, כך הסיכוי לדעיכה גדול יותר. זו הסיבה מדוע אלקטרון למשל, הוא חלקיק יציב, ואינו מבצע דעיכה בכלל, שהרי מסת המנוחה שלו קטנה מאוד, ואין חלקיק אחר (או מספר חלקיקים) שאליו הוא יכול לדעוך, ובו זמנית לקיים את כל חוקי השימור. בזמן דו-ממדי, ניתן להראות כי דעיכת האלקטרון אפשרית והוא כבר אינו חלקיק יציב. אפילו פוטון – שמסת המנוחה שלו היא אפס ולכן הוא חלקיק יציב – מאבד מיציבותו ויוכל להתפרק לכל חלקיק אחר עם האנטי-חלקיק המתאים לו, כדי לשמר את המטען הכולל. [↩]
6. מבחינה מתמטית, ניתן להראות כי משוואה דיפרנציאלית שעומדת במספר תנאים – כגון: יש לה תנאי התחלה ותנאי שפה מוגדרים – משוואה זו מצייתת למשפט הקיום והיחידות, שקובע כי למשוואה בהכרח קיים פתרון, ובהכרח זהו פתרון יחיד. במידה והזמן הוא רב-ממדי, מתקבל מצב בו משפט הקיום והיחידות לא בהכרח מתקיים. גם אם יש למשוואה פתרון, לא בהכרח מדובר בפתרון יחיד אפילו אם ידועים תנאי ההתחלה והשפה. [↩]