הוכחת זהות אוילר

בפוסט כאן למדנו על זהות אוילר, הקושרת בין חמישה מספרים בעלי חשיבות אדירה במתמטיקה:

\(\displaystyle {{e}^{{i\pi }}}+1=0\)

כדי להבין איך בדיוק המספר \({{e}^{{i\pi }}}\) קשור למספר \(1\), יש לשחזר את ההוכחה של ליאונרד אוילר.

הצעד הראשון הוא להחליף את המספר \(\pi\) במשתנה \(x\), כך שכעת ניתן להגדיר פונקציה:

\(\displaystyle f\left( x \right)={{e}^{{ix}}}\)

את הפונקציה הזו ניתן לפתח לטור טיילור באופן הבא:

\(\displaystyle {{e}^{{ix}}}=1+ix+\frac{{{{{(ix)}}^{2}}}}{{2!}}+\frac{{{{{(ix)}}^{3}}}}{{3!}}+\)

\(\displaystyle +\frac{{{{{(ix)}}^{4}}}}{{4!}}+\frac{{{{{(ix)}}^{5}}}}{{5!}}+\frac{{{{{(ix)}}^{6}}}}{{6!}}+\frac{{{{{(ix)}}^{7}}}}{{7!}}+\cdots \)

את הטור הנ"ל ניתן לפצל לחזקות זוגיות ואי-זוגיות של המשתנה \(x\), ולקבל:

\(\displaystyle {{e}^{{ix}}}=\left( {1-\frac{{{{x}^{2}}}}{{2!}}+\frac{{{{x}^{4}}}}{{4!}}-\frac{{{{x}^{6}}}}{{6!}}+\cdots } \right)+\)

\(\displaystyle +i\left( {x-\frac{{{{x}^{3}}}}{{3!}}+\frac{{{{x}^{5}}}}{{5!}}-\frac{{{{x}^{7}}}}{{7!}}+\cdots } \right)\)

הסכום של החזקות הזוגיות הוא לא אחר מאשר טור טיילור של הפונקציה \(\cos x\), והסכום של החזקות האי-זוגיות הוא לא אחר מאשר טור טיילור של הפונקציה \(\sin x\), ולכן נקבל:

\(\displaystyle {{e}^{{ix}}}=\cos x+i\sin x\)

נוכל להציב \(x=\pi\) ונקבל את זהות אוילר:

\(\displaystyle {{e}^{{i\pi }}}=\underset{{=-1}}{\mathop{{\cos \pi }}}\,+i\cdot \underset{{=0}}{\mathop{{\sin \pi }}}\,=-1\)

מעבר להוכחה המתמטית, ניתן בקלות לקבל אינטואיציה גרפית לגבי המספר \({{e}^{{i\pi }}}\). קל לזהות כי הביטוי בצד ימין של המשוואה \({{e}^{{ix}}}=\cos x+i\sin x\), הוא פירוק לחלק ממשי וחלק מדומה של כל מספר מרוכב הנמצא על מעגל היחידה. לכן המשתנה \(x\) הוא למעשה הזווית בין ציר המספרים הממשיים, לבין הקו המחבר את המספר המרוכב עם ראשית הצירים:

כפי שניתן לראות באנימציה, נקבל כי הפונקציה \({{e}^{{ix}}}\) היא למעשה תנועה על מעגל היחידה במישור המספרים המרוכבים, כאשר המשתנה \(x\) נע בין \(x=0\) לבין \(x=2\pi\). מכאן נובע כי כאשר \(x=\pi\), נקבל תנועה של 180 מעלות נגד כיוון השעון, כך שנקבל: \({{e}^{{i\pi }}}=-1\).