ערכם של קבועי הטבע ביחידות פלנק

בפוסט כאן למדנו על מערכת יחידות פלנק, וכיצד במערכת זו ערכם של קבועי הטבע הוא 1.

בפוסט הדגמנו זאת באמצעות מהירות האור \(c\), וראינו כי האור מתקדם מרחק-פלנק אחד \({{L}_{p}}\) במשך זמן-פלנק אחד \({{T}_{p}}\), ולכן ביחידות פלנק ערכה של מהירות האור הוא \({c=1}\).

ניתן להוכיח זאת לכל אחד מקבועי הטבע שבעזרתם חישבנו את יחידות פלנק. ניקח לדוגמה את קבוע הגרביטציה \(G\), המופיע בחוק הגרביטציה של ניוטון:

\(\displaystyle F = G \cdot \frac{{{M_1}{M_2}}}{{{r^2}}}\)

בשלב הראשון יש לזכור כי ניתן להגדיר באמצעות יחידות פלנק הבסיסיות, גם יחידות מורכבות יותר, כגון: כוח. לכוח יש יחידות של מסה כפול אורך חלקי זמן בריבוע. לכן ניתן להגדיר כוח-פלנק \({{F}_{p}}\) באמצעות יחידות פלנק הבסיסיות באופן הבא:

\(\displaystyle {F_p} = \frac{{{M_p}{L_p}}}{{T_p^2}}\)

לקבוע \(G\) יש יחידות של כוח כפול אורך בריבוע חלקי מסה בריבוע. אם נשתמש ביחידות פלנק נקבל:

\(\displaystyle G = \frac{{{F_p}L_p^2}}{{M_p^2}}\)

אם נציב בחוק הגרביטציה נקבל:

\(\displaystyle F = \left( {\frac{{{F_p}L_p^2}}{{M_p^2}}} \right)\frac{{{M_1}{M_2}}}{{{r^2}}}\)

לאחר העברת אגפים נקבל כי:

\(\displaystyle \frac{F}{{{F_p}}} = \frac{{\left( {\frac{{{M_1}}}{{{M_p}}}} \right) \cdot \left( {\frac{{{M_2}}}{{{M_p}}}} \right)}}{{{{\left( {\frac{r}{{{L_p}}}} \right)}^2}}}\)

ניתן לראות כי כל מסה מחולקת במסת-פלנק, המרחק מחולק באורך-פלנק והכוח מחולק בכוח-פלנק. כלומר, כל הגדלים בחוק הגרביטציה נמדדים ביחידות פלנק וקבוע הגרביטציה הפך ל-1. בדרך דומה ניתן להוכיח זאת גם עבור הקבוע החשמלי \(K\) וגם עבור קבוע דירק \(\hbar\).