בפוסט כאן למדנו על התפלגות מקסוול-בולצמן. כידוע, הטמפרטורה של חומר היא מדד למהירות של החלקיקים שמרכיבים אותו, והאופן שבה המהירות מתפלגת בין חלקיקי החומר נתונה על ידי הנוסחה הבאה:
\(\displaystyle f\left(v\right)=4\pi {{v}^{2}}\cdot{{\left( {\frac{m}{{2\pi kT}}} \right)}^{{3/2}}}\cdot {{e}^{{-\frac{{m{{v}^{2}}}}{{2kT}}}}}\)
כאשר \(v\) זו מהירות החלקיקים, \(m\) זו מסת חלקיק בודד, \(k\) זה קבוע בולצמן ו- \(T\) זו טמפרטורת החומר, והגודל \(f\) זה צפיפות ההסתברות.
במידה ונרצה לדעת לכמה חלקיקים יש מהירויות בטווח שבין \(v_{a}\) לבין \(v_{b}\), נצטרך לבצע אינטגרל על התפלגות בולצמן בין הגבולות \(v_{a}\) ו- \(v_{b}\):
\(\displaystyle {{F}_{{a\to b}}}=\int\limits_{{{{v}_{a}}}}^{{{{v}_{b}}}}{{f\left( v \right)dv}}\)
ל- \(f\) יש יחידות של מהירות-הופכי,1 לכן תוצאת האינטגרל היא מספר חסר יחידות. לדוגמא: אם בין \({{{v}_{a}}=1300}\) מטר לשניה לבין \({{{v}_{b}}=1600}\) מטר לשניה נקבל כי תוצאת האינטגרל היא: \({F=0.2}\), אז ל-20% מחלקיקי החומר יש מהירויות בטווח שבין 1300 ל- 1600 מטר לשניה.
מתוך התפלגות מקסוול-בולצמן ניתן לחשב שלושה גדלים טיפוסיים:
מהירות מסתברת ביותר: זו המהירות עם הסיכוי הגבוה ביותר \(v_{p}\) והיא למעשה נקודת השיא של עקומת ההתפלגות. ניתן לחשב את המהירות הזו על ידי לקיחת נגזרת ראשונה של \(f\left( {{v}} \right)\), השוואה ל-0 וחילוץ \(v_{p}\):
\(\displaystyle {{{\left. {\frac{{df}}{{dv}}} \right|}_{{{{v}_{p}}}}}=0}\)
הפתרון עבור \(v_{p}\) הוא:
\(\displaystyle {{v}_{\text{p}}}=\sqrt{{\frac{{2kT}}{m}}}\)
מהירות ממוצעת: זו המהירות שמתקבלת על ידי מיצוע של כל המהירויות האפשריות:
\(\displaystyle v_{avg}=\int\limits_{0}^{\infty }{v}f(v)dv=\sqrt{{\frac{{8kT}}{{\pi m}}}}\)
מהירות rms: זו מהירות שממצעת על \({{v}^{2}}\), ונקראת: root mean square, או בקיצור: \({{v}_{{rms}}}\). החשיבות של מהירות זו היא בכך שהיא למעשה המהירות שמתאימה לאנרגיה הקינטית הממוצעת, כי האנרגיה הקינטית של חלקיק פרופוציונלית למהירות בריבוע. ניתן לחשב מהירות זו באותו אופן שבו מחשבים מהירות ממוצעת רגילה, אך הפעם יש למצע על ריבוע המהירות ולקחת שורש לתוצאה:
\(\displaystyle {{v}_{{rms}}}={{\left[ {\int\limits_{0}^{\infty }{{{{v}^{2}}}}f(v)dv} \right]}^{{1/2}}}=\sqrt{{\frac{{3kT}}{m}}}\)
אם נשווה את המהירויות אחת לשניה נקבל כי תמיד מתקיים:
\(\displaystyle {{v}_{p}}<{{v}_{{avg}}}<{{v}_{{rms}}}\)
- כלומר: אם מהירות היא ביחידות של מטר לשניה, אז מהירות-הופכי זה יחידות של שניה למטר [↩]