הפיזיקה של טמפרטורה (חלק ראשון בסדרה)

כולנו מכירים את האזהרות הרגילות המופיעות על מטהרי אוויר, דאודורנטים ושאר מכלי לחץ למיניהם: יש להרחיק ממקור חום, יש להגן מאור השמש, אין לחשוף לטמפרטורה גבוהה מ-50 מעלות, וכו'. ברור לכולנו כי אם מיכל שכזה נזרק אל מדורת ל"ג בעומר, הפיצוץ לא יאחר לבוא.

אבל למה זה קורה? נו טוב, התשובה ברורה: הטמפרטורה הגבוהה גורמת לכך… זו אמנם תשובה נכונה, אבל היא תשובה כללית מדי, תשובה טריוויאלית. השאלה במקומה עומדת: למה? מה הקשר הפיזיקלי בין טמפרטורה לפיצוץ של מיכל המלא בגז? מסתבר שבתוך הדוגמה הפשוטה, היומיומית והכל-כך מוכרת הזו, מסתתרת פיזיקה די מדהימה ומורכבת.

האם אי פעם שאלתם את עצמכם: מהי טמפרטורה, מעבר למספר שהמדחום מראה לנו? מה זה אומר מבחינה פיזיקלית, מעבר לחוויה החושית שלנו? האם יש גבולות לטמפרטורה? האם יש קור שאין נמוך ממנו? האם יש חום שאין חם ממנו? אם כן, זו הסדרה בשבילכם.

הכי קר שיש

נחזור רגע למיכל לחץ – דאודורנט למשל – שנזרק לתוך מדורה, ומתפוצץ. מה בעצם קרה? כאמור לעיל, התשובה הנפוצה – והנכונה – היא שהגז במיכל התחמם עקב חום המדורה, ומכאן מתחיל תהליך פיזיקלי די פשוט:

1. כשגז מתחמם, האטומים של הגז מגבירים את מהירותם.
2. בגלל שהאטומים מתרוצצים במיכל ופוגעים ללא הרף בדפנותיו, נוצר במיכל לחץ פנימי.
3. אם טמפרטורת הגז הולכת וגדלה, אז מהירות חלקיקי הגז גדלה בהתאם, ועקב כך הלחץ הפנימי על דפנות המיכל גדל.
4. ישנו לחץ מקסימלי שהמיכל מסוגל לעמוד בו, ואם לחץ הגז עולה מעבר לערך המקסימלי, הפיצוץ בלתי נמנע.

כידוע, אין זה משנה אם המיכל יצא משימוש; בפועל המיכל אינו מרוקן לחלוטין, ושאריות הגז במיכל מספיקות על מנת לייצר את מידת הלחץ הדרושה לפיצוץ, במידה והטמפרטורה גבוהה מספיק. 

אוקיי, שימו לב כי רק מהתיאור הפשוט הנ"ל כבר ניתן להסיק כי אם טמפרטורה משמשת כמדד לתנועת חלקיקי החומר, אז הורדת הטמפרטורה פירושה האטת חלקיקי החומר. מכאן נובע כי לטמפרטורה אמור להיות גבול תחתון; במילים פשוטות: נצפה למצוא ערך של הטמפרטורה שבו חלקיקי החומר יגיעו למצב של מנוחה מוחלטת, ללא תנועה. טמפרטורה זו נקראת:

האפס המוחלט

זו – לפחות באופן עקרוני – הטמפרטורה הקרה ביותר האפשרית, ולא ניתן לקרר מערכת פיזיקלית מתחת לערך הזה, מפני שלא נשאר יותר את מה לקרר; כל חלקיקי החומר ממילא נמצאים במנוחה מוחלטת, ללא תזוזה, ולא נשאר יותר "חום" שאפשר להוציא מהמערכת.¹

ערכה של טמפרטורה זו הוא, ניחשתם נכון: אפס מעלות, אך לא מדובר על יחידות צלזיוס המוכרות לכולנו מחיי היום-יום. כידוע, טמפרטורה של אפס מעלות ביחידות צלזיוס היא נקודת הקיפאון – או ההתכה – של מים.² עקב כך, טמפרטורת הסביבה של כדור הארץ מקבלת ערכים "נוחים" לשימוש: בין 50 מעלות למינוס 50 מעלות בערך, לכן ברור מדוע נוח מאוד להשתמש בסקלת צלזיוס בחיי היום-יום. ברור כי הרבה פחות נוח להשתמש בסקלה אחרת שבה נקבל כי הטמפרטורה מחר בתל אביב היא 713 מעלות, למשל. מכל מקום, 0 מעלות צלזיוס בוודאי אינה טמפרטורת האפס המוחלט שהזכרתי קודם, שהרי כל אחד יודע כי ניתן לקרר מתחת לטמפרטורה זו.

אז במקום להשתמש בסקלת צלזיוס, פיזיקאים משתמשים בסקלת קֶלְוִוין, על שם הפיזיקאי האירי ווילאם תומסון (1824-1907), או בשמו הנפוץ יותר: לורד קלווין. בסקלה זו, ערכה של טמפרטורת האפס המוחלט הוא אכן 0, והיא שקולה לטמפרטורה של מינוס 273.15 מעלות צלזיוס. בכל מקרה, חשוב לזכור כי אטומים לעולם אינם יכולים להיות במנוחה מוחלטת, ולכן לטמפרטורת האפס המוחלט עצמה לא ניתן להגיע, אך ניתן לקרר אטומים לטמפרטורה שקרובה מאוד לאפס המוחלט, עד כדי סדר גודל של מיליארדית מעלת קלווין מעל האפס המוחלט.³

לסיכום ביניים, הנה סרטון קצר – ומושלם! – המראה כיצד 100 אטומים של היסוד ארגון (Argon) הופכים ממצב מוצק, לנוזל ואז לגז כפונקציה של עליית הטמפרטורה. שימו לב למהירות של האטומים שהולכת וגדלה ככל שהטמפרטורה עולה:

כל חלקיק עושה מה שבא לו

אוקיי, אז הטמפרטורה היא מדד לתנועת חלקיקי החומר, אבל איך זה בא לידי ביטוי באופן כמותי?

כאן אני רוצה להסביר על הקשר המתמטי בין טמפרטורת החומר לבין המהירות של חלקיקי החומר. כדי להבין את הקשר, לפני כן יש לזכור כלל חשוב מאוד:

הטמפרטורה משמשת כמדד רק למהירות הממוצעת של החלקיקים.⁴

זו נקודה חשובה, שכן גם כאשר החומר נמצא בטמפרטורה אחת קבועה \(T\), האטומים שבחומר לא נעים במהירות אחת ספציפית \(v\), אלא במגוון רחב של מהירויות בהתאם להתפלגות \(f\) הנקראת: התפלגות מקסוול-בולצמן, על שם שני הפיזיקאים הבולטים של סוף המאה ה-19, ג'יימס קלרק מקסוול (1831-1879) ולודוויג בולצמן (1844-1906).⁵ להלן אציג את הביטוי המתמטי של ההתפלגות \(f\) כפונקציה של המהירות \(v\), אך אל דאגה, מיד אסביר בעברית פשוטה מה כל המתמטיקה הזו בעצם אומרת בשורה התחתונה:

\(\displaystyle f=4\pi {{v}^{2}}\cdot{{\left( {\frac{m}{{2\pi kT}}} \right)}^{{3/2}}}\cdot {{e}^{{-\frac{{m{{v}^{2}}}}{{2kT}}}}}\)

למי מכם שיש סבלנות לחפירות, אז בקישור כאן אני נכנס לתוך נבכי המתמטיקה של הביטוי הנ"ל.⁶ אבל כדי לעשות לכם חיים קלים, אוכל לומר כי מתוך הביטוי המסובך הזה נובעות מספר תכונות די פשוטות; אם הבנתם אותן, אז למעשה הבנתם מהי טמפרטורה.

אוקיי, להלן המסקנות שנובעות מתוך התפלגות מקסוול-בולצמן בשורה התחתונה:

1. ככל שהטמפרטורה יורדת, כך המהירות הממוצעת הולכת וקטנה, אך גם השׁוֹנוּת הולכת וקטנה: החלקיקים "מיישרים קו" אחד עם השני, וטווח המהירויות שלהם די קטן. במילים פשוטות: יותר ויותר חלקיקים מתקרבים למהירות הממוצעת, ונדיר יותר למצוא חלקיקים במהירויות רחוקות מהממוצע.
2. ככל שהטמפרטורה עולה, כך המהירות הממוצעת הולכת וגדלה, אך כעת גם השׁוֹנוּת הולכת וגדלה: החלקיקים מתחילים "להתפרע", וטווח המהירויות שלהם די גדול. במילים פשוטות: יותר ויותר חלקיקים נעים במהירויות הרחוקות מהממוצע, ונדיר יותר למצוא חלקיקים סביב המהירות הממוצעת.
3. הקשר בין הטמפרטורה למהירות הממוצעת הוא חד-חד-ערכי, כלומר: בהינתן הטמפרטורה אנו יודעים מה תהיה המהירות הממוצעת המתאימה, ולהיפך: בהינתן המהירות הממוצעת, יש רק טמפרטורה אחת המתאימה אליה.⁷

בתמונה הבאה תוכלו לראות מבחינה גרפית את התכונות של התפלגות מקסוול-בולצמן שתיארתי לעיל. התמונה מציגה את ההתפלגות של מהירויות האטומים בגז חנקן בשלוש טמפרטורות שונות: 0 מעלות צלזיוס, 1640 מעלות ו- 3550 מעלות.⁸ שימו לב כיצד המהירות הממוצעת – שיא ההתפלגות – הולכת וגדלה ככל שהטמפרטורה עולה, אך בו זמנית גם השונות – רוחב ההתפלגות – הולכת וגדלה:⁹

כדי שתוכלו לְעַכֵּל את כל המסקנות האלה בקלות, בואו ונוריד את כל העסק לקרקע באמצעות דוגמה פשוטה מהחיים, בצירוף מספרים של ממש, כדי שתקבלו מושג מה קורה בעולם האמיתי שסביבכם: לשם הפשטות, נניח כי הטמפרטורה של האוויר בחדר שבו אתם נמצאים כרגע היא 27 מעלות צלזיוס, כלומר: בסקלת קלווין מדובר בטמפרטורה עם ערך עגול ויפה של 300 מעלות.¹⁰ בטמפרטורה יומיומית שכזו, אלו המהירויות הטיפוסיות של מולקולות האוויר שסביבכם:¹¹

• המהירות הממוצעת של חלקיקי האוויר היא כ-450 מטרים לשניה, או: 1620 קמ"ש. זו מהירות די גדולה, מדובר במהירות על-קולית של מטוס קרב, והמספר הגדול ביותר של חלקיקים נעים במהירות זו או קרובה אליה.¹²
• כ- 41% מחלקיקי האוויר נעים בטווח מהירויות בין 500 ל-1000 מטרים לשניה, או: בין 1800 ל- 3600 קמ"ש.¹³
• יש מעט מאוד חלקיקים שנעים במהירות איטית של 1 מטר לשניה, או: 3.6 קמ"ש. זו מהירות הליכה איטית של בן אדם.
• יש גם מעט מאוד חלקיקים שנעים במהירות של 1500 מטר לשניה, או: 5400 קמ"ש. זו מהירות סופר גבוהה, פי חמישה מהמהירות של מטוס מסחרי.

סיכום

אז מה היה לנו?

במאמר הנוכחי למדנו על המשמעות הפיזיקלית של טמפרטורה, מעבר לחוויה החושית הרגילה שלנו שדרכה אנו פשוט מרגישים חום וקור, אך בלי שהרגשה זו תגיד לנו מאומה על הפיזיקה של כל העסק. מכל מקום בפוסט הבא נראה כי הקשר בין טמפרטורה למהירות החלקיקים הוא דווקא קשר עקיף; הטמפרטורה היא לאו דווקא מדד למהירות החלקיקים בחומר, אלא דווקא לאנרגיה שלהם.

ועל כך בפוסט הבא…

1. חשוב להדגיש כי זו הגדרה קצת פשטנית, אך היא מספיקה לצורך הדיון. מבחינה קוונטית, חלקיקי החומר לעולם אינם יכולים להגיע למנוחה מוחלטת ותמיד תהיה תזוזה קוונטית שלא ניתן "להרגיע". יותר מדויק להגדיר את טמפרטורת האפס המוחלט בתור הטמפרטורה שבה חלקיקי החומר מגיעים למצב האנרגטי הנמוך ביותר האפשרי, הנקרא: מצב היסוד. במצב זה, עדיין קיימת אנרגיה קינטית מסוימת וחלקיקי החומר עדיין נמצאים בתנועה מזערית, אך אין מבחינה קוונטית מצב אנרגטי נמוך יותר ממצב היסוד. [↩]
2. מבחינה היסטורית, סקלת צלזיוס הוגדרה על ידי קיבוע הערכים של 0 מעלות כנקודת ההתכה של מים ו-100 מעלות כנקודת הרתיחה, תחת תנאי סביבה של לחץ אטמוספרי אחד. בהתאם לכך, מעלת צלזיוס אחת מוגדרת כמאית מהטווח הזה. [↩]
3. גם בנקודה זו חשוב להדגיש כי העובדה שלא ניתן לקרר חומר לאפס המוחלט אינה נובעת מכך שחלקיקי החומר לא יכולים להיות במנוחה מוחלטת. הסיבה מדוע לא ניתן לקרר לאפס המוחלט היא מפני שהחומר שאותו אנו רוצים לקרר יגיע לשיווי משקל תרמודינמי עם הסביבה שמקיפה אותו, וסביבה זו עצמה אינה נמצאת באפס המוחלט, כי גם אותה נצטרך לקרר וממילא ניתקל במחסום מאותו הסוג. במילים אחרות: מבחינה תיאורטית בטמפרטורת האפס המוחלט עצמה החלקיקים לא נמצאים במנוחה מוחלטת, ובנוסף לכך גם מבחינה מעשית לא ניתן להגיע אל טמפרטורת האפס המוחלט אלא רק להתקרב אליה. [↩]
4. בפוסט הנוכחי אתמקד בהיבט הספציפי הזה של הטמפרטורה, כלומר: טמפרטורה כמדד למהירות החלקיקים. בפוסט הבא ארחיב את הדיון להיבט נוספים של הטמפרטורה כמדד לאנרגיית החלקיקים, ולא למהירות שלהם. במובן אפילו יסודי יותר, הטמפרטורה מוגדרת באמצעות האנטרופיה של המערכת, אך זה כבר נושא לפוסט נפרד. [↩]
5. יש להדגיש כי התפלגות מקסוול-בולצמן פותחה במקור על מנת לתאר את התפלגות המהירות של חלקיקי גז אידיאלי בשיווי משקל תרמודינמי. במידה ויש אינטראקציה בין החלקיקים (גז לא-אידיאלי) ובפרט כאשר החומר נמצא בפאזה שונה (נוזל או מוצק), אז העסק יותר מורכב. אף על פי כן ניתן להראות כי חלקיקים מצייתים להתפלגות מקסוול-בולצמן גם במגוון רחב של מצבי חומר שאינם דווקא גז אידיאלי. [↩]
6. שימו לב כי בהתפלגות מקסוול-בולצמן, הקטנת המסה של החלקיקים m שקולה להגדלת הטמפרטורה T, ולהיפך. במילים אחרות: לאטומים כבדים בטמפרטורה גבוהה יכולה להיות התפלגות זהה כמו לאטומים קלים עם טמפרטורה נמוכה. במסגרת הפוסט הנוכחי אתייחס רק לשינוי הטמפרטורה של החומר, אך חשוב לזכור כי שינוי מסת החומר שקולה לשינוי הטמפרטורה מבחינת התפלגות מקסוול-בולצמן. [↩]
7. מבחינה מתמטית, המהירות הממוצעת פרופורציונלית לשורש הריבועי של הטמפרטורה (עד כדי הכפלה במספר קבוע). [↩]
8. ליתר דיוק מדובר בגז חנקן דו-אטומי N₂ [↩]
9. יש לציין כי מבחינה מתמטית, יש הבדל בין המהירות הממוצעת לבין המהירות המסתברת ביותר, והממוצעת גדולה מעט מהמסתברת. במילים אחרות: המהירות הממוצעת אינה נמצאת בדיוק בשיא העקומה (שזו המהירות המהירות המסתברת ביותר), אך היא די קרובה לשם. [↩]
10. האוויר מורכב מתערובת של 78% חנקן דו-אטומי (N₂), 21% חמצן דו-אטומי (O₂), ועוד 1% של גזים מסוג אחר. המסה של אטום חנקן וחמצן היא בערך אותו דבר (14u ו- 16u בהתאמה, ביחידות של: Atomic mass unit). לכן לצורך הפשטות, המספרים המופיעים בדוגמה הם עבור גז חנקן דו-אטומי (N₂) בעל מסה של 28u בטמפרטורת החדר של 298 קלווין. [↩]
11. בקישור כאן ניתן למצוא גרף אינטראקטיבי של התפלגות מקסוול-בולצמן. בהתאם לטמפרטורה של החומר ולמסת החלקיקים (ביחידות של Atomic mass units), ניתן למצוא את המהירות הממוצעת וכן את השטח מתחת להתפלגות בין שתי מהירויות שונות. [↩]
12. כאמור לעיל, זה לא מדויק לחלוטין. מבחינה מתמטית יש הבדל בין המהירות הממוצעת (שהיא 475 מטרים לשניה), לבין המהירות המסתברת ביותר (שהיא 421 מטרים לשניה). [↩]
13. ניתן לחשב זאת על ידי השטח שמתחת לגרף התפלגות מקסוול-בולצמן בין מהירויות של 500 ל-1000 מטר לשניה. [↩]