טמפרטורה ומהירות האור (חלק שני בסדרה)

בפוסט הקודם הצגתי את המשמעות הפיזיקלית של טמפרטורה, ואת הקשר בין הטמפרטורה של החומר לבין המהירות של חלקיקי החומר. כזכור, המסקנה המתבקשת הייתה שקיימת טמפרטורה מינימלית – שקראנו לה: האפס המוחלט – שבה חלקיקי החומר נמצאים במנוחה. זו הטמפרטורה הנמוכה ביותר האפשרית, ואי אפשר לקרר את החומר מעבר לכך, כי אין יותר את מה לקרר.¹

אבל רגע אחד… כשם שקיימת טמפרטורה מינימלית, כך נצפה למצוא טמפרטורה מקסימלית, כזו שלא ניתן לחמם מעבר לה! מדוע? הרי לפי תורת היחסות של איינשטיין, לא ניתן לנוע במהירות גבוהה יותר ממהירות האור. אם הטמפרטורה היא מדד למהירות החלקיקים בחומר, אז לכאורה נצפה כי קיימת טמפרטורה מקסימלית שבה כל חלקיקי החומר נעים במהירות האור! תהא אשר תהא מהירות זו – אמנם גדולה מאוד – אך נראה כי לא ניתן לחמם מעבר לה, בדיוק כשם שלא ניתן לקרר מתחת לאפס המוחלט.

אז האם קיימת טמפרטורה כזו? האם יש חום שמעבר לו אי אפשר יותר לחמם? אם כן, מה ערכה של טמפרטורה זו? האם יש אובייקטים ביקום שקרובים לטמפרטורה הזו? לשאלות אלה מוקדש המאמר הנוכחי.

חם אש!

אוקיי, בשלב הראשון ננסה לחשב מה צריכה להיות הטמפרטורה של חומר כדי שמהירות החלקיקים שבו תהיה שווה למהירות האור. בתור דוגמה פשוטה נוכל לקחת את היסוד מימן, ולבדוק מהי הטמפרטורה שבה אטומי המימן ינועו במהירות האור.² לא אלאה אתכם בפרטים הטכניים של החישוב (תוכלו למצוא זאת בקישור כאן), אבל התוצאה בשורה התחתונה היא זו:³

הטמפרטורה של מימן צריכה להיות כ- 4.2 טריליון מעלות צלזיוס על מנת שאטומי המימן ינועו במהירות השווה למהירות האור.

מדובר בטמפרטורה גבוהה, בלשון המעטה… לשם המחשה, במרכז השמש שלנו יש "רק" כ- 15 מיליון מעלות, וזהו. מכל מקום, השאלה המתבקשת היא זו: האם באמת ניתן לחמם מימן לטמפרטורה גבוהה יותר מ-4.2 טריליון מעלות? לכאורה נראה כי בלתי אפשרי לעשות זאת, שהרי שום דבר לא יכול לנוע מעל מהירות האור. אם כך, האם זו באמת הטמפרטורה הגבוהה ביותר האפשרית מבחינה פיזיקלית?

ובכן, לא ממש… הסיבה לכך פשוטה: אמנם זה נכון כי מהירות אטומי המימן גדלה ככל שמעלים את הטמפרטורה, אך מדובר במהירות הממוצעת! חשוב לזכור – כפי שלמדנו בפוסט הקודם – כי מהירות האטומים נקבעת על פי התפלגות מקסוול-בולצמן, ולהתפלגות זו יש תכונה חשובה: ככל שהטמפרטורה עולה, כך גם השׁוֹנוּת הולכת וגדלה, לא רק המהירות הממוצעת. במילים פשוטות: בטמפרטורות גבוהות האטומים נעים במגוון רחב מאוד של מהירויות, חלקם הרבה מתחת למהירות הממוצעת וחלקם הרבה מעליה.

מכאן נובע כי אם נחמם מימן לטמפרטורה של 4.2 טריליון מעלות, אז השונות תהיה כל כך גדולה ונקבל מצב אבסורדי שבו קיימת הסתברות למצוא אטומים שנעים מעל למהירות האור! מצב שכזה הוא כמובן בלתי אפשרי, ואם התפלגות מקסוול-בולצמן מאפשרת את זה באופן תיאורטי, משמע היא אינה מתאימה לתיאור של אטומים בטמפרטורה גבוהה.

בקיצור, אי אפשר להשתמש בהתפלגות מקסוול-בולצמן כדי להסיק מסקנות לגבי הגבול העליון של הטמפרטורה, ואם בכלל קיים גבול כזה.

חם אש שחבל על הזמן!

אז מה הפתרון לבעיה? אם מהירות האור היא גבול עליון של מהירות האטומים, אז מה זה אומר על הטמפרטורה שלהם? האם ייתכן כי לא קיים גבול עליון לטמפרטורה אף על פי שכן קיים גבול עליון למהירות? על פניו זה נשמע די מוזר, הרי טמפרטורה, כאמור, משמשת מדד למהירות של האטומים, לא כך?

ובכן, כדי להבין את הפתרון, יש לחדד מעט את המשמעות הפיזיקלית של טמפרטורה, באופן הבא:

הטמפרטורה אינה מדד למהירות של חלקיקי החומר, אלא דווקא לאנרגיה שלהם, ועל פי תורת היחסות של איינשטיין, אמנם יש גבול עליון למהירות של חלקיק אך אין גבול עליון לאנרגיה שלו.⁴

אסביר: אחת התוצאות היותר מפורסמות של איינשטיין, היא העובדה שהגדלת האנרגיה של חלקיק יכולה רק לקרב אותו לתנועה במהירות האור אך לעולם לא לעבור אותה, וזה לא משנה בכלל כמה אנרגיה נמשיך להוסיף לחלקיק. לדוגמה: נניח כי השקעתם כמות עצומה של אנרגיה כדי להניע חלקיק ל- 99% ממהירות האור. כעת, גם אם תגדילו את כמות האנרגיה המושקעת פי 3.5, מהירות החלקיק תגדל ל- 99.9% ממהירות האור, ולא יותר. גם אם תמשיכו להגדיל את אנרגיה, והפעם פי 10.5, אתם תגלו כי מהירות החלקיק תגדל ל- 99.999% ממהירות האור, ולא יותר. אתם יכולים להמשיך ולהגדיל את האנרגיה עוד ועוד – כמה שרק תרצו ללא גבול – אבל זה לא יעזור, מהירות החלקיק תמשיך להתקרב למהירות האור, אך לעולם לא תחצה אותה. זה בדיוק מה שפיזיקאים עושים במאיצי חלקיקים, משקיעים כמויות עצומות של אנרגיה כדי להאיץ חלקיקים למהירות קרובה מאוד למהירות האור.

יוצא מכאן, כי בטמפרטורות גבוהות מספיק, חלקיקי החומר לא יכולים יותר לציית להתפלגות מקסוול-בולצמן, שהרי בהתפלגות זו אין גבול עליון למהירות החלקיקים. במילים פשוטות: התפלגות מקסוול-בולצמן פשוט לא מתחשבת באיסורים של תורת היחסות. כעת השאלה המתבקשת היא: האם יש התפלגות שכן לוקחת בחשבון את תורת היחסות של איינשטיין?

התשובה היא: כן. מסתבר כי בטמפרטורות גבוהות חלקיקי הגז מצייתים להתפלגות אחרת לגמרי, הנקראת:

התפלגות מקסוול-יוּטְנֵר

התפלגות זו נקראת על שם הפיזיקאי פרנץ יוטנר (Ferencz Jüttner) שפיתח את ההתפלגות הזו בשנת 1911 בעקבות פרסום תורת היחסות של איינשטיין.⁵ מה שיפה בכל העסק הוא שהתפלגות מקסוול-יוטנר כוללת בתוכה את התפלגות מקסוול-בולצמן כמקרה פרטי! במילים פשוטות: כל עוד הטמפרטורה \(T\) נמוכה כך שמהירות החלקיקים \(v\) קטנה ביחס למהירות האור \(c\), שתי ההתפלגויות הנ"ל זהות אחת לשניה, וכל האמור בפוסט הקודם על התפלגות מקסוול-בולצמן עדיין תקף. לעומת זאת, בטמפרטורה גבוהה שבה החלקיקים מתקרבים למהירות האור, אז החלקיקים מפסיקים לציית להתפלגות מקסוול-בולצמן ומתחילים לציית להתפלגות מקסוול-יוטנר, ותכונות ההתפלגות משתנות.

להלן אציג את הביטוי המתמטי של התפלגות מקסוול-יוטנר \(f\), אך מיד לאחר מכן אסביר בפשטות את התכונות המרכזיות שלה:

\(\displaystyle f\left( v \right)=\frac{{{{\gamma }^{5}}m{{v}^{2}}}}{{ckT}}\cdot K_{2}^{{-1}}\left( {\frac{{m{{c}^{2}}}}{{kT}}} \right)\cdot {{e}^{{-\frac{{\gamma m{{c}^{2}}}}{{kT}}}}}\)

אוקיי, כל המתמטיקה הזו עושה כאב ראש אז בקישור כאן אני מפרט יותר על הביטוי הנ"ל ושאר הפרמטרים שמופיעים בו. מכל מקום, במסגרת הפוסט הנוכחי אתמקד אך ורק במה שחשוב כדי להבין איך חלקיקים מתנהגים בטמפרטורות גבוהות. להלן שתי התכונות החשובות ביותר שעליכם לדעת כדי להבין את התפלגות מקסוול-יוטנר:

1. בטמפרטורות גבוהות מספיק, אמנם המהירות הממוצעת הולכת וגדלה עם עלית הטמפרטורה, אך היא לעולם אינה חוצה את מהירות האור, אלא רק מתקרבת אליה עוד ועוד. זה לא אומר שאי אפשר להמשיך להעלות את הטמפרטורה; מבחינה מעשית אתם יכולים להמשיך להגדיל אותה כמה שרק תרצו, ובאמת אתם תוסיפו לחלקיקים עוד ועוד אנרגיה. אבל אל תשכחו כי על פי תורת היחסות, למהירות יש גבול עליון אע"פ שלאנרגיה אין.
2. ככל שהמהירות הממוצעת הולכת ומתקרבת למהירות האור, כך גם השונות הולכת וקטנה. כלומר: בטמפרטורות גבוהות מספיק, כמעט כל החלקיקים ינועו סביב המהירות הממוצעת, שהיא עצמה נושקת למהירות האור. ככל שהטמפרטורה תגדל, כך השונות תלך ותצטמצם עוד ועוד בדיוק במידה הדרושה, כך שגם החלקיקים הנעים מעל המהירות הממוצעת לעולם לא יעברו את מהירות האור.

בגרף הבא תוכלו לראות באופן איכותי את התפלגות מקסוול-יוטנר במגוון טמפרטורות שונות. שימו לב כיצד הטמפרטורה עולה, ובו זמנית גם המהירות הממוצעת (שיא העקומה)⁶ וגם השונות הולכת וגדלה (העקומה מתרחבת), בדומה להתפלגות מקסוול-בולצמן. לעומת זאת, אם נמשיך להעלות את הטמפרטורה עוד עוד, נקבל כי השונות לפתע הולכת וקטנה (העקומה מצטמצמת) והמהירות הממוצעת הולכת ומתקרבת למחסום שאותו היא לא יכולה לעבור:

חם אש שחבל על הזמן, מזמן מזמן…

אוקיי, בואו ונוריד את הדברים לקרקע עם קצת מספרים מהעולם האמיתי, ונשאל: כמה גבוהה צריכה להיות הטמפרטורה בפועל כדי שהתפלגות מקסוול-יוטנר תיכנס לתוקף? מתי כבר לא נוכל יותר להשתמש בהתפלגות מקסוול-בולצמן כדי לתאר את מהירות החלקיקים? האם בכלל יש אובייקטים בעולם – או אפילו ביקום – בטמפרטורה כל כך גבוהה שבה התפלגות מקסוול-בולצמן מתחילה "לזייף" ולייחס לחלקיקים מהירויות לא נכונות?

ובכן, האובייקט שקופץ מיד לראש כשאנו מדברים על טמפרטורה גבוהה הוא – כצפוי – השמש שלנו. טמפרטורת פני השטח של השמש היא כ- 5800 מעלות קלווין, ובטמפרטורה כזו אין כמעט הבדל בין שתי ההתפלגויות: אם נחשב את המהירות הממוצעת בכל אחת מההתפלגויות נקבל כמעט את אותו מספר בדיוק: כ- 11,043 מטר לשניה.

כדי להתחיל לראות הבדל בערכים של המהירות הממוצעת, יש לעלות לטמפרטורה הרבה, ה-ר-ב-ה יותר גבוהה, כזו שניתן למצוא בתוך ליבה של כוכבים, ולא על פני השטח שלהם. תאמינו או לא, אך הטמפרטורה בתוך ליבת השמש שלנו (כ-15 מיליון מעלות) עדיין לא גבוהה מספיק כדי לייצר הבדל משמעותי; לכך דרוש כוכב יותר מסיבי מהשמש עם טמפרטורת ליבה של כ-150 מיליון מעלות. בטמפרטורה שכזו, נקבל הבדל של כ- 2.2% בין ההתפלגויות:

1. התפלגות מקסוול-יוטנר: מהירות ממוצעת של 24.83% ממהירות האור.
2. התפלגות מקסוול-בולצמן: מהירות ממוצעת של 25.38% ממהירות האור.

טמפרטורות גבוהות יותר ניתן למצוא בתוך ליבות של כוכבים בשלב המבוגר של חייהם, השלב בו הם מתיכים יסודות כבדים יותר מאשר מימן והליום, יסודות כגון: ניאון, חמצן וסיליקון. הטמפרטורה הנדרשת להתכה של יסודות כבדים גבוהה עוד יותר, כ- 1.5 מיליארד מעלות, ובטמפרטורה שכזו התפלגות מקסוול-בולצמן כבר אינה רלוונטית; לא די בכך שהיא מייצרת שגיאה של כ- 17.7% במהירות הממוצעת, אלא היא גם מייחסת הסתברות סופית למצוא חלקיקים הנעים מעל מהירות האור, כי השונות גדולה מאוד:

1. התפלגות מקסוול-יוטנר: מהירות ממוצעת של 66.04% ממהירות האור.
2. התפלגות מקסוול-בולצמן: מהירות ממוצעת של 80.27% ממהירות האור.

אבל נראה כי האובייקטים הלוהטים ביותר ביקום הם: קוואזרים (Quasars), אותן מפלצות-חלל השוכנות במרכזי גלקסיות. הטמפרטורה של קוואזר יכול להגיע אפילו ל- 10 טריליון מעלות!⁷ בטמפרטורה זו התפלגות מקסוול-בולצמן מפספסת לגמרי, ואפילו המהירות הממוצעת כבר עוברת את מהירות האור:

1. התפלגות מקסוול-יוטנר: מהירות ממוצעת של 89.53% ממהירות האור.
2. התפלגות מקסוול-בולצמן: מהירות ממוצעת של 153% ממהירות האור.

סיכום

אז מה היה לנו?

בשני הפוסטים האחרונים למדנו על הפיזיקה של טמפרטורה, ועל הקשר שלה למהירות ולאנרגיה של חלקיקי החומר. אסכם ואומר לכם כי זו אינה המילה האחרונה בתחום… בכל מה שקשור לפיזיקה של טמפרטורה, מחילת הארנב עמוקה הרבה יותר, וכדי להבין טמפרטורה באופן יסודי יותר, יש קודם לכן להבין מושג פיזיקלי שנקרא: אנטרופיה. אבל כל זה נושא לסדרת פוסטים נפרדת בעתיד.

1. מבחינה קוונטית, חלקיקי החומר לעולם אינם יכולים להיות במנוחה מוחלטת. לכן טמפרטורת האפס המוחלט אינה הטמפרטורה בה חלקיקי החומר נמצאים במנוחה, אלא זו הטמפרטורה שבה החלקיקים נמצאים ברמת היסוד האנרגטית הנמוכה ביותר. [↩]
2. המימן הוא היסוד הקל ביותר והמסה שלו היא פשוט 1u ביחידות של: Atomic mass units. [↩]
3. אפשר למצוא באינטרנט אתרים שמחשבים את המהירות הממוצעת של חלקיקים בהתפלגות מקסוול-בולצמן בהינתן המסה של החלקיקים והטמפרטורה שלהם, ראו למשל בקישור כאן. [↩]
4. זו עדיין אינה ההגדרה המתמטית המדויקת של טמפרטורה, שבה הטמפרטורה מוגדרת באמצעות האנטרופיה של המערכת, אך זה נושא לפוסט אחר. [↩]
5. יוטנר למעשה התבסס על התפלגות מקסוול-בולצמן שמתארת את מהירות החלקיקים בגז אידיאלי, אלא שהוא הוסיף לתיאוריה את מהירות האור כגבול עליון בהתאם למשוואות תורת היחסות. בקישור כאן ניתן למצוא מאמר שמפרט את הדרך בה ניתן לפתח את התפלגות מקסוול-יוטנר. [↩]
6. הטמפרטורה הממוצעת אינה נמצאת בדיוק בשיא העקומה, אך לצורך הדיון נתעלם מכך כרגע. [↩]
7. RADIOASTRON OBSERVATIONS OF THE QUASAR 3C273, Y. Y. Kovalev et al, The Astrophysical Journal Letters, Volume 820, Number 1 [↩]