בפוסט כאן למדנו על התפלגות מקסוול-יוטנר שלוקחת בחשבון אפקטים של תורת היחסות כדי לתאר את התפלגות המהירות של חלקיקים בטמפרטורה גבוהה מאוד, בניגוד להתפלגות מקסוול-בולצמן בה אין התחשבות במגבלות של תורת היחסות שמונעת מחלקיקים לעבור את מהירות האור.
התפלגות מקסוול-יוטנר מתוארת על ידי הפונקציה הבאה:
\(\displaystyle f\left( v \right)=\frac{{{{\gamma }^{5}}m{{v}^{2}}}}{{ckT}}\cdot K_{2}^{{-1}}\left( {\frac{{m{{c}^{2}}}}{{kT}}} \right)\cdot {{e}^{{-\frac{{\gamma m{{c}^{2}}}}{{kT}}}}}\)
כאשר \(f\) זו צפיפות ההסתברות, \(v\) זו המהירות, \(m\) זו מסת חלקיק בודד, \(c\) זו מהירות האור, \(k\) זה קבוע בולצמן, \(T\) זו הטמפרטורה, ו- \(K_{2}\) זו פונקצית בסל מסדר שני.1
הפרמטר \(\gamma\) נקרא פקטור לורנץ וגם הוא תלוי במהירות \(v\) והוא נובע ישירות מתוך תורת היחסות של איינשטיין:
\(\displaystyle \gamma =\frac{1}{{\sqrt{{1-\frac{{{{v}^{2}}}}{{{{c}^{2}}}}}}}}\)
פקטור לורנץ כולל בתוכו את מהירות האור \(c\) כחסם עליון, כי אם \(v>c\) ניתן לראות כי פקטור לורנץ הופך להיות מספר מרוכב.
ביטוי נוסף שחוזר על עצמו בהתפלגות מקסוול-יוטנר הוא היחס: \(m{{c}^{2}}/kT\). הערך של היחס הזה קובע מהי הטמפרטורה שבה התפלגות מקסוול-יוטנר מתפצלת מהתפלגות מקסוול-בולצמן, או במילים אחרות: מאיזה טמפרטורה כבר אי אפשר להשתמש בהתפלגות מקסוול-בולצמן כדי לתאר את מהירות החלקיקים.
הביטוי \(m{{c}^{2}}\) הוא למעשה אנרגיית המנוחה של החלקיק והביטוי \(kT\) הוא מדד לאנרגיית המערכת כולה. כל עוד הטמפרטורה נמוכה מספיק כך שמתקיים: \(kT\ll m{{c}^{2}}\), אז התפלגות מקסוול-יוטנר זהה להתפלגות מקסוול-בולצמן, ושתיהן מתלכדות. לעומת זאת, כאשר הטמפרטורה גבוהה מספיק כך שאנרגיית המערכת היא מסדר גודל של אנרגיית המנוחה של החלקיק: \(kT\approx m{{c}^{2}}\), או שהיא גבוהה יותר: \(kT\gg m{{c}^{2}}\), במקרים אלה אי אפשר יותר להשתמש בהתפלגות מקסוול-בולצמן.
כמו במקרה של התפלגות מקסוול-בולצמן, גם בהתפלגות מקסוול-יוטנר ניתן למצוא שלוש מהירויות אופייניות:
- מהירות מסתברת ביותר \(v_{p}\),
- מהירות ממוצעת \(v_{avg}\),
- מהירות root mean square, או בקיצור: \({{v}_{{rms}}}\).
את כל המהירויות הנ"ל ניתן לחשב בדיוק באותה דרך שבה עשינו זאת בהתפלגות מקסוול-בולצמן בקישור כאן. במקרה של התפלגות מקסוול-יוטנר הביטויים הסופיים ארוכים ומורכבים מבחינה מתמטית לכן לא אציג אותם, אך ניתן למצוא אותם בקישור כאן.
התכונה החשובה ביותר שיש לדעת לגבי המהירויות הנ"ל, היא כי בהתפלגות מקסוול-בולצמן בכל טמפרטורה מתקיים:
\(\displaystyle {{v}_{p}}<{{v}_{{avg}}}<{{v}_{{rms}}}\)
במילים אחרות, המהירות הממוצעת \(v_{avg}\) ומהירות \({{v}_{{rms}}}\) תמיד נמצאות מצד ימין של המהירות המסתברת ביותר \(v_{p}\), שהיא שיא העקומה. עובדה זו נכונה גם להתפלגות מקסוול-יוטנר בטמפרטורות נמוכות, כי בתחום זה היא מתלכדת עם התפלגות מקסוול-בולצמן.
לעומת זאת, בטמפרטורות גבוהות, המצב מתהפך בהתפלגות מקסוול-יוטנר, ונקבל כי המהירות הממוצעת \(v_{avg}\) ומהירות \({{v}_{{rms}}}\) נמצאות דווקא מצד שמאל של שיא העקומה, ולכן שתיהן נמוכות מהמהירות המסתברת ביותר \(v_{p}\).
- ליתר דיוק: Second order modified Bessel function of the second kind [↩]