מפלצת המספרים המעופפת: על מספר גְּרַאהְם וענקים אחרים.

למספרים גדולים – ואני מתכוון: באמת גדולים – יש קסם. לאיזה קסם אני מתכוון בדיוק? טוב, אני מניח שמדובר בהרגשה אישית שקשה להסביר, והמונח קצת מעורפל, אבל נדמה לי כי למספרים מפלצתיים בגודלם יש מעין "אישיות" מפחידה שכזו… כשמצליחים לתאר מבחינה מתמטית מספר מפלצתי של ממש, כשמבינים – עד כמה שאפשר להבין – את הגודל הבלתי נתפס שלו, באותו רגע מרגישים מעין "אפסות" שכזו, הרגשה שאולי גם אתם תרגישו אם תגיעו לסוף הפוסט.

המספר המפלצתי שעליו אני מדבר נכנס לספר השיאים של גינס בתור: "המספר הגדול ביותר אי פעם שנעשה בו שימוש בהוכחה מתמטית".¹ כשנתקלתי בו בפעם הראשונה, כשהבנתי איך הוא מוגדר ואיך מחשבים אותו, כשנפל לי האסימון עד כמה המספר הזה עצום, זה הרגע בו הבנתי שכל המספרים הגדולים – הענקיים! – שהכרתי קודם לכם היו כאין וכאפס ממש אל מול המפלצת החדשה הזו, מסיבה פשוטה: לא היו לי את הכלים המתמטיים הדרושים כדי להתחיל בכלל לתאר מספר מפלצתי שכזה.

אם אתם לא מאמינים לי, אז הנה לכם תרגיל קצר: נסו לחשוב על המספר הסופי הגדול ביותר שאתם מסוגלים לתאר מבחינה מתמטית. תיאור מעורפל לא תופס פה, אתם חייבים להיצמד לתיאור מתמטי ברור וקונקרטי, למשל: מיליון בחזקת מיליארד בחזקת טריליון, או כל תיאור אחר שתוכלו לחשוב עליו. קדימה, אתם יכולים להתפרע כמה שאתם רוצים.

כשתסיימו לקרוא את הפוסט, אתם תגלו כי לא משנה איזה מספר תיארתם לעצמכם עכשיו, אני מבטיח לכם שאתם לא מתקרבים בכלל לגודל האדיר של המספר שאתאר לכם במאמר הנוכחי, שנקרא:

מספר גְּרַאהְם (Graham's number)

אז בואו נתחיל.

גוגל זה לא רק מנוע חיפוש

מהו המספר הסופי הגדול ביותר שאתם מכירים? אפשר להניח כי מספרים כגון: מיליון 10⁶, מיליארד 10⁹, וטריליון 10¹², כל אלה נחשבים מספרים קטנים יחסית. סך הכל, כל המספרים האלה מופיעים דרך קבע בעולם היומיומי שלנו, לדוגמה:

• דירה בישראל עולה כמה מיליוני שקלים,
• יש כ- 8 מיליארד בני אדם בעולם,
• התמ"ג (GDP) של כל העולם הוא כ- 100 טריליון דולר.

אוקיי, בואו נתקדם קצת למספרים גדולים יותר ונדירים יותר, אבל כאלה שניתן עדיין להצמיד לדבר ממשי כלשהוא:

• על קִוינְטִילְיוֹן 10¹⁸ כבר שמעתם? אם לא, אז תדעו שיש בערך 10 קוינטיליון חרקים בכדור הארץ, סך הכל.
• מה לגבי סֵפּטִילִיוֹן 10²⁴? נשמע מוכר? אם לא, אז המסה של כדור הארץ היא כ- 6 ספטיליון ק"ג.

מה לגבי מספר האטומים הכולל בכל היקום כולו?² טוב, זו כבר קפיצה די גדולה קדימה: פיזיקאים מעריכים כי יש פחות או יותר 10⁸⁰ אטומים סך הכל בכל היקום. זה הרבה.

נמשיך הלאה… על המספר הגדול הבא בטוח שמעתם:

גוּגוֹל (Googol)

אם השם מצלצל לכם מוכר, אתם לא טועים: מנוע החיפוש Google נקרא על שם המספר הזה בדיוק, אלא שמייסדי החברה – לארי פייג' וסרגיי ברין – טעו באיות של השם, ובמקום Googol הם קראו לחברה שלהם Google. לארי וסרגיי בחרו בשם גוגול כדי לציין את כמויות המידע העצומות שאיתם מנוע החיפוש שלהם אמור להתמודד, כי גוגול הוא באמת מספר גדול:

Googol = 10¹⁰⁰

במילים פשוטות: המספר גוגול שווה ל-1 עם 100 אפסים אחריו, ככה:

מספר ענק לכל הדעות, אבל עדיין אפשר "לדמיין" אותו, או מספרים פחות או יותר דומים לו. לדוגמה:

• אם נמלא את היקום כולו באטומי מימן צמודים זה לזה, כמו תפוזים, אז נצטרך בערך 10¹¹⁰ אטומי מימן.³
• מספר המשחקים השונים שאפשר לשחק על לוח שחמט מוערך ב- 10¹²⁰, פחות או יותר.⁴

עכשיו אנחנו הולכים לעשות קפיצה די רצינית אל המספר הגדול הבא, וגם השם של המספר הזה נגזר מהשם של המספר הקודם:

גוּגוֹלפְּלֵקְס (Googolplex)

זה כבר מספר הרבה יותר גדול מקודמו, כי גוגולפלקס מוגדר כ- 10 בחזקת גוגול, ככה:

Googolplex = 10^Googol = 10^(10100)

רק שיהיה ברור: אם גוגל הוא 1 ולאחריו 100 אפסים, אז גוגולפלקס הוא 1 ולאחריו גוגול אפסים!⁵

טוב, גוגולפלקס זה כבר מספר כל כך גדול, שקצת קשה להצמיד אותו למשהו מוחשי. אפילו לכתוב את המספר זו משימה בלתי אפשרית מבחינה פיזיקלית: פשוט אין מספיק מרחב בכל היקום כולו כדי להכיל את כל האפסים האלה, גם אם ננסה לכתוב כל 0 בגודל גופן מינימלי… אם בכל זאת נתאמץ וננסה להצמיד את גוגלפלקס למשהו מוחשי, אז קראתי באינטרנט שפעם אחת הפיזיקאי קארל סייגן חישב ומצא שאם נמלא את כל היקום בכדורים קטנים, כל כדור בקוטר מיליונית המטר וכל כדור ממוספר בנפרד, אז גוגלפלקס זה מספר הקומבינציות האפשריות שבהם נוכל לארגן ולסדר את כל הכדורים האלה בתוך היקום.⁶

אוקיי, למה אני מספר לכם את כל זה? כדי לפתוח לכם את התיאבון! כל האמור לעיל זה רק אַפֵּרִיטִיף שנועד להכין את הקרקע לבואה של מפלצת המספרים הנוראה.

לצבוע קוביות n-ממדיות

בשנת 1971 המתמטיקאי רונלד גרהאם ניסה לפתור בעיה מתמטית די מסובכת. אציג להלן את הבעיה עצמה, למרות שלא אסביר אותה, כי זו לא המטרה של המאמר; אין צורך להבין את הבעיה עצמה. המטרה האמיתית היא להסביר אך ורק את התוצאה הסופית שלה, אבל תיכף אגיע לכך. מכל מקום, זו הבעיה שהוא ניסה לפתור:

נתונה הִיפּר-קובייה \({n}\)-ממדית. מחברים את כל הקודקודים שלה כדי לקבל גרף שלם בעל \(2^{n}\) צמתים. עתה צובעים כל קשת בגרף בצבע אדום או שחור. מהו הערך המינימלי של \({n}\) כך שלכל צביעה אפשרית של הגרף בהכרח יהיה קיים תת-גרף שלם עם ארבעה קודקודים, הנמצאים באותו המישור בהיפר-קובייה, שכולו צבוע באותו הצבע?

כפי שאמרתי, לא ניכנס לפרטי פרטים לגבי מה בדיוק הכוונה בכל הז'רגון המתמטי הזה. לצורך הדיון, חשוב לזכור רק את העובדה הבאה:

רונלד גרהאם מצא את הפתרון לבעיה, כלומר: הוא מצא את המספר \({n}\).

וזו המפלצת שאני מדבר עליה. אם תמשיכו לקרוא, אראה לכם כי המספר הזה \({n}\) הוא עד כדי כך גדול, שכל המספרים הגדולים שעד עכשיו תיארתי, הם פשוט אפסים מוחלטים בהשוואה אליו.

גורדי שחקים של חזקות

כדי לתאר את מספר גראהם, יש להיזכר בפעולות החשבון הפשוטות והמוכרות: חיבור, כפל וחֵזְקָה. הקשר בין הפעולות ידוע וברור: פעולת הכפל היא סימון מקוצר של הרבה פעולות חיבור עוקבות, לדוגמה:

2 x 3 = 2 + 2 + 2

גם פעולת החזקה היא סימון מקוצר להרבה פעולות כפל עוקבות, לדוגמה:

2³ = 2 x 2 x 2

עכשיו אני הולך ללמד אתכם פעולת חשבון חדשה, המסומנת בחץ הפונה מעלה, ככה: ↑. כמו שאת פעולת החיבור אנו מסמנים ב: +, ואת פעולת הכפל ב: x, כך גם הפעולה החדשה שמיד אסביר עליה מסומנת כך: ↑

אז מה המשמעות של פעולת החץ ↑? ובכן, כשמשתמשים בחץ פעם אחת בלבד, פעולת החץ אינה שונה מפעולת החזקה הרגילה והמוכרת, לדוגמה:

9 = 3² = 2 ↑ 3
125 = 5³ = 3 ↑ 5
1296 = 6⁴ = 4 ↑ 6

אוקיי, זה קל, אבל מכאן והלאה העסק נהיה יותר מעניין. מה קורה כאשר משתמשים בשני חיצים, למשל כך: 3↑↑2 ? ובכן, שני חיצים זה סימון מקוצר לכך שיש להפעיל את פעולת החץ הבודדת בשרשרת, כאשר המספר 2 יופיע בשרשרת 3 פעמים, ככה:

2 ↑↑ 3 = 2 ↑ (2 ↑ 2) = 2²²

הבנתם? הסימון 3↑↑2 פירושו מגדל חזקות של המספר 2 בגובה 3 קומות. התוצאה הסופית של 3↑↑2 לא מרשימה במיוחד בגודלה, ואפשר לחשב זאת בקלות:

2 ↑↑ 3 = 2 ↑ (2 ↑ 2) = 2 ↑ (2²) = 2 ↑ 4 = 2⁴ = 16

ברור כי כל האמור לעיל לגבי הפעולה ↑↑ נכון באופן כללי לכל זוג מספרים שתבחרו, למשל: 4↑↑3 פירושו מגדל חזקות של המספר 3 בגובה 4 קומות, ככה:

3 ↑↑ 4 = 3 ↑ (3 ↑ (3 ↑ 3)) = 3³³³

עכשיו מגיע הפאנץ'-ליין שיפוצץ לכם את הראש… כמה לדעתם גדול המספר הזה שעכשיו רשמתי? בבקשה תפסיקו לקרוא, אל תסתכלו על המסך, וקחו דקה לנסות לנחש מה הגודל של המספר 4↑↑3.

נו, אז מה אתם אומרים? אגלה לכם את התשובה:

3 ↑↑ 4 = 3³³³ = 3³²⁷ = 3^{7,625,597,484,987}

אז כמה זה 3 בחזקת 7,625,597,484,987? אין שום סיכוי שאוכל לכתוב את המספר הזה במפורש, אבל אני כן יכול להגיד לכם כמה ספרות יש בו כדי שתבינו עד כמה הוא גדול:⁷

למספר 4↑↑3 יש 3,638,334,640,025 ספרות, או בקיצור: 3.6 טריליון ספרות.

אתם קולטים בכלל עד כמה גדול המספר הזה??? להזכירכם כי במספר גוגל יש "רק" 100 ספרות, זה הכל…⁸ לעומת זאת, במספר 4↑↑3 יש 3.6 טריליון ספרות(!!!), מה שגורם לגוגל להסמיק מבושה.

אמנם, המספר 4↑↑3 לא גדול כמו גוגלפלקס, כי בגוגלפלקס יש גוגל ספרות, וזה הרבה יותר מ-3.6 טריליון.⁹ אבל הנה לכם תרגיל קטן: נסו לחשוב מה יקרה אם נוסיף רק עוד קומה אחת למגדל שלנו, כלומר: במקום מגדל חזקות של 4 קומות, נבנה מגדל של 5 קומות. במילים פשוטות: במקום להסתכל על המספר 4↑↑3, נסו להסתכל על 5↑↑3. אני יכול להבטיח לכם (ואני מוכיח זאת בקישור כאן), כי אל מול 5↑↑3, לא רק שגוגלפלקס יסמיק מבושה, הוא יתאבד מרוב בושה.

זו הנקודה החשובה ביותר שאתם צריכים לקחת הלאה אל המשך הפוסט: להבין כמה מהר מספרים צומחים וגדלים ברגע שאנו משתמשים במגדלי חזקות. זה פשוט מטורף, אין לי מילה אחרת. אם חשבתם שהקפיצה מגוגל אל גוגלפלקס הייתה גדולה, זה כלום ושום דבר בהשוואה לקפיצה שמתקבלת כשמוסיפים בסך הכל קומה אחת למגדל חזקות.¹⁰

אבל למה לעצור בשני חיצים ↑↑ ? אפשר באותה מידה גם להגדיר פעולת שלושה חיצים, כך: ↑↑↑, והכללים נשארים בדיוק אותו דבר. נסתכל לדוגמה על המספר: 4↑↑↑3 . כדי לחשב את המספר הזה, יש להפעיל שרשרת של שני חיצים ↑↑ כך שהמספר 3 יופיע בשרשרת 4 פעמים, כך:

3 ↑↑↑ 4 = 3 ↑↑ (3 ↑↑ (3 ↑↑ 3))

רק להזכירכם כי כבר חישבנו את 3↑↑3, זה יוצא: 7,625,597,484,987 = 3³³, ולכן נקבל:

3 ↑↑↑ 4 = 3 ↑↑ (3 ↑↑ 7,625,597,484,987)

אתם קולטים שרק הביטוי באדום בסוגריים זה מגדל חזקות של המספר 3 בגובה של 7,625,597,484,987 קומות??? זוכרים שמגדל של 5 קומות בלבד (5↑↑3) גרם לגוגלפלקס להתאבד מבושה??? עכשיו נסו לדמיין מה זה מגדל עם 7,625,597,484,987 קומות… קשה לתאר במילים בכלל עד כמה גדול הביטוי באדום בסוגריים. אבל זה לא סוף הסיפור, כי הביטוי באדום הוא עצמו יהיה מספר הקומות במגדל הבא בתור, והתוצאה הסופית היא תהיה המספר 4↑↑↑3 !!!

בנקודה זו אתם מבינים דבר נוסף: אם חשבתם שהוספת קומה אחת במגדל חזקות מנפחת את התוצאה, אז אין מה להשוות בכלל להוספת חץ. כל פעם שמוסיפים חץ, המספר פשוט מתפוצץ. בקיצור, הגודל של המספרים האלה פשוט בלתי נתפס; אי אפשר בכלל לדמיין בשכל אנושי כמה גדול המספר 4↑↑↑3.

עכשיו תחזיקו חזק, כי בקושי גירדנו את התחתית של התחתית (של התחתית) של מספר גראהם.

המפלצת

אז כדי להגיע אל מספר גראהם עצמו, יש להגדיר תחילה מספר "קטן" יותר שנקרא: g₁, וכך הוא מוגדר:

g₁ = 3 ↑↑↑↑ 3

ראיתם נכון, יש כאן ארבעה חיצים: ↑↑↑↑ . בואו ונפתח את g₁ בהתאם לכללים שלמדנו כדי להבין במה מדובר:

g₁ = 3 ↑↑↑↑ 3 = 3 ↑↑↑ (3 ↑↑↑ 3) =

= 3 ↑↑↑ (3 ↑↑ (3 ↑↑ 3)) = 3 ↑↑↑ (3 ↑↑ 3³³) =

= 3 ↑↑↑ (3 ↑↑ 7,625,597,484,987)

זוכרים איך הראש שלנו התפוצץ כשניסינו לתאר קודם לכן את המספר 4↑↑↑3 ? אז g₁ זה כמו 4↑↑↑3, חוץ מפרט אחד קטן: את המספר 4 תחליפו במספר ששווה למגדל חזקות של 3 בגובה 7,625,597,484,987 קומות (זה הביטוי באדום בסוגריים). זהו, תעשו את זה וקיבלתם את g₁. איך אומרים: בקטנה…

תיכף אני מגיע למספר גראהם, לא להתייאש. עכשיו שיש לנו את g₁, אפשר להגדיר מספר חדש: g₂, כך:

\(\displaystyle {{g}_{2}}=3\text{ }\underbrace{{\uparrow \uparrow \ldots\ldots\ldots\ldots \uparrow \uparrow }}_{{{{g}_{1}\text{ arrows}}}}\text{ }3\)

אוקיי, מה עשיתי פה? כדי לקבל את g₂ אתם צריכים לעשות אותו דבר כמו שעשיתם ב- g₁, אבל עם הרבה יותר חיצים. במילים פשוטות: כדי לחשב את המספר g₁ יש להשתמש בארבעה חיצים בלבד, כך: g₁ = 3↑↑↑↑3. עכשיו שיש לכם את המספר g₁, זו כמות החיצים שתצטרכו להפעיל כדי לחשב את g₂. במילים פשוטות:

יש g₁ חיצים בביטוי של g₂.

שאלוהים יעזור לנו, אבל לצערי זה לא נגמר… כדי להגיע למספר גראהם יש להמשיך ולייצר עוד מספרי g כאלה באותה דרך:

• g₂ זה מספר החיצים ב- g₃,
• g₃ זה מספר החיצים ב- g₄,
• g₄ זה מספר החיצים ב- g₅,
• וכן הלאה …

כך נראית מכונת הייצור של מספרי g, שלב אחרי שלב:

אז מה הוא אותו מספר גראהם ידוע לשמצה? ובכן, מספר גראהם, המסומן באות: \(G\), הוא לא פחות מאשר:

\(\displaystyle G={{g}_{{64}}}\)

כן, גבירותיי ורבותיי, את מכונת הייצור של מספרי g תצטרכו להפעיל 64 פעמים, ובסוף תגיעו למפלצת גרא… אה, סליחה, התכוונתי מספר גראהם. בשלב זה נגמרו לי המילים, וכל מה שיש לי להגיד זה:

סיכום

לקינוח, אדגים בקצרה דרך נוספת שבה תוכלו לקבל מושג על הגודל המפלצתי של מספר גראהם. בכל המאמר לעיל התמקדתי בתיאור של מספר גראהם "מלמטה-למעלה"; כלומר: התחלנו במגדלי חזקות עם מספר קומות קטן, וכך לאט לאט בנינו את מספר גראהם שלב אחרי שלב, וראינו איך המספרים הולכים ומתנפחים. אך יש דרך נוספת לתאר את מספר גראהם: "מלמעלה-למטה". למה אני מתכוון?

נסתכל לדוגמה על המספר: גוגלפלקס. כפי שראינו, במספר הזה יש גוגל ספרות.¹¹ כעת נשאל את אותה שאלה שוב: כמה ספרות יש בגוגל? התשובה: 100 ספרות.¹² אוקיי, כמה ספרות יש ב-100? ובכן, 3 ספרות. ולבסוף, במספר 3 יש רק ספרה אחת.

ראיתם כמה מהר ירדנו מגוגלפלקס ל-1? סך הכל ארבעה שלבים:

• מגוגלפלקס לגוגל,
• מגוגל ל-100,
• מ-100 ל-3,
• מ-3 ל-1.

במילים פשוטות: על ידי בדיקת כמות הספרות בכל מספר, צונחים מטה מהר מאוד, ממספרים מאוד גדולים עד למספר 1.

אם הגעתם עד כאן אז כבר ברור לכם כי מספר גראהם הוא כל כך גדול כך שאין בכלל אפשרות לכתוב אותו מבחינה פיזית; אין מספיק מקום בכל היקום כדי להכיל את סך הספרות שלו. אבל נניח לרגע כי במספר גראהם יש D₁ ספרות. גם המספר הזה עצמו D₁ יותר מדי גדול מכדי שאפשר יהיה לכתוב אותו בכל היקום כולו. עכשיו נניח כי במספר D₁ יש D₂ ספרות. גם את המספר D₂ לא נוכל לכתוב. ואם במספר D₂ יש D₃ ספרות, אז גם D₃ עדיין יהיה גדול מדי. וגם D₄, וגם D₅, וכן הלאה וכן הלאה… גם אם תמשיכו ככה גוגל פעמים, אפילו המספר D_Googol עדיין יהיה גדול מכדי שנוכל לכתוב אותו פיזית בכל היקום כולו.

בקיצור, אני מקווה שהבנתם כי מספר גראהם הוא מספר גדול.

1. זה קרה בשנת 1980, ומאז השיא נשבר, אבל המספר שעליו נדבר במאמר הנוכחי נשאר כנראה המפורסם ביותר. [↩]
2. מדובר כמובן ביקום הנצפה (Obsrvable universe). [↩]
3. הנפח של אטום מימן הוא בערך 10 בחזקת 31- מטר מעוקב, והנפח של היקום הנראה הוא בערך 10 בחזקת 80 מטר מעוקב. [↩]
4. כולל משחקים עם מהלכים לא חוקיים. [↩]
5. דרך אגב, יש גם מספר שנקרא: גוגלדופלקס (Googolduplex), שהוא למעשה 10 בחזקת גוגלפלקס. [↩]
6. מדובר כמובן בהערכה גסה, וניתן להדגים אותה באמצעות החישוב הפשוט הבא: כידוע, נפח היקום הנראה מוערך להיות כ- 80^10 מטר מעוקב. לכן ניתן להכניס לתוך היקום 100^10 אובייקטים בנפח של (20-)^10 מטר מעוקב. הנפח של כדור קטן בקוטר של 1 מיקרומטר הוא בערך (20-)^10 מטר מעוקב, לכן ניתן למלא את היקום בגוגול כדורים קטנים שכאלה. אם כל כדור ממוספר, אז מספר הפרמוטציות האפשריות של כל הכדורים ביקום הוא: גוגול עצרת, כלומר: !(100^10). מסתבר כי גם למספר גוגול עצרת יש שם מיוחד, והוא נקרא: גוגולבאנג (Googolbang). בעזרת קירוב סטרלינג ניתן להגיע למסקנה כי גוגולבאנג שווה בקירוב ל: (102^10)^10. גוגולפלקס שווה ל: (100^10)^10, ולכן ניתן לומר כי גוגול עצרת שווה "בערך" לגוגולפקס. [↩]
7. יש מחשבונים באינטרנט שבעזרתם ניתן לחשב את מספר הספרות של מספרים גדולים, ראו בקישור כאן [↩]
8. ליתר דיוק יש בגוגל 100 אפסים ו-101 ספרות אך אפשר להתעלם מזה. [↩]
9. גם במקרה זה, בגוגלפלקס יש גוגל אפסים ומספר הספרות הוא גוגל+1, אך אפשר להתעלם מזה. [↩]
10. זכרו כי לגוגל יש 100 ספרות, ל- 4↑↑3 יש בערך טריליון ספרות, ולגוגלפלקס יש גוגל ספרות. מכאן נובע כי 4↑↑3 יותר גדול מגוגל, אבל הוא הרבה יותר קרוב לגוגל מאשר לגוגלפלקס. ברגע שהפכנו את 4↑↑3 למספר 5↑↑3, כלומר: הוספנו קומה אחת למגדל, ניפחנו את התוצאה עד כדי כך שהמספר גוגלפלקס עצמו הופך להיות אפסי ביחס ל- 5↑↑3. ראו את ההוכחה בקישור כאן. [↩]
11. ליתר דיוק: גוגל+1 ספרות [↩]
12. ליתר דיוק: 101 ספרות [↩]