העוצמה של מגדלי חזקות

בפוסט כאן למדנו על מגדלי חזקות וכיצד לסמן מגדלים אלה ידי הסימן: ↑. בנוסף ראינו כי המספר 4↑↑3 הרבה יותר גדול מהמספר גוגל, כי במספר 4↑↑3 יש בערך 10¹² ספרות, אבל בגוגל יש רק 100 ספרות בלבד. אמנם, המספר 4↑↑3 הרבה יותר קטן מגוגלפלקס שבו יש 10¹⁰⁰ ספרות.

ננסה להעריך את הגודל של המספר 5↑↑3 ולהשוות אותו לגוגלפלקס.

המספר 5↑↑3 הוא למעשה מגדל חזקות של המספר 3 בגובה 5 קומות ולכן:

3 ↑↑ 5 = 3^{(3 ↑↑ 4)} = 3^{[1012 digit number]}

המספר גוגלפלקס מוגדר כך:

Googolplex = 10^Googol = 10^{[100 digit number]}

אבל ידוע כי:

10 ≈ 3^2.1

ולכן:

Googolplex = (3^2.1)^{[100 digit number]} =

= 3^{[≈100 digit number]}

במילים פשוטות: גוגלפלקס הוא 10 בחזקת מספר עם 100 ספרות. גם אם נמיר את גוגלפלקס לבסיס 3, עדיין נקבל כי גוגלפלקס הוא 3 בחזקת מספר בן 100 ספרות כפול 2.1, שזה עדיין מספר בן 100 ספרות.

לעומת זאת, המספר 5↑↑3 הוא 3 בחזקת מספר עם טריליון ספרות ולכן הוא הרבה, ה-ר-ב-ה יותר גדול מאשר גוגלפלקס.