האינסוף של השכן גדול יותר

אין דרך טובה יותר להתחיל תואר אקדמי מאשר ללמוד כבר בשבוע הראשון משהו שמפוצץ לך את המוח, משהו שלא חשבת עליו אף פעם קודם לכן, משהו חדש לחלוטין וכל כך לא אינטואיטיבי, שבבת אחת מרחיב לך את גבולות הגזרה, ובאותו רגע מתברר לך כי יש שם בחוץ עולם שלם של רעיונות ומושגים – שעד לאותו רגע – היו לגמרי מחוץ לגבולות הדמיון שלך.

זה בדיוק מה שקרה לעבדכם הנאמן. כבר בשבוע הראשון ללימודים, בשיעור הראשון בקורס: חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, למדתי על אחת התובנות החשובות ביותר במתמטיקה של סוף המאה ה-19 (וכנראה גם מהחשובות ביותר בכל ההיסטוריה של המתמטיקה). עד היום – עד לרגע זה ממש – התובנה הנ"ל נראית לי כמו אבסורד אחד גדול, למרות שאני יודע שהיא נכונה!

אז מהי אותה תובנה נכונה-אבסורדית? ובכן, מדובר בהוכחה המפורסמת של המתמטיקאי הגרמני גֵּאוֹרְג קַנְטוֹר (1845-1918), הטוענת כי:

יש אינסוף קטן, ויש אינסוף גדול ממנו.

אם המשפט הזה לא ממש עושה עליכם רושם, אז תרשו לי להסביר לכם עד כמה הטענה הזו נוגדת את האינטואיציה:

דמיינו כי ברשותכם אינסוף תפוזים, ואתם צריכים לזהות כל תפוז באופן ייחודי. אין שום בעיה, כי למרבה המזל יש ברשותכם אינסוף מדבקות, כל מדבקה עם מספר: 1, 2, 3, 4, 5, וכן הלאה… כל שעליכם לעשות כדי לסמן כל תפוז באופן ייחודי, הוא להדביק עליו מדבקה עם מספר. זה הכל.

עכשיו שימו לב: מה הייתם חושבים אם הייתי אומר לכם, כי גם אחרי שתשתמשו בכל אינסוף המדבקות שברשותכם, עדיין ישארו תפוזים ללא מדבקה?

הייתם אומרים לי שאני מטורף, שאני חי בסרט והוזה הזיות. מה זאת אומרת שיש תפוזים ללא מדבקה? איך זה יכול להיות? אם יש תפוז ללא מדבקה, כל מה שצריך לעשות זה לשלוף עוד מדבקה – הרי יש לנו אינסוף כאלה! – ולהדביק על התפוז, מה הבעיה? כל המשמעות של המושג אינסוף פירושו: ללא גבול, ללא תקרה, גדול ככל שנרצה. אפילו מספר גְּרַאהְם, המספר המפלצתי שעליו למדנו בפוסט הקודם, הוא אפס ושום דבר בהשוואה לאינסוף. איך בכלל יכולה להיות קבוצה שבה יש יותר אובייקטים מאינסוף?

ובכן, אתם תופתעו לגלות כי במקרים מסוימים באמת ישארו תפוזים ללא מדבקה גם אם "תבזבזו" את כל אינסוף המדבקות שברשותכם. כן, בדיוק כך. זו בדיוק הטענה שקנטור הוכיח, אלא שהוא השתמש בשיטה יותר מתוחכמת, בלי תפוזים ומדבקות. במינוח קצת יותר רציני, קנטור הוכיח כי:

קיימות שתי קבוצות, כל אחת עם אינסוף אובייקטים, ובכל זאת בקבוצה אחת יש יותר אובייקטים מאשר בשניה.

אני מדגיש שוב: המילה יותר האמורה כאן אינה מטאפורה, יש להבין אותה באופן מילולי לחלוטין. לא "כאילו" יותר, אלא ממש יותר. גם אם יש אינסוף תפוזים בקבוצה אחת ואינסוף מדבקות בקבוצה שניה, בכל זאת ניתן להוכיח כי קיימים יותר תפוזים ממדבקות, ממש כך.

מכל מקום, אם אתם חושבים כי הטענה הנ"ל אבסורדית, אז אתם לא לבד; ככה בדיוק חשבה צמרת עולם המתמטיקה של אותה תקופה, וצמרת זו לא עשתה לקנטור חיים קלים, בלשון המעטה:

המחלוקת שפרצה בעקבות תגליתו של קנטור הייתה חריפה ביותר ולא-אחת קיבלה צביון של ויכוח תאולוגי מימי הביניים. אמנם לא הייתה צפויה לקנטור הסכנה להישרף חיים, אבל הוא נפגע אישית קשות, נתקל במכשולים בפרסום עבודותיו, הוחרם על ידי חלק בלתי מבוטל של ציבור המתמטיקאים (וביניהם גדולי המקצוע), ונמנעה ממנו קתדרה באוניברסיטה מרכזית, בה היה יכול לנצל את כל האפשרויות של עבודה מדעית וחינוכית. מלחמת חורמה זו, שנוהלה נגדו בכל האמצעים המותרים והאסורים, כמעט שהעבירה את קנטור על דעתו, הביאה אותו עד לסף מחלת רוח, ולבסוף גרמה להפסקת פעילותו המתמטית עשרים שנה לפני פטירתו.

אדוארד פוזננסקי, על יסודות המתמטיקה.

רשימות אינסופיות

לפני שנתחיל, חשוב להבין מה בעצם אנחנו מנסים להשיג, כלומר: איך בכלל אפשר להגיע למסקנה כי קבוצה אינסופית אחת באמת גדולה יותר מקבוצה אינסופית אחרת?

ובכן, הדרך לבדוק זאת היא יחסית פשוטה: כל פעם שנבחן קבוצה שיש בה אינסוף אובייקטים, שאלת מיליון הדולר שתמיד נשאל את עצמנו היא זו:

האם יש דרך שבה נוכל לעשות רשימה מסודרת של כל האובייקטים בקבוצה, כך שבוודאות כל אובייקט יופיע ברשימה לפחות פעם אחת?

אם לחזור לדוגמה הקודמת של תפוזים ומדבקות, אז למעשה אנו מנסים לוודא שאכן יש לנו דרך בטוחה שבאמצעותה אנו יכולים לוודא שכל תפוז קיבל לפחות מדבקה אחת; אין שום תפוז שבטעות פספסנו ולא הדבקנו עליו מדבקה.

כל פעם שנגלה קבוצה המכילה אינסוף אובייקטים ולכל אובייקט נוכל להצמיד מדבקה, משמע מדובר בקבוצה אינסופית בגודל "רגיל", או במילים אחרות: אינסוף בגודל "סטנדרטי".¹ אך אם נגלה קבוצה שבה לא ניתן להצמיד מדבקה לכל אובייקט, כלומר: אם נגלה שנשארו בקבוצה אובייקטים ללא מדבקה, אז המשמעות היא שמדובר בקבוצה אינסופית גדולה יותר בהשוואה לקבוצה אינסופית "רגילה".

המספרים הטבעיים

אוקיי, הקבוצה הראשונה שנבחן היא קבוצת המספרים הטבעיים, אלו המשמשים אותנו לספירה של אובייקטים: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, וכן הלאה, עד אינסוף. קבוצת המספרים הטבעיים זו הקבוצה הכי טובה להתחיל ממנה, פשוט כי כל פעם שאנו חושבים על המושג אינסוף, הדבר הראשון שקופץ לנו לראש הוא אינסוף המספרים הטבעיים, לא כך?

אז הנה שאלת מיליון הדולר: מהי הדרך הפשוטה ביותר בה נוכל לעשות רשימה של כל המספרים הטבעיים, מבלי לפספס אף אחד? ובכן, התשובה ברורה מאליה, בדיוק ככה:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 … +∞

אני יודע כי בשלב זה ייתכן וכל העסק נראה לכם טריוויאלי ומובן מאליו, אבל השלב הנוכחי הכרחי להבנת השלבים המורכבים יותר בהמשך. בנוסף, אם ישנם אינסוף מספרים טבעיים, אז ברור מאליו כי ייקח לנו אינסוף זמן להשלים את הרשימה הזו בפועל, או במילים אחרות: ברור כי בלתי אפשרי מבחינה מעשית לרשום את כל המספרים הטבעיים, אחד לאחד. אבל הזמן הדרוש להשלמת הרשימה כולה אינו רלוונטי; רק דבר אחד חשוב: הידיעה כי לא נפספס אף מספר טבעי בדרך! ברור כי הרשימה לעיל לא מפספסת אף מספר טבעי: הרי היא מתחילה במספר 1, ובכל צעד מתקדמת למספר הבא בתור. לכן אנו יכולים לדעת בוודאות שאם נקפיד על השיטה, כל מספר טבעי יופיע ברשימה.

המספרים השלמים

המשימה הבאה תהיה לעשות רשימה של כל המספרים השלמים. כעת נוצר אתגר קטן: המספרים השלמים כוללים את כל המספרים הטבעיים החיוביים, ובנוסף את השליליים וגם את המספר 0. במילים פשוטות, כך נראה ציר המספרים השלמים:

-∞ … -4 , -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 … +∞

שימו לב כי הרשימה שעכשיו כתבתי אינה רשימה מוצלחת במיוחד. מדוע? חשוב לזכור כי המטרה שלנו היא לעשות רשימה שבה לא נפספס אף מספר שלם, ולכן להתחיל את הרשימה מהקצה "השמאלי" של ציר המספרים, כלומר: ∞-, זה לא פתרון מעשי; חשבו על כך: מאיזה מספר שלם בדיוק נתחיל את הרשימה? הרי ∞- אינו מספר… גם 1+∞- אינו מספר. בקיצור, לא נוכל למצוא לעולם מספר שלילי "גדול מספיק" כדי להתחיל ממנו את הרשימה.

הפתרון במקרה הזה הוא די פשוט: כל מה שצריך לעשות זה להתחיל מהמספר 0, להתקדם למספר השלם החיובי הבא בתור, להוסיף את בן הזוג השלילי שלו, ואז לעבור למספר השלם החיובי הבא בתור, וחוזר חלילה. ככה:

0 , 1 , -1 , 2 , -2 , 3 , -3 , 4 , -4 , 5 , -5 , …

גם במקרה זה, מבחינה מעשית הרשימה הנ"ל לא תושלם לעולם, אבל זה לא משנה; רק דבר אחד חשוב: יש לנו שיטה שבאמצעותה אפשר להכין רשימה המכילה את כל המספרים השלמים, ללא יוצא מן הכלל, מבלי לפספס אף מספר!

המספרים הרציונליים

מעולה, השלב הבא הוא להכין רשימה של כל המספרים הרציונליים, כלומר: כל המספרים שאפשר להציג אותם על ידי חלוקה של שני מספרים שלמים.² הנה כמה מספרים רציונליים לדוגמה, כדי שיהיה ברור:

• \(\displaystyle {\frac{1}{2}}\) , נקרא גם: שבר אמיתי (מונה קטן מהמכנה),
• \(\displaystyle {\frac{11}{8}}\) , נקרא גם: שבר מדומה (מונה גדול מהמכנה),
• \(\displaystyle {-\frac{2}{3}}\) , או: שבר אמיתי שלילי,
• \(\displaystyle {7}\) , גם מספרים שלמים הם רציונליים, כי למשל \(\displaystyle {7}\) הוא גם: \(\displaystyle {\frac{7}{1}}\),
• וכן הלאה …

אז איך מכינים רשימה שכזו? במבט ראשון, המשימה נראית בלתי אפשרית; הרי רק בין 0 ל-1 יש אינסוף מספרים רציונליים! שוב חוזרת הבעיה הקודמת: מאיפה בדיוק נתחיל את הרשימה? חשבו על כך: לא משנה כמה נתקרב למספר 0, זה לא יעזור, תמיד נוכל להתקרב עוד ועוד ולא נדע איפה לעצור והיכן להתחיל. גם אם היינו מתעקשים להתחיל ממספר רציונלי כל שהוא, למשל \({\frac{1}{2}}\), איפה בדיוק נסיים? אנחנו נמצא את עצמנו רק מתקרבים עוד ועוד למספר 1 אך לעולם לא חוצים אותו "לצד השני".

כאן בדיוק נכנסת הגאונות של קנטור לתמונה… בשלב הראשון קנטור סידר את המספרים הרציונליים בצורה של טבלה, כאשר כל מספר מיוצג על ידי חלוקה של שני מספרים שלמים, על פי הכללים הבאים:

• לכל המספרים הנמצאים באותה שורה יש מונה זהה.
• לכל המספרים הנמצאים באותה עמודה יש מכנה זהה.
• לכל שורה יש מונה הגדול ב-1 מהשורה הקודמת.
• לכל עמודה יש מכנה הגדול ב-1 מהעמודה הקודמת.

ככה זה נראה:

שימו לב כי הטבלה מכילה את כל הערכים האפשריים של מונה ומכנה, ולכן הטבלה מכילה את כל המספרים הרציונליים!³ אם כן, איך נרכיב רשימה של כל המספרים בטבלה מבלי לפספס אף אחד? ברור כי אם ננסה להרכיב את הרשימה שורה אחת בכל פעם, לעולם לא נסיים אפילו את השורה הראשונה, ולא נצליח לעבור לשורה השנייה (זה נכון כמובן גם לגבי העמודות). אלא שקנטור הציע שיטה מבריקה, והיא מסומנת בטבלה על ידי חיצים באדום. במילים אחרות: כל מה שצריך לעשות כדי להרכיב את הרשימה זה לעקוב אחרי כיוון החיצים האדומים:

ניתן לראות בקלות כי בשיטה זו אנו "מכסים" את כל המספרים בטבלה, אחד אחרי השני, כך שלבסוף תהיה לנו רשימה של כל המספרים הרציונליים ולא נפספס אף מספר!

המספרים הממשיים

אז עשינו רשימה של כל המספרים הרציונליים, והמשימה הבאה תהיה לעשות רשימה של כל המספרים הממשיים. תזכורת קצרה: קבוצת המספרים הממשיים כוללת את כל המספרים הרציונליים שתיארתי לעיל, אבל גם את המספרים האי-רציונליים, אלה שאי-אפשר לייצג על ידי חלוקה של שני מספרים שלמים. לדוגמה, הנה כמה מספרים אי-רציונליים מפורסמים:

\(\sqrt{2}=1.41421356237\ldots\)

\(\pi =3.14159265359\ldots\)

\(e=2.71828182846\ldots\)

\(\varphi =1.61803398875\ldots\)

את כל המספרים האלה (וגם כל מספר אי-רציונלי אחר) אי אפשר לייצג באמצעות חלוקה של שני מספרים שלמים, לא משנה כמה תנסו. הדרך היחידה לייצג מספרים אי-רציונליים היא אך ורק בהצגה עשרונית בלבד, ולכל מספר אי-רציונלי יש אינסוף ספרות אחרי הנקודה העשרונית, ורצף הספרות אינו יוצר תבנית כלשהיא. לסיכום, קבוצת המספרים הממשיים כוללת גם את המספרים הרציונליים וגם את האי-רציונלים, לכן כל מספר שתוכלו להעלות בדעתכם, שייך לקבוצת המספרים הממשיים.⁴

נמשיך לשאלת מיליון הדולר: האם ניתן להכין רשימה של כל המספרים הממשיים מבלי לפספס אף מספר ממשי? ברור כי גם במקרה הזה, יש אינסוף מספרים ממשיים בין 0 ל-1, אבל עובדה זו לא צריכה להרתיע אותנו, כי עובדה זו הייתה נכונה גם במקרה הקודם של קבוצת המספרים הרציונליים. כפי שהראיתי למעלה, הצלחנו להתגבר על הבעיה הזו.

בנקודה זו אנו מגיעים אל ההוכחה המפורסמת של קנטור, שממנה נובע כי המשימה בלתי אפשרית. יתירה מזו, קנטור הוכיח כי המשימה בלתי אפשרית אפילו אם נגביל את עצמנו רק לקבוצת המספרים הממשיים בין 0 ל-1, קל וחומר לכל המספרים הממשיים כולם! השיטה שבה קנטור השתמש מבריקה:

קנטור הניח כי דווקא קיימת רשימה אינסופית הכוללת את כל המספרים הממשיים בין 0 ל-1, ואז הראה כי תמיד יישארו מספרים שלא מופיעים ברשימה הזו!

להלן אראה לכם איך בדיוק זה עובד:

בואו ונצא מנקודת הנחה כי קיימת רשימה של כל המספרים הממשיים בין 0 ל-1. ברור כי הרשימה אינסופית בגודלה (כמו כל הרשימות הקודמות), אבל בואו ונניח לרגע כי הרשימה באמת כוללת את כל המספרים הממשיים בין 0 ל-1. במילים פשוטות: הרשימה לא מפספסת אף מספר, אף אחד לא נשאר בחוץ.

איך הרשימה הזו נראית? ככה:

אתם בטח שואלים את עצמכם מאיפה הגיעו כל המספרים האלה, ולמה דווקא המספרים האלה בדיוק ולא אחרים? התשובה היא שהמצאתי אותם מהראש ולא ממש אכפת לי מה הערכים שלהם. אל תשכחו כי המספרים האלה הם רק ההתחלה של רשימה ארוכה מאוד של מספרים – רשימה אינסופית – שכוללת את כל המספרים הממשיים בין 0 ל-1. זו הרי הנחת המוצא שלנו – שהרשימה לא מפספסת אף מספר ממשי – ולכן אנחנו יודעים כי כל מספר ממשי בין 0 ל-1 שתוכלו לחשוב עליו יופיע אי שם בהמשך הרשימה.

בשלב הבא, נייצר מספר חדש על ידי לקיחת ספרות בודדות לאורך האלכסון של הרשימה. כלומר נרכיב מספר באמצעות הספרות המוקפות בריבועים אדומים:

הנה המספר שהתקבל לאחר איסוף כל הספרות לאורך האלכסון:

שימו לב כי למספר יש אינסוף ספרות, שהרי הוא מורכב מכל הספרות שאספנו לאורך האלכסון של הרשימה. כעת נשנה את כל הספרות במספר הזה, על ידי כך שנוסיף 1 לכל ספרה: הספרה 5 תהפוך ל-6, הספרה 7 תהפוך ל-8, הספרה 0 תהפוך ל-1, וכן הלאה… מה לגבי הספרה 9? ובכן, הספרה 9 תהפוך ל-0. ככה נראה השינוי:

כעת מגיע הפאנץ'-ליין. תסתכלו טוב טוב על המספר הסופי שקיבלנו:

\(\displaystyle 0.682015\ldots\)

שימו לב כי המספר הנ"ל לא נמצא בשום מקום ברשימה ההתחלתית! הוא אינו שווה ל- \({{n}_{1}}\), כי הוא שונה ממנו בספרה הראשונה (להזכירכם, את הספרה 5 הפכנו ל-6). הוא גם אינו שווה ל- \({{n}_{2}}\), כי הוא שונה ממנו בספרה השנייה (את הספרה 7 הפכנו ל-8). מאותה סיבה, הוא גם לא שווה ל- \({{n}_{3}}\), ולא ל- \({{n}_{4}}\), ולא לאף אחד מאינסוף המספרים שברשימה!

אבל! זכרו כי הרשימה שלנו הייתה אינסופית מלכתחילה, והנחנו מראש כי היא כוללת את כל המספרים הממשיים בין 0 ל-1. אלא שעל ידי טריק פשוט מצאנו מספר ממשי שאינו מופיע ברשימה. סימן שהנחת היסוד שלנו הייתה שגויה: הרשימה הראשונית אינה כוללת את כל המספרים הממשיים!

בשלב זה אנו יכולים לנסות להתחכם ופשוט להוסיף את המספר שמצאנו אל הרשימה, כלומר: להוסיף אל תחילת הרשימה את המספר \(0.682015\ldots\), ואז להניח שהרשימה החדשה המורחבת כוללת את כל המספרים הממשיים. אך ההתחכמות הנ"ל נידונה לכישלון, שהרי מהרשימה המורחבת אנו יכולים שוב פעם לייצר מספר נוסף שאינו מופיע בה, וחוזר חלילה.

המסקנה ברורה: אי אפשר לייצר רשימה שבה מופיעים כל המספרים הממשיים. תמיד יהיו קיימים מספרים שלא יופיעו ברשימה, אלא "מרחפים" להם אי שם בחוץ, אף על פי שהרשימה עצמה היא אינסופית! אם לחזור להמחשה הפשוטה שתיארתי בתחילת המאמר:

אם המספרים הממשיים הם תפוזים, לא נוכל לעולם לסמן את כולם עם מדבקות ממוספרות: 1, 2, 3, 4, וכו'… גם אם נשתמש באינסוף מדבקות שכאלה, תמיד יהיו תפוזים ללא מדבקה.

סיכום

אז מה היה לנו?

ראינו כי גם אם קיימת קבוצה שבתוכה יש אינסוף אובייקטים (המספרים הטבעיים), זה לא אומר בהכרח כי "כמות" האובייקטים היא הכמות הגדולה ביותר האפשרית. למרבה ההפתעה, מסתבר כי ניתן למצוא קבוצות שבהם יש יותר אובייקטים, הרבה יותר (המספרים הממשיים).

בנקודה זו השאלה המתבקשת היא: מהי אם כן הכמות של אינסוף המספרים הממשיים? האם ניתן לבטא כמות זו באמצעות כמות אינסופית קטנה יותר, זו של המספרים הטבעיים למשל?

על כך בפוסט הבא.

1. ליתר דיוק, הגודל של אינסוף "רגיל", הוא למעשה הגודל הקטן ביותר האפשרי. [↩]
2. חוץ מ-0. [↩]
3. ליתר דיוק, הטבלה מכילה את החיוביים בלבד. המספר 0 אינו מופיע, אך תמיד נוכל להוסיף אותו בתחילת הרשימה שלנו, כי הוא מספר בודד. כמו כן, גם המספרים הרציונליים השליליים לא מופיעים, אך כפי שכבר ניחשתם, כל מספר שלילי תמיד נוכל להצמיד אל בן זוגו החיובי כאשר נרכיב את הרשימה. בנוסף, חדי העין מכם בטח מזהים כי יש מספרים המופיעים יותר מפעם אחת, אבל כאמור לעיל כל מה שחשוב הוא שנרכיב רשימה שבה לא נפספס אף מספר, זה לא באמת חשוב שיהיו מספרים ברשימה שיופיעו יותר מפעם אחת. [↩]
4. חוץ מהמספרים המרוכבים, אך לא נעסוק בכך כרגע. [↩]