לספור עד אינסוף, ואז להמשיך לספור!

בפוסט הקודם למדנו על אחת התגליות החשובות ביותר בהיסטוריה של המתמטיקה, שאומרת בפשטות כי:

כמות המספרים הטבעיים אינה גדולה כמו שחשבנו מלכתחילה.

במבט ראשון מדובר בטענה מוזרה בצורה בלתי רגילה, שהרי כולנו יודעים כי ישנם אינסוף מספרים טבעיים: 1, 2, 3, 4, 5, 6 … וכן הלאה, ללא גבול; איך ייתכן כי כמות בלתי מוגבלת תהיה קטנה ביחס לכמות אחרת? אלא שהמתמטיקאי גאורג קנטור גילה כי יש קבוצות המכילות כמות גדולה יותר של אובייקטים, כמות שחורגת הרבה מעבר לאינסוף המספרים הטבעיים, פשוטו כמשמעו.

קנטור הוכיח כי גם אם ננסה להשתמש במספרים הטבעיים בתור "תעודות זהות", או: "תּגִיּוֹת", נגלה כי יש קבוצות של אובייקטים שפשוט אי אפשר להשתמש במספרים הטבעיים כדי לתַיֵּג את כל האובייקטים שבקבוצה, אחד לאחד. גם אם נשתמש בכל אינסוף המספרים הטבעיים – בכל אינסוף התגיות שברשותנו – בכל זאת ישארו אובייקטים שלא יקבלו תגית. קבוצה שכזו היא קבוצת המספרים הממשיים. במילים פשוטות: כמות אינסוף המספרים הממשיים גדולה יותר מכמות אינסוף המספרים הטבעיים. ממש כך.

כל זה טוב ויפה, אבל מה עושים עכשיו? השאלה המתבקשת היא: מהי הכמות של המספרים הממשיים? כבר ברור כי יש יותר ממשיים מטבעיים, אבל כמה? יתירה מזו: איך נתאר את הכמות הזו? הרי אנו משתמשים במספרים כדי לתאר כמויות, אבל איזה מספרים בכלל יש "אחרי" אינסוף?

לאדם הממוצע כל השאלות הנ"ל אולי נראות כבלתי פתירות, אבל אם אתם חושבים שזה מה שיעצור את קנטור שלנו, אז אתם טועים ובגדול! מתמטיקאי כמו קנטור לא מפחד מדרך ארוכה! גם אם אין מספיק מספרים טבעיים, את קנטור זה לא מעניין; הוא היה נחוש להמשיך לספור גם מעבר לאינסוף, כל הדרך עד המספרים הממשיים, ולגלות מהי הכמות המדוייקת שלהם!

אז מה קנטור עשה? איך הוא המשיך לספור אחרי האינסוף? ובכן, קנטור פשוט המציא מספרים מסוג אחר, שעליהם אספר לכם במאמר הנוכחי. המשמעות של מספרים אלה שונה, אך אלו מספרים כשרים למהדרין, וניתן להפעיל עליהם פעולות חשבון פשוטות שכולנו מכירים, כגון: חיבור, כפל וחזקה.¹ באמצעות מספרים אלה, קנטור ניסה לעשות את מה שנראה כבלתי אפשרי: להתקדם אל מעבר לאינסוף המספרים הטבעיים, ולהגיע צעד אחר צעד כל הדרך אל אינסוף המספרים הממשיים.

טיפ קטן להמשך: ייתכן כי שיטת הספירה שהמציא קנטור תיראה לכם במבט ראשון כמו משחק מגוחך שכזה, לא רציני, כאילו משעמם לקנטור ואין לו משהו אחר לעשות… אם כך יקרה, רק תזכרו שזה בגלל שאני מציג את הדברים ברמה הפשוטה ביותר האפשרית. אלא שהאמת היא, שהעולם האינסופי שיצר קנטור הוא ארץ הפלאות של המתמטיקאים; בעולם המופלא הזה מתמטיקאים מגלים מספרים חדשים ומיוחדים עם תכונות מוזרות ומשונות (כפי שניתן לראות בקישור כאן), ובלתי אפשרי להכניס במאמר אחד את כל העושר המתמטי שיש בתחום הזה שיצר קנטור.² אסתפק בלצטט את דויד הילברט, הקפטן של עולם המתמטיקה בתחילת המאה ה-20:

מגַּן הָעֵדֶן שקנטור יצר עבורנו, אף אחד לא יוכל לגרש אותנו!

דויד הילברט

1 הוא אחד או ראשון?

כדי להבין את שיטת הספירה של קנטור, קודם כל יש לדעת להבדיל בין שני סוגי מספרים: מספר קַרְדִּינָלִי ומספר אוֹרְדִּינָלִי. אסביר:

1. מספר קַרְדִּינָלִי: מספר שמציין כמות של אובייקטים בקבוצה. למשל: 5 הוא מספר קרדינלי שמציין את כמות השחקנים בקבוצת כדורסל. 11 הוא מספר קרדינלי שמייצג את כמות השחקנים בקבוצת כדורגל. בעברית, אנו מתייחסים למספרים קרדינלים כך: אחד, שניים, שלושה, ארבעה, חמישה, וכן הלאה.
2. מספר אוֹרְדִּינָלִי: מספר שמציין מיקום של אובייקט מסוים בתוך הקבוצה. למשל: מירי רגב היא מספר 9 ברשימת הליכוד לכנסת. שימו לב: המספר 9 מציין מיקום, ולא כמות! בעברית, אנו מתייחסים למספרים אורדינלים כך: ראשון, שני, שלישי, רביעי, וכן הלאה.

כבר בשלב זה ברור כי כל מספר טבעי (1, 2, 3, 4, …) הוא בו-זמנית גם מספר קרדינלי וגם מספר אורדינלי. הסיבה פשוטה: כל מספר טבעי יכול לייצג גם כמות של אובייקטים בקבוצה נתונה, אבל הוא יכול גם לייצג את המיקום של אובייקט כלשהוא בתוך קבוצה. מכל מקום, כל זה טוב ויפה כשאנו מסתכלים על מספרים סופיים, אבל מה יקרה אם נסתכל על כל אינסוף המספרים הטבעיים גם יחד כקבוצה אחת? כמה מספרים יש שם? במילים אחרות: מהי כמות המספרים הטבעיים? האם קיים מספר שמייצג את הכמות הזו?

במבט ראשון נראה כי התשובה היא: אינסוף, או כפי שאנו מסמנים אותו: \(\infty\). אבל זו טעות, כי \(\infty\) אינו מספר, לא קרדינלי ולא אורדינלי; למעשה, \(\infty\) הוא קונספט, או רעיון… זו הדרך שלנו להגיד כי יש לפנינו "משהו" שאין לו גבול. הסמל \(\infty\) אינו יכול לציין את כמות המספרים הטבעיים, כי באותה מידה יש גם \(\infty\) מספרים ממשיים, אבל כפי שראינו בפוסט הקודם, קנטור גילה כמות הממשיים גדולה יותר מהכמות של הטבעיים!

אז מה התשובה? מהו המספר הקרדינלי שמציין את כמות המספרים הטבעיים? האם יש בכלל מספר כזה? ובכן, יש מספר כזה, וקוראים לו: אָלֶף-אֶפֶס, וכך הוא מסומן:

אם זה נראה לכם קצת מוזר, אתם לא לבד. אבל אל תשכחו שגם המספר \({5}\) הוא בסך הכל סמל מוסכם שנועד לייצג כמות אובייקטים בקבוצה מסוימת, למשל: כמות האצבעות בכף היד. כולנו פשוט מסכימים לציין את הכמות הזו באמצעות הסמל הזה: \({5}\). לכן גם הסמל \({{\aleph}_{0}}\) נועד לייצג כמות. זו אמנם כמות אינסופית, אבל זו הכמות של המספרים הטבעיים. במילים פשוטות:

יש \({\aleph_{0}}\) מספרים טבעיים, בדיוק כמו שיש \({5}\) אצבעות בכף היד.

אולי יפתיע אתכם לדעת כי אפשר בקלות לייצג כמות אינסופית כמו \({{\aleph}_{0}}\) בצורה וויזואלית! אתם בטח שואלים את עצמכם: איך אפשר "לדחוף" את כל אינסוף המספרים הטבעיים לתוך תמונה סופית? ובכן, זה די פשוט: כל מה שצריך לעשות זה לייצג כל מספר טבעי באמצעות קו אנכי. כל המספרים הטבעיים יהיו למעשה סדרה של קווים אנכיים, זה לצד זה, משמאל לימין. הטריק לדחוס את כולם יחד טמון בכך שכל קו קצר יותר מקודמו, וגם מרוחק ממנו פחות. ככה זה נראה:

כל אינסוף הקווים שבתמונה יוצרים צורה שנראית כמו משולש שמכיל בבת אחת את כל אינסוף המספרים הטבעיים! ככל שעולים למספרים יותר ויותר גדולים, כך הקווים פשוט הופכים יותר קצרים ויותר צפופים! זה גאוני! להזכירכם, סה"כ במשולש לעיל יש \({{\aleph}_{0}}\) קווים, כי כי \({{\aleph}_{0}}\) הוא מספר קרדינלי המייצג כמות.

התור הארוך אי פעם

להזכירכם, קנטור גילה כי כמות המספרים הממשיים גדולה יותר מכמות המספרים הטבעיים. לשם המחשה: נסו לחשוב מה יקרה אם נסדר בשורה אחת את כל המספרים הטבעיים, וליד השורה הזו נוסיף עוד שורה של כל המספרים הממשיים. ברור כי שתי השורות הללו ישתרעו הרחק הרחק עד אינסוף; אבל יש בין שתי השורות הבדל גדול: שורת הטבעיים תגיע עד אינסוף ואז תסתיים, בעוד שורת הממשיים לא תסתיים אלא תמשיך הלאה, אל עבר אינסוף רחוק יותר. אפשר לומר כי קנטור עקב אחרי כל המספרים הטבעיים, ואז ניסה ללכת צעד אחד קדימה. קנטור ניסה להבין איך אפשר לתייג, או: לְמַסְפֵּר את כל מה שבא "אחרי" אינסוף המספרים הטבעיים.

פה הגאונות של קנטור נכנסת לתמונה: כדי לעקוב אחרי כל המספרים שבאים "אחרי" ששורת הטבעיים נפסקת, קנטור המציא את המספרים האורדינלים. למספר האורדינלי הראשון הוא קרא אוֹמֵגָה והוא מסומן כך:³

\(\omega\)

שימו לב: \(\omega\) אינו מספר קרדינלי כי הוא לא מייצג כמות; \(\omega\) הוא מספר אורדינלי כי הוא מייצג את המיקום של האובייקט הבא בתור אחרי אינסוף המספרים הטבעיים. אסביר זאת בצורה פשוטה יותר:

נניח שנכנסתם לקופת חולים ולקחתם פתק עם מספר. המספר הנ"ל אינו מציין כמות אלא את המיקום שלכם בתור. אם על הפתק שלקחתם מופיע המספר \(\omega\), סימן שיש אינסוף אנשים בתור לפניכם. לכל אחד מאותם אנשים גם יש פתק, ועל כל פתק יש מספר: 1, 2, 3, 4 … וכן הלאה, עד אינסוף. אלא שלרוע מזלכם, יש אינסוף אנשים עם אינסוף פתקים שכאלה, ואתם הבאים בתור אחרי האחרון שבהם. מבחינה ויזואלית כך זה נראה:

אוקיי, ברור לכל בר דעת כי העסק לא מסתיים באובייקט שנמצא במיקום \(\omega\), מן הסתם יש גם אובייקט שבא אחריו… כאילו דָהה!!!! אין בעיה, אפשר לסמן את המיקום הבא בתור כך: \({\omega+1}\). במילים פשוטות: האיש שנכנס אחריכם לקופת החולים יקבל פתק שעליו כתוב: \({\omega+1}\). הבא בתור שיכנס אחריו יקבל פתק: \({\omega+2}\), וזה שלאחריו \({\omega+3}\), וכן הלאה. אם אינסוף אנשים יבואו אחריכם לקופת החולים, אז התור לדלפק יראה כך:

עכשיו עצרו לרגע ונסו לחשוב מהי כמות האובייקטים בקבוצה הכוללת את שני המשולשים האלה יחד? קל לטעות ולחשוב כי אם במשולש אחד יש \({{\aleph}_{0}}\) אנשים, אז בשני משולשים הכמות תהיה \({2\cdot{\aleph}_{0}}\) . אז זהו, שזה לא נכון… כמות האנשים בשני המשולשים יחד היא עדיין \({{\aleph}_{0}}\) !!! אם נכתוב זאת כמשוואה היא תראה כך:

\({{\aleph}_{0}+{\aleph}_{0}={\aleph}_{0}}\)

אני חוזר ומדגיש: אין פה טעות… ברור כי משוואה כזו שגויה לחלוטין כל עוד אנו עוסקים במספרים קרדינלים סופיים, לדוגמה: ברור לכולנו כי המשוואה: \({2+2=2}\) היא שגויה. אבל מספרים קרדינלים אינסופיים, כגון: \({{\aleph}_{0}}\), מתנהגים אחרת לגמרי. גם אם תוסיפו \({{\aleph}_{0}}\) אובייקטים לקבוצה שכבר כוללת \({{\aleph}_{0}}\) אובייקטים אחרים, הכמות הכוללת של הקבוצה המאוחדת עדיין תהיה \({{\aleph}_{0}}\) . מה לעשות, ככה זה.⁴

אבל נחזור רגע לקנטור ולתשוקה הבלתי נשלטת שלו לספור: למה לעצור כאן? כל מה שצריך זה רק לחשוב איך לסמן את המיקום של האובייקט הבא בתור – זה שבא אחרי שני המשולשים האינסופיים האלה בתמונה למעלה. קל לנחש מה יהיה הסימון: אם לאחר כל משולש מגיע מספר אורדינלי \({\omega}\) , אז לאחר שניהם יופיע: \({\omega+\omega}\) ! את המספר האורדינלי הזה נסמן בקיצור: \({\omega\cdot2}\) , וככה זה יראה:

פעם נוספת ניתן לראות מדוע \({\omega\cdot2}\) אינו מייצג כמות אלא מיקום, כי הכמות הכוללת לא השתנתה והיא עדיין \({{\aleph}_{0}}\) . מכאן הדרך פתוחה למספר הבא בתור: \({\omega\cdot2+1}\) , ולבא אחריו: \({\omega\cdot2+2}\) , וכן הלאה. תמשיכו ככה אינסוף פעמים והוספתם עוד משולש לתמונה, והמספר האורדינלי המתאים יהיה, ניחשתם נכון: \({\omega\cdot3}\). אתם יודעים מה? למי יש סבלנות להוסיף קווים בודדים, בואו פשוט נוסיף משולשים בבת אחת! אחרי כל משולש שכזה, המספר האורדינלי המתאים יהיה: \({\omega\cdot4}\) , ו- \({\omega\cdot5}\) ואז \({\omega\cdot6}\) , וכן הלאה.

עכשיו קנטור כבר ממש עף על עצמו כאילו אין מחר; מבחינתו, אין שום בעיה להעמיד בשורה אינסוף משולשים כאלה. ושוב השאלה חוזרת: איך נסמן את המיקום של האובייקט הבא בתור אחרי אינסוף משולשים? קלי קלות: אם הבא בתור אחרי שני משולשים זה \({\omega\cdot2}\) , ואחרי שלושה משולשים זה \({\omega\cdot3}\) , אז אחרי אינסוף משולשים נקבל: \({\omega\cdot\omega}\) . את המספר האורדינלי הזה נסמן בקיצור: \({\omega^2}\) , וככה זה נראה:

אינסוף המשולשים האלה יוצרים מבנה שמזכיר עץ אשוח של חג המולד… אך בואו נעצור לרגע שוב ונשאל: מהי לדעתכם כמות האובייקטים בעץ הנ"ל? ובכן, שוב התשובה היא: \({{\aleph}_{0}}\) . גם במקרה זה, הכפלת \({{\aleph}_{0}}\) קווים ב- \({{\aleph}_{0}}\) משולשים, עדיין לא משנה את הכמות הכוללת של האובייקטים בעץ כולו. אם נכתוב זאת כמשוואה היא תראה כך:

\({{\aleph}_{0}}\cdot {{\aleph}_{0}}={{\left( {{{\aleph}_{0}}} \right)}^{2}}={{\aleph}_{0}}\)

כבר אמרתי לכם קודם שמספרים קרדינלים אינסופיים מתנהגים מוזר…

ככל שנמשיך הלאה כך נתקדם בצעדים גדולים יותר ויותר: תוסיפו ל- \({\omega^2}\) עץ של אינסוף משולשים ותקבלו: \({{\omega^2}\cdot2}\) , עוד עץ כזה ותקבלו: \({{\omega^2}\cdot3}\) . תמשיכו להוסיף אינסוף עצים ותקבלו: \({\omega^3}\), הנה:⁵

איך מתקדמים הלאה? בדיוק כמו שעשינו קודם: תוסיפו ל- \({\omega^3}\) את כל המבנה שיצרנו עד עכשיו, וקיבלתם: \({{\omega^3}\cdot2}\) . תחזרו על כך אינסוף פעמים והגעתם ל- \({\omega^4}\). הבנתם את הטריק? בכל שלב, אנחנו מסתכלים על המבנה שקיבלנו עד אותו רגע, משכפלים אותו אינסוף פעמים, ומקבלים מבנה חדש. את המבנה החדש משכפלים אינסוף פעמים, וחוזר חלילה. אם נשכפל את המבנה של \({\omega^4}\) אינסוף פעמים נקבל את \({\omega^5}\) , ובאותה דרך את \({\omega^6}\), וכן הלאה וכן הלאה אינסוף פעמים, עד שנגיע למספר האורדינלי: \({\omega^\omega}\) !

את המספר הזה קצת קשה לתאר וויזואלית באותה שיטה שבה השתמשנו עד עכשיו, כלומר: סדרת משולשים משמאל לימין. אך למזלנו המתמטיקאים חשבו על פתרון, וניתן לייצג את \({\omega^\omega}\) באמצעות ספירלה. זו תמונה מדהימה שבה ניתן לעקוב אחרי כל המספרים האורדינלים מ- \({0}\) ועד \({\omega^\omega}\) המפלצתי.⁶ בפרט שימו לב כיצד טריק השכפול מיוצג בתמונה: כל חצי הקפה בספירלה משכפלת פעם אחת את המבנה של ההקפה הקודמת בספירלה, והקפה מלאה משכפלת אינסוף פעמים את המבנה של ההקפה הקודמת:

טוב, מכאן והלאה אין יותר טעם להמשיך ולהתעקש על ייצוג וויזואלי, כי המשימה תהיה קשה מדי וממילא אתם מבינים את העסק: כל מבנה שיצרנו, משכפלים אינסוף פעמים, וחוזר חלילה. לכן בואו ונעצור כאן וננסה להבין מה יוצא לנו מכל זה בשורה התחתונה (לצורך ההסבר עצרתי ב- \({\omega^\omega}\) , אך מי שרוצה להבין איך ממשיכים לספור עוד ועוד, מוזמן להיכנס לקישור כאן).

אז מה המסקנה? מה קנטור ניסה להשיג באמצעות כל המספור הזה? ובכן, קנטור למעשה התחיל עם קבוצה שגודלה \({{\aleph}_{0}}\) (זה המשולש ההתחלתי שלנו), ואז הכפיל אותה \({{\aleph}_{0}}\) פעמים, ויצר מבנה חדש שנראה כמו עץ שגודלו: \(\aleph_{0}\cdot\aleph_{0}=\aleph_{0}^{2}\) . אך כפי שראינו קודם, כמות האובייקטים הכוללת בעץ לא גדלה, כי: \(\aleph_{0}^{2}={{\aleph }_{0}}\). אבל גם את המבנה הזה קנטור שכפל \({{\aleph}_{0}}\) פעמים, ויצר מבנה נוסף: \(\aleph_{0}^{3}\) . שוב, כמות האובייקטים הכוללת לא גדלה אלא נשארה \({{\aleph}_{0}}\) , כי:

\(\aleph_{0}^{3}=\aleph_{0}^{2}\cdot {{\aleph}_{0}}={{\aleph}_{0}}\cdot {{\aleph}_{0}}={{\aleph }_{0}}\)

אבל גם את המבנה הזה הוא שכפל \({{\aleph}_{0}}\) פעמים, והוא המשיך לשכפל מבנים שוב ושוב ושוב, ככה \({{\aleph}_{0}}\) פעמים! יוצא מכאן כי קנטור המשיך לספור באמצעות מספרים אורדינלים, עד לרגע שבו הוא הצליח ליצור מבנה עצום ומפלצתי שכמות האובייקטים שבו היא: \(\aleph_{0}^{{{{\aleph}_{0}}}}\) .

וכאן קנטור החליט לנוח.

מדוע? כי קנטור הצליח להראות שהמספר הקרדינלי הזה: \(\aleph_{0}^{{{{\aleph}_{0}}}}\) כולל בתוכו יותר אובייקטים מאשר \({{\aleph}_{0}}\), שהיא כמות המספרים הטבעיים. במילים פשוטות: קנטור מצא מספר קרדינלי חדש: \(\aleph_{0}^{{{{\aleph}_{0}}}}\) , שגדול יותר מאשר המספר הקרדינלי: \({{\aleph}_{0}}\) .

כאן אנו מגיעים לפאנץ'-ליין:

קנטור הוכיח כי \(\aleph_{0}^{{{{\aleph}_{0}}}}\) זו הכמות של המספרים הממשיים!⁷

מדובר בהישג מדהים: קנטור השתמש בכמות הכוללת של המספרים הטבעיים \({{\aleph}_{0}}\), ובאמצעותה הצליח לבטא את הכמות הכוללת של המספרים הממשיים!

סיכום

אז מה היה לנו?

כשקנטור הבין לראשונה כי מושג האינסוף \(\infty\) מגיע בגדלים שונים, הוא מיד ניסה לְכַמֵּת את האינסוף, כדי שנוכל להשוות בין אינסוף קטן לאינסוף גדול.

התוצאה שהגיעה אליה מדהימה! חשבו על כך:

כשם שאנו משתמשים במספר הקרדינלי הסופי \({1}\) בתור יחידת מידה כדי לְכַמֵּת גדלים סופיים, קנטור הצליח להשתמש במספר הקרדינלי האינסופי \({{\aleph}_{0}}\) בתור יחידת מידה כדי לְכַמֵּת גדלים אינסופיים!

במובן מסוים, קנטור עקב אחרי שורת המספרים הטבעיים עד לאינסוף, ואז עצר והסתכל "אחורה". הוא ראה את כל שורת המספרים הטבעיים משתרעת הרחק לאחור, והשתמש בגודל שלה כדי להמשיך קדימה לאורך שורת המספרים הממשיים אל עבר אינסוף רחוק יותר…

1. למרות שהם לא מצייתים בהכרח לאותם כללים שאליהם מצייתים מספרים "רגילים", כגון: חוק החילוף למשל. [↩]
2. בכנות, אני בעצמי לא ממש מבין את העסק הרבה מעבר לרמת הבסיס שאציג כאן. [↩]
3. יש להדגיש: מדובר במספר האורדינלי האינסופי הראשון, כי המספרים הטבעיים הם גם למעשה מספרים אורדינלים אך סופיים. [↩]
4. יש דרך אינטואיטיבית מאוד להבין את התכונה הזו: חשבו על המשולש הראשון בתור קבוצת המספרים הזוגיים בלבד ועל המשולש השני בתור המספרים האי-זוגיים בלבד. אם תחברו את שתי הקבוצות יחד ממילא תקבלו את כל המספרים הטבעיים. [↩]
5. כמו במקרה הקודם, גם אומגה-בשלישית מייצג מבנה שהכמות הכוללת של האובייקטים בתוכו היא אלף-אפס, לכן אומגה-בשלישית הוא מספר אורדינלי המייצג מיקום. [↩]
6. המספר 0 מופיע בתמונת הספירלה אך למיטב הבנתי הוא אינו מספר אורדינלי; המספרים האורדינלים מתחילים ב- 1, אך אין לכך חשיבות לצורך ההסבר או התמונה. [↩]
7. כמות המספרים הממשיים נקראת: "עוצמת הרצף", ובדרך כלל מציגים אותה דווקא באמצעות המספר הקרדינלי: 2 בחזקת אלף-אפס. במאמר הנוכחי אני משתמש במספר הקרדינלי אלף-אפס בחזקת אלף-אפס כדי לקשר אותו לשיטת שכפול המבנים בתהליך הספירה של מספרים אורדינלים. אמנם ניתן להראות, עד כמה שזה נראה מוזר, כי שני המספרים הקרדינלים: אלף-אפס בחזקת אלף-אפס מצד אחד, ו- 2 בחזקת אלף-אפס מצד שני, זהים זה לזה. כמו כן, יש לדעת כי המספר הקרדינלי שמייצג את האינסוף הגדול הבא אחרי אלף-אפס נקרא: אלף-אחד, והוא מייצג את גודל הקבוצה הקטנה ביותר שאינה בת-מניה, כלומר: קבוצה שלא ניתן למספר את כל האובייקטים שבה באמצעות המספרים הטבעיים, בניגוד לקבוצה בת-מניה שכן ניתן לעשות זאת, ולכן גודלה שווה לאלף-אפס. מכאן נובע כי אין קבוצה שגודלה הוא בין אלף-אפס לבין אלף-אחד: או שהקבוצה בת-מניה ולכן גודלה אלף-אפס, או שהיא אינה בת-מניה וגודלה הוא לכל הפחות אלף-אחד (ולכן אין מספר קרדינלי בין אלף-אפס לבין אלף-אחד). קנטור הניח כי עוצמת הרצף (כמות המספרים הממשיים) שווה לאלף-אחד. כלומר שכל קבוצה אינסופית שאינה בת-מניה היא לכל הפחות בגודל של קבוצת המספרים הממשיים. במילים אחרות: כמו שהגודל הקטן ביותר האפשרי של קבוצה אינסופית בת-מניה הוא אלף-אפס, כך הגודל הקטן ביותר האפשרי של קבוצה אינסופית שאינה בת-מניה הוא עוצמת הרצף. את ההנחה של קנטור – הנקראת השערת הרצף – לא הוכיחו מעולם. ייתכן כי עוצמת הרצף אכן שווה לאלף-אחד אך ייתכן כי היא גדולה ממנו. השערת הרצף הייתה אחת מהשאלות הפתוחות הגדולות ביותר של תחילת המאה ה-20. ברבות הימים, קורט גדל ופול כהן הוכיחו כי במסגרת האקסיומות המקובלות של תורת הקבוצות, השערת הרצף לא ניתנת להוכחה או להפרכה. היא בלתי תלויה באקסיומות הקיימות של תורת הקבוצות, ולכן ניתן להוסיף אותה או את שלילתה כאקסיומה חדשה ותורת הקבוצות תישאר עקבית, כלומר: ללא סתירות. [↩]