בפוסט כאן למדנו על מספרים אורדינלים ועל שיטת הספירה של קנטור. ספרנו עד המספר האורדינלי \(\omega^\omega\), אך ניתן כמובן להמשיך בספירה על ידי הוספת מספרים אורדינלים:
\(\displaystyle {\omega^\omega+1,\omega^\omega+2,\ldots,\omega^\omega+\omega}\)
אם נוסיף עוד \(\omega\), נקבל: \({\omega^\omega+\omega\cdot2}\), ואחר כך: \({\omega^\omega+\omega\cdot3}\), וכן הלאה עד: \({\omega^\omega+\omega^2}\).
נוכל להמשיך להוסיף \({\omega^2}\) , ונקבל: \({\omega^\omega+\omega^2\cdot2}\), ואז \({\omega^\omega+\omega^2\cdot3}\), וכן הלאה עד: \({\omega^\omega+\omega^3}\).
באותה דרך נוכל להוסיף \({\omega^3}\) שוב ושוב עד שנקבל: \({\omega^\omega+\omega^4}\) , וכן הלאה וכן הלאה עד: \({\omega^\omega+\omega^\omega = \omega^\omega\cdot2}\).
הוספת \({\omega^\omega}\) אינסוף פעמים תעלה את החזקה ב-\({1}\), כלומר נקבל: \({\omega^{\omega+1}}\). ושוב, ניתן להמשיך להוסיף מספרים אורדינלים כדי לקבל \({\omega^{\omega+1}\cdot2}\), ואז \({\omega^{\omega+1}\cdot3}\), עד ל – \({\omega^{\omega+2}}\). אם נשכפל את המספר האורדינלי הזה אינסוף פעמים נקבל:
\(\displaystyle {\omega^{\omega+2}\cdot\omega=\omega^{\omega+3}}\)
כעת כל התהליך מחדש ממשיך ברמת "החזקה", וכל פעם שנשכפל את המספר האורדינלי שהגענו אליו אינסוף פעמים נקבל: \({\omega^{\omega+4}}\), ואז: \({\omega^{\omega\cdot2}}\). כל תהליך שכפול אינסופי יעלה את החזקה ב- \({1}\), עד שנקבל: \({\omega^{\omega^2}}\), ואחר כך \({\omega^{\omega^3}}\), עד שלבסוף נגיע ל: \({\omega^{\omega^{\omega}}}\).
כך ניתן להמשיך שוב ושוב עד לקבלת רצף אינסופי של חזקות: \({{{\omega }^{{{{\omega }^{{{{\omega }^{{{{\cdot }^{{{{\cdot }^{\cdot }}}}}}}}}}}}}}}\). אבל ברור כי הספירה אינה נעצרת כאן, שהרי גם את מגדל החזקות האינסופי של \({\omega}\) ניתן להגדיר כמספר אורדינלי חדש, כך:
\(\displaystyle {{\varepsilon }_{0}}={{\omega }^{{{{\omega }^{{{{\omega }^{{{{\cdot }^{{{{\cdot }^{\cdot }}}}}}}}}}}}}}\)
זו הנקודה בה אנו נתקלים במספר אורדינלי מסוג שונה. מתמטיקאים הוכיחו כי מדובר במספר מיוחד עם תכונות חדשות, והוא למעשה חלק ממשפחה גדולה יותר של מספרים אורדינלים הנקראת: מספרי אפסילון, שכולם מקיימים את המשוואה: \({\varepsilon={{\omega }^{\varepsilon}}}\) (בניגוד למשל למשפחת מספרי \({\omega}\) שלא מקיימים זאת, לדוגמה: \({{\omega }^{2}}\ne {{\omega }^{{{{\omega }^{2}}}}}\)). המספר \({\varepsilon}_{0}\) הוא המספר הקטן ביותר במשפחה הזו שמקיים את המשוואה.
בניית המספרים האורדינלים כמובן נמשכת גם ל- \({{\varepsilon}_{0}\cdot2}\) ול- \({{\varepsilon}_{0}\cdot3}\) , כל הדרך עד ל- \({{\varepsilon}_{0}^2}\) , וכן הלאה וכן הלאה עד לאפסילונים הבאים בתור: \({{\varepsilon}_{1}}\) , ואחריו: \({{\varepsilon}_{2}}\) וכן הלאה ולבסוף \({{\varepsilon}_{\omega}}\) .
אין סיבה לסיים, אפשר להמשיך ל- \({{\varepsilon}_{\omega^2}}\) , ול- \({{\varepsilon}_{\omega^\omega}}\) . תמשיכו עוד ונגיע ל- \({{\varepsilon}_{\varepsilon_{0}}}\), ללא סוף וללא גבול … למעשה, ברור כי הסימונים והאותיות שלנו יגמרו בסופו של דבר, אך המספרים האורדינלים ימשיכו עוד ועוד…