חישוב רדיוס כדור הארץ על ידי טריגונומטריה סְפֵרִית

בפוסט כאן למדנו כיצד ניתן להשתמש בטריגונומטריה ספרית כדי לחשב את רדיוס כדור הארץ באמצעות 6 מרחקים בין 4 נקודות על פני השטח של כדור הארץ. כמו כן, ראינו כיצד ניתן להשתמש בשיטה זו כדי לחשב את הרדיוס של הארץ התיכונה מסדרת ספרי שר הטבעות. להלן נפרט את שיטת החישוב שלב אחרי שלב.

משולש כדורי ומשפט לולייר (L'Huilier)

השלב הראשון הוא להבין מבחינה וויזואלית מהו משולש לא-מישורי, או במילים אחרות: משולש כדורי. בתמונה להלן ניתן לראות כדור שנתון כי הרדיוס שלו הוא R. על פני השטח של הכדור נסמן שלוש נקודות b, a ו- c, היוצרות יחד משולש שאורכי צלעותיו הם: B, A ו- C. יש לזכור כי מדובר במשולש כשר למהדרין מבחינה גיאומטרית, אף על פי שלא מדובר במשולש שטוח המונח על גבי מישור, אלא במשולש עקמומי המונח על גבי כדור:

בנוסף, באמצעות אורכי הצלעות B, A ו- C נגדיר פרמטר-עֵזֶר נוסף S באופן הבא:

\(\displaystyle S=\frac{{A+B+C}}{2}\)

כעת נסמן את שטח המשולש באות Q. משפט לולייר (L'Huilier) מאפשר לנו לחשב את שטח המשולש Q באמצעות אורכי הצלעות B, A ו- C רדיוס המעגל R והפרמטר S על פי הנוסחה הבאה:

בנקודה זו יש לשים לב כי בהינתן שאנו יודעים את צלעות המשולש B, A ו- C, אז גם הפרמטר S ידוע, ולכן שטח המשולש Q הוא רק פונקציה של נעלם אחד: רדיוס הכדור R.

בשלב הבא, נבחר ארבע נקודות על פני כדור הארץ (בהמשך יוסבר מדוע דרושות דווקא ארבע נקודות ולא שלוש):

1. בוסטון: נסמן נקודה זו באות B
2. מיאמי: נסמן נקודה זו באות M
3. סיאטל: נסמן נקודה זו באות S
4. לוס אנג'לס: נסמן נקודה זו באות L

בתמונה להלן ניתן לראות תרשים של ארבעת הנקודות שתוארו לעיל, בצירוף המרחק בין כל זוג נקודות (המרחקים נמדדים במיילים, לא בקילומטרים):   

ניתן לראות כי על ידי בחירת 4 נקודות נפרדות, למעשה יצרנו מרובע בעל 4 צלעות היקפיות ו-2 אלכסונים, סך הכל 6 קווים. כמו כן, ניתן לראות כי ארבעת הנקודות יוצרות יחד ארבעה משולשים נפרדים. נוכל להשתמש בסימון המקוצר של כל נקודה כפי שהוגדר למעלה, כדי לסמן את כל ארבעת המשולשים אחד לאחד:

1. את המשולש שנוצר על ידי בוסטון–מיאמי–סיאטל נסמן כך: ΔBMS
2. את המשולש שנוצר על ידי מיאמי–סיאטל–לוס אנג'לס נסמן כך: ΔMSL
3. את המשולש שנוצר על ידי בוסטון–סיאטל–לוס אנג'לס נסמן כך: ΔBSL
4. את המשולש שנוצר על ידי בוסטון–מיאמי–לוס אנג'לס נסמן כך: ΔBML

מהתמונה למעלה, ניתן לראות כי סכום השטחים של שני המשולשים הראשונים (1+2) שווה לסכום השטחים של שני המשולשים האחרונים (3+4), שהרי סכום השטחים של כל זוג משולשים הוא למעשה שטח המרובע כולו. לכן מבחינה מתמטית נוכל להציג את משוואת סכום השטחים כך:

\({{Q}_{{\Delta BMS}}}+{{Q}_{{\Delta MSL}}}={{Q}_{{\Delta BSL}}}+{{Q}_{{\Delta BML}}}\)

כעת הגענו לשלב האחרון: ראינו כי את השטח Q של כל משולש בנפרד ניתן לבטא באמצעות נוסחת לולייר. בנוסף, יש לזכור כי אנו יודעים את אורך הצלעות של כל משולש: אלו המרחקים בין כל זוג נקודות, ולכן השטח Q של כל משולש הוא פונקציה אך ורק של המשתנה R. המסקנה ברורה:

משוואת סכום השטחים גם היא משוואה בנעלם אחד בלבד, שהוא רדיוס כדור הארץ!

בנקודה זו ברור מדוע היינו צריכים לבחור ארבע נקודות על המפה ולא שלוש. אילו היינו בוחרים שלוש נקודות בלבד, היינו מייצרים משולש בודד. במצב זה, גם אם אנו יודעים את המרחקים בין הנקודות (צלעות המשולש B, A ו- C) זה לא היה עוזר לנו הרבה, כי נוסחת לולייר הייתה נשארת משוואה בשני נעלמים: רדיוס הכדור R ושטח המשולש Q. יש לזכור כי את שטח המשולש Q איננו יודעים מראש, וברור כי אי אפשר לחשב את Q באמצעות הנוסחה הפשוטה שלמדנו בתיכון לחישוב שטח משולש, כי הרי זו נוסחה הנכונה רק למשולש מישורי, וכאן מדובר במשולש כדורי. במילים אחרות: אם היה בידינו רק משולש בודד, אז לכל שלושה ערכים המייצגים את צלעות המשולש (B, A ו- C), היינו יכולים להציב בנוסחת לולייר רדיוסים שונים (למשל: R₁, R₂, R₃ …) ולכל רדיוס נקבל בהתאמה שטח שונה (למשל: Q₁, Q₂, Q₃ …), ולכן לא היינו מסוגלים להגיע לפתרון.

פתרון משוואת סכום השטחים

אף על פי שמשוואת השטחים היא משוואה בנעלם אחד, אין לה פתרון אנליטי כי היא משוואה טרנסנדנטית, שהרי היא כוללת בתוכה פונקציה טריגונומטרית מסוג tangent. אמנם, ניתן לפתור אותה באופן נומרי באמצעות תוכנת מחשב כגון: MATLAB או MAPLE. הפתרון מתבצע באופן הבא:

בשלב הראשון נעביר אגפים במשוואת סכום השטחים, כך:

בשלב השני נגדיר פונקציה חדשה F(R) ונבדוק מהו ערך הרדיוס R שעבורו הפונקציה F מתאפסת, כלומר:

בתמונה להלן ניתן לראות גרף של הפונקציה F כתלות בנעלם R, וניתן לראות את הנקודה שבה הפונקציה F מתאפסת. גרף הפונקציה חוצה את הציר האנכי סמוך לנקודה: R=3990.5 מיילים, וזה ערך מאוד קרוב לרדיוס האמיתי של כדור הארץ:

כפי שראינו בפוסט כאן, את השיטה הזו ניתן לשכפל כדי לחשב את הרדיוס של הארץ התיכונה מסדרת ספרי שר הטבעות. ראינו כי כמו במקרה של כדור הארץ, יש לבחור 4 נקודות על מפת הארץ התיכונה, ובאמצעות סקלת המרחקים המצורפת למפה למדוד את המרחקים בין כל זוג נקודות ולמצוא את הפתרון למשוואת סכום השטחים. קיבלנו כי התוצאה היא R=1010 מיילים, וזה ערך קרוב מאוד לרדיוס של הירח שהוא: R=1080 מיילים.

מגבלות הדיוק של החישוב

להלן אדון בשתי מגבלות הקיימות בשיטת החישוב של רדיוס הארץ התיכונה וכיצד מגבלות אלה משפיעות על התוצאה הסופית.

המגבלה הראשונה היא הדיוק במדידת המרחקים על מפת הארץ התיכונה. אמנם, זו אינה מגבלה חמורה משתי סיבות:

1. מידת הדיוק במרחקים כפי שנמדדו על מפת הארץ התיכונה היא כבר גבוהה מספיק, ושגיאת המדידה באורך המרחקים בין שתי נקודות על המפה מסתכמת במיילים בודדים לכאן ולכאן. במסגרת הפתרון הנומרי של משוואת סכום השטחים ניתן להראות כי שגיאה של 1 מייל במדידת האורך של צלע אחת במשולש כלשהוא, גוררת שגיאה של כ-3 מייל ברדיוס המתקבל.
2. אם בכל זאת נרצה לשפר את דיוק מדידת המרחקים עוד יותר, אין בעיה להשיג את מפת הארץ התיכונה ברזולוציה גבוהה, להדפיס אותה על נייר בעל שטח גדול (נייר A0 או B0 למשל), או להציג אותה באופן דיגיטלי על מסך גדול ולמדוד מרחקים בין נקודות על המפה ברמת דיוק גבוהה ככל שתידרש.

המגבלה השנייה היא יותר עקרונית, ונובעת מעצם העובדה שמפת הארץ התיכונה מגיעה עם סקלה אחת של מרחקים. להלן אסביר מדוע זו בעיה:

כידוע, אם נסתכל על מפה מישורית רגילה של העולם שלנו, אנו נגלה כי המפה אינה כוללת סקלת מרחק יחידה, אלא סקלת מרחקים משתנה, בהתאם לקו הרוחב שבו אנו נמצאים. על פי רוב, מפות העולם מיוצגות באמצעות היטל מרקטור (Mercator), ובהיטל מסוג זה נגלה כי סקלת המרחק בציר האופקי נמתחת ככל שמתרחקים מקו המשווה; כלומר: כל סנטימטר על המפה בציר מזרח-מערב מייצג במציאות מרחק קצר יותר ככל שמתרחקים מקו המשווה צפונה או דרומה.

בתמונה להלן ניתן לראות סקלת מרחקים משתנה של היטל מרקטור, כתלות בקו הרוחב שבו אנו נמצאים על גבי כדור הארץ. אפשר לראות בבירור כי מרחק של 600 מייל במציאות בציר מזרח-מערב (הציר האופקי), מיוצג במפה באמצעות סקלות משתנות: על קו-המשווה נקבל סקלה קצרה, ובקו רוחב 80 מעלות נקבל סקלה ארוכה הרבה יותר:

יתירה מזו, בהיטל מרקטור – כפי שניתן לראות בתמונה – סקלת המרחקים משתנה גם בציר צפון-דרום (הציר האנכי), כי המרחק במפה בין כל זוג קווי רוחב סמוכים הולך וגדל ככל שעולים צפונה. זו כמובן תוצאה ישירה של מתיחת פני השטח של כדור הארץ ע"י היטל מרקטור, שהרי ברור כי על גבי פני השטח של כדור הארץ, המרחק האמיתי במציאות נשאר קבוע בין כל זוג קווי רוחב סמוכים.

מכאן נובע כי המרחק במציאות שמייצג כל סנטימטר על גבי מפה מישורית משתנה כתלות במיקום על פני כדור הארץ. כל עוד נמצאים על קו רוחב נתון, סקלת המרחק נשארת קבועה. אם זזים צפונה\דרומה לקו רוחב אחר, אז סקלת המרחק משתנה, כך שלכל קו רוחב יש סקלת מרחקים שונה, אך הסקלה נשארת קבועה כל עוד נמצאים על קו רוחב בודד ולא זזים ממנו צפונה\דרומה. במילים אחרות: כל סנטימטר על קו הרוחב מייצג מרחק קבוע במציאות ולא משנה איפה אנו נמצאים על קו הרוחב. לכן מדידת מרחקים במציאות על מפה מישורית היא משימה קלה בכיוון מזרח\מערב, כי כל מה שצריך לעשות זה להשתמש בסקלת המרחק המתאימה לאותו קו רוחב שבו נמצאים.

לעומת זאת, על גבי קו אורך סקלת המרחק משתנה באופן רציף כתלות במיקום שלנו על אותו קו אורך. כלומר: כל סנטימטר על קו האורך מייצג מרחק שונה במציאות גם אם נשאר רק על קו אורך אחד בלבד ולא נזוז ממנו לכיוון מזרח\מערב. אמנם, סקלת המרחק המשתנה משותפת לכל קווי האורך, כלומר: לכל קווי האורך יש את אותה סקלת מרחק המשתנה באותו האופן. לכן מדידת מרחקים במציאות על מפה מישורית היא משימה קשה יותר בכיוון צפון\דרום, כי סקלת המרחק משתנה באופן רציף בכיוון זה.

בהיטל מרקטור, כל עוד אנו נמצאים בסביבה קרובה של קו רוחב נתון, אז ניתן להשתמש בסקלת המרחק של אותו קו רוחב גם בכיוון צפון\דרום. שיטה זו מאפשרת לנו להשתמש בסקלת המרחק של קו הרוחב שבו אנו נמצאים ולמדוד מרחקים לא רק בכיוון מזרח\מערב אלא גם בכיוון צפון\דרום, אך בתנאי שלא נתרחק יותר מדי בכיוון צפון\דרום מקו הרוחב שבו אנו נמצאים. מה זה אומר "להתרחק יותר מדי" כמובן תלוי באיזה קו רוחב אנו נמצאים, כלומר: הרגישות תגדל ככל שנהיה בקו רוחב המרוחק יותר מקו המשווה, כי ככל שמתרחקים מקו המשווה בכיוון צפון\דרום, כך סקלת המרחק בכיוון צפון\דרום משתנה "מהר" יותר.

בתמונה להלן ניתן לראות המחשה טובה של העקרונות הנ"ל בהיטל מרקטור. ניתן לראות כיצד בכל קו רוחב נתון, סקלת המרחק נשארת קבועה בכיוון מזרח\מערב (קוטר העיגול נשאר קבוע) אך הסקלה משתנה ככל שעולים צפונה\דרומה (קוטר העיגול גדל). כמו כן, סקלת המרחק משתנה באופן רציף על קו אורך נתון בכיוון צפון\דרום (קוטר העיגול הולך וגדל) אך סקלת המרחק משתנה באותו אופן לכל קו אורך שנבחר. בנוסף, מדובר בעיגולים ולא באליפסות, לכן בכל קו רוחב שנבחר, ניתן להשתמש בסקלת המרחק בכיוון מזרח\מערב גם כדי למדוד מרחקים בכיוון צפון\דרום, כל עוד נשארים קרוב יחסית לקו הרוחב בו נמצאים.

אלו הסיבות מדוע כל מפה מישורית שמייצגת עולם כדורי, דורשת סקלת מרחקים משתנה כפונקציה של המיקום בו אנו נמצאים על המפה בהתאם לסוג ההיטל שבאמצעותו המפה המישורית צוירה. כל זאת כדי שנוכל לייצג את המרחק האמתי בין שתי נקודות על גבי כדור הארץ דווקא באמצעות קווים ישרים על גבי מפה מישורית, שהרי ברור כי על גבי עולם כדורי המרחק האמתי בין שתי נקודות מיוצג לא על ידי קו ישר אלא על ידי קשת המונחת על מעטפת הכדור.

לכן חשוב להדגיש כי כל המרחקים שנמדדו למעלה בין הערים בוסטון \ מיאמי \ סיאטל \ לוס אנג'לס אלו מרחקים המייצגים: Air Mileage, כלומר: מרחק קשתי על גבי השטח של כדור הארץ, שהוא למעשה המרחק שיעבור מטוס שינוע בגובה נמוך מעיר אחת לעיר אחרת. דרך אחרת לחשוב על Air Mileage היא שזה המרחק שתעבור מכונית אם היה כביש המחבר בין שתי הערים והכביש היה ישר (ללא פניות ימינה ושמאלה) וגם ללא עליות או ירידות, כלומר כביש שצמוד לפני השטח של כדור הארץ. מרחק Air Mileage בין שתי ערים ניתן בקלות למצוא באינטרנט, למשל בקישור כאן. כאמור לעיל, אפשר כמובן למדוד Air Mileage באמצעות סרגל על גבי מפה מישורית עם סקלת מרחקים משתנה, אך המשימה תהיה יותר קשה.

זו הסיבה מדוע חישוב רדיוס הארץ התיכונה כולל בתוכו שגיאה מובנית שהרי מפת הארץ התיכונה לא מגיעה עם סקלת מרחקים משתנה אלא עם סקלת מרחקים אחת בלבד… במילים אחרות: לא ברור מהו סוג ההיטל של מפת הארץ התיכונה והיכן עובר בדיוק קו המשווה. כל המרחקים שנמדדו במפת הארץ התיכונה נעשו באמצעות סרגל על פי סקלת מרחקים יחידה, ולכן הם אינם מייצגים את המרחק הקשתי המדויק בין שתי נקודות על פלנטת הארץ התיכונה.

למיטב ידיעתי, לא ברור מהו סוג ההיטל שבו מוצגת מפת הארץ התיכונה, איך משתנה סקלת המרחקים במפה ואיפה בדיוק במפה עובר קו-המשווה של הארץ התיכונה, ואין במכלול יצירתו של טולקין רמז לנתונים אלה. מכל מקום, שיטת החישוב עדיין מדויקת: משוואת סכום השטחים מוצאת את רדיוס הכדור שמקיים את המרחקים שהכנסנו למשוואה, כל השאלה היא עד כמה המרחקים האלה מדויקים. במקרה של הארץ התיכונה, אלה המרחקים שיש לנו ורק עם המרחקים האלה אפשר לעבוד. במידה ונצליח מתוך יצירתו של טולקין לדייק יותר בערכי המרחקים אז גם הרדיוס הסופי יהיה יותר מדויק בהתאם.