איך לחשב את רדיוס הארץ התיכונה בעזרת טריגונומטריה סְפֵרִית

אז לפני כשבועיים השתתפתי בחגיגה השנתית של יום ההוֹבִּיט (Hobbit Day), חגיגה שבה מעריצי שר הטבעות מציינים את היום שבו נולדו שני ההוביטים החביבים בִּילְבּוֹ ופְרוֹדוֹ בַּגִינְס, גיבורי העלילה של שר הטבעות, סדרת הספרים המפורסמת מאת הסופר האנגלי ג'ון רונלד טולקין.

גם בארצנו הקטנטונת שמחתי לדעת שיש גרעין קשה של מעריצי טולקין שרופים שהרימו את הכפפה וארגנו ערב מהסרטים, עם בירה מהחבית, הרצאות ואפילו הקלטה חיה של פרק בפודקאסט: "מסע לא צפוי".

זכיתי להיות חלק מהתוכנית האומנותית של הערב, ולתת הרצאה בנושא קצת ביזארי; בהרצאה הראיתי כיצד ניתן להשתמש בשיטה מתמטית די מתוחכמת כדי לחשב מה צריך להיות הרדיוס של הארץ התיכונה (Middle earth), שזו למעשה הפלנטה הדמיונית שעליה מתרחשת עלילת שר הטבעות.¹

לא אופתע אם אתם שואלים את עצמכם איך לעזאזל הצלחתי להגיע לנושא כל כל הזוי, אז התשובה לכך פשוטה: זוכרים את סדרת המאמרים שכתבתי על השטוחיסטים? אלה שמאמינים כי העולם שלנו שטוח? אם לא, אז אתם מוזמנים לקרוא את סדרת המאמרים בקישור כאן, הנאה מובטחת. מכל מקום, כשכתבתי את סדרת המאמרים על השטוחיסטים אז מן הסתם למדתי בדרך גם על מגוון שיטות שבעזרתן ניתן למדוד ולחשב את רדיוס כדור הארץ.³ שיטה מתוחכמת במיוחד שבה נתקלתי כדי לחשב את רדיוס כדור הארץ מתבססת על: טריגונומטריה סְפֵרִית, תחום במתמטיקה שפותח לראשונה ביוון העתיקה, אך הלך והשתכלל עם השנים עד שבמאה ה-18 הגיע לכדי הגשמה מספקת, בזכות עבודתם של מתמטיקאים כגון: סִימוֹן אַנְטוּאָן לוּלִיֵיר (1750-1840), זָ'אן-בַּפְּטִיסְט דְלַאמְבֵּר (1749-1822) ואחרים.

בראש ובראשונה, המטרה של המאמר הנוכחי היא להציג בפניכם את השיטה המתמטית הנ"ל, שהיא מגניבה ברמות. אבל אני אומר מראש שזה יהיה רק תירוץ… בפועל, אני רוצה להשתמש בשיטה הזו כדי לחשב את רדיוס הארץ התיכונה!

המוטיבציה לכך ברורה לכל חובבי שר הטבעות באשר הם: אע"פ שאנו יודעים בוודאות כי הארץ התיכונה היא פלנטה כדורית (טולקין בעצמו מתייחס לכך בספריו באופן מפורש),⁴ מכל מקום אין במכלול יצירותיו של טולקין התייחסות מפורשת לגודל של הארץ התיכונה, כלומר: הרדיוס המדויק של הפלנטה אינו ידוע.⁵

וזה בדיוק מה שאני הולך לחשב במאמר הנוכחי:

מהו רדיוס הפלנטה שעליה נמצאת הארץ התיכונה; הארץ שעליה מתרוצצים גַּנְדַּלְף, אַרַגּוֹרְן ושאר ההוביטים החביבים, בדרכם להשמיד את הטבעת של סָאוּרוֹן המרושע.

אוקיי, אז בואו ונראה איך הטריק המתמטי הזה עובד.

כמה משולשים אתם רואים בתמונה?

ראשית יש לזכור כי מפות מודפסות תמיד מוצגות באופן דו-ממדי מישורי. אמנם, כאשר אנו מתבוננים במפה מהעולם שלנו, כגון: מפת ארץ ישראל או מפת ארצות הברית, אז ברור לנו כי אף על פי שהמפה מישורית, מכל מקום השטח שהיא מייצגת אינו מישורי "באמת", כי הרי העולם שלנו אינו שטוח אלא כדורי. מכאן נובע כי בעולם שלנו, כל מפה דו-ממדית מישורית – כזו שניתן לפרוס על שולחן – אינה מייצגת משטח מישורי "מושלם" אלא דווקא משטח עקמומי שנמצא על גבי המעטפת של כדור הארץ, ודיברתי על כך בהרחבה באחד מהפוסטים הקודמים שכתבתי.

כל האמור לעיל נכון כמובן גם לגבי מפת הארץ התיכונה. אמנם בספרי שר הטבעות המפה מוצגת באופן מישורי, אך עובדה זו אינה מפתיעה כלל וכלל; כאמור לעיל, מפות מודפסות תמיד מיוצגות באופן מישורי אף על פי שאנו יודעים כי הארץ התיכונה נמצאת על פלנטה כדורית. אלא שכעת אנו מגיעים אל שאלת מיליון הדולר:

האם קיימת דרך שבה נוכל לחשב מהו רדיוס הכדור שאותו מייצגת מפה מישורית, וזאת רק באמצעות מדידת מרחקים על גבי המפה המישורית עצמה?

התשובה היא: מסתבר שכן; קיימת שיטה מתמטית מתוחכמת שמאפשרת לנו למדוד מרחקים על גבי המפה המישורית עצמה, ומתוכם לחשב את רדיוס הכדור שהמפה מייצגת, ולהלן אסביר לכם איך עושים את זה.

בשלב הראשון, נסתכל כיצד השיטה הזו מיושמת לחישוב הרדיוס של כדור הארץ:

1. בחרו 4 נקודות על פני השטח של כדור הארץ.⁶
2. כעת תמדדו את המרחק בין כל זוג נקודות באמצעות סקלת המרחקים המצורפת למפה, כך שסך הכל תקבלו 6 מרחקים שונים.⁷

הנה דוגמה של מפת ארצות הברית, עליה בחרתי 4 נקודות המייצגות את הערים: 1. בוסטון, 2. סיאטל, 3. מיאמי, 4. לוס אנג'לס. המספרים בתמונה מייצגים את המרחק בין כל זוג ערים (המרחקים לא בקילומטרים, אלא במיילים):

שימו לב כי באמצעות 4 קודקודים (אלה הערים שבחרתי) קיבלנו תרשים גיאומטרי שכולל 4 משולשים שונים עם 6 צלעות סך הכל:

1. משולש ראשון: בוסטון–מיאמי–סיאטל.
2. משולש שני: מיאמי–סיאטל–לוס אנג'לס
3. משולש שלישי: בוסטון–סיאטל–לוס אנג'לס
4. משולש רביעי: בוסטון–מיאמי–לוס אנג'לס

בקיצור, הערים הם קודקודי המשולשים, והמרחקים בין הערים אלה צלעות המשולשים. בשלב זה בדיוק נכנסת לפעולה הטריגונומטריה הסְפֵרִית:

כל המתמטיקאים התותחים האלה מהמאה ה-18 פיתחו שיטה מתוחכמת במיוחד שבאמצעותה ניתן להכניס את כל המרחקים האלה בתור קֶלֶט לתוך משוואה מתמטית, שהפתרון שלה נותן לנו את רדיוס הכדור שעליו ניתן "להלביש" את כל ארבעת המשולשים הנ"ל כך שאורכי צלעות המשולשים יהיו שווים בדיוק למרחקים שמדדנו במפה. במילים פשוטות: המשוואה למעשה שואלת מה צריך להיות רדיוס כדור הארץ שעליו המרחק בין בוסטון לסיאטל יהיה 2493 מייל, וגם המרחק בין בוסטון ללוס אנג'לס יהיה 2596 מייל, וגם המרחק בין מיאמי לסיאטל יהיה 2734 מייל, וכן הלאה לגבי כל המרחקים בתרשים. לסיכום:

1. כל 6 המרחקים הם ה- Input שאנו מכניסים אל המשוואה.
2. המשוואה מחפשת מהו רדיוס הכדור הנדרש שעליו נוכל לסמן 4 נקודות כך שהמרחקים בין כל זוג נקודות שווים בדיוק למרחקים המדודים.
3. רדיוס הכדור הוא ה- Output של המשוואה, כלומר: רדיוס כדור הארץ.

אני לא רוצה להעמיס על המאמר יותר מדי פרטים טכניים, לכן לא אציג להלן את הטכניקה המתמטית במלואה. כל מי שרוצה להתעמק במתמטיקה לפרטי פרטים מוזמן להיכנס לקישור כאן, שם אסביר איך בדיוק פותרים את המשוואה ומה מגבלות החישוב, וגם למה צריך דווקא 4 נקודות ולא 3 כדי למצוא את רדיוס הכדור. מכל מקום, אני כן רוצה להציג לכם את המשוואה שאותה אנחנו מנסים לפתור, רק כדי שיהיה לכם מושג ויזואלי איך נראה התחום המתמטי הזה שנקרא טריגונומטריה סְפֵרִית:

כאמור, לא אכנס כאן למלוא הפרטים אך בשורה התחתונה, הפרמטר \(R\) במשוואה הוא רדיוס הכדור שאותו אנו מנסים לחשב.

אתם כבר בטח סקרנים לגבי התוצאה הסופית, אז הנה:

רדיוס כדור הארץ \(R\) שפותר את המשוואה הוא 3990.5 מייל, ואם נשווה זאת לערך המדויק שהוא: 3959 מייל, נקבל שגיאה של פחות מ- 1%. לא רע…

הוֹבִּיטִים על הירח

אוקיי, כל מה שנשאר זה לשכפל את השיטה על המפה משר הטבעות. אז לקחתי את מפת הארץ התיכונה שמוצגת למעלה, ובחרתי 4 נקודות מפורסמות:

1. הוביטון: הכפר שבו מתגוררים ההוביטים החביבים, גיבורי העלילה.
2. ההר הבודד: ממלכת הגמדים הצפונית העתיקה, עליה השתלט בעבר הדרקון סְמַאוּג, עד שלבסוף הובס ומת.
3. השער השחור: נקודת הכניסה למורדור, ארצו של סאורון הרשע.
4. עיר שודדי הים: עירם של הפיראטים האכזריים שבאו לעזרתו של סאורון במלחמתו מול בני האדם.

כפי שהסברתי לעיל, השלב הבא הוא למדוד את המרחקים (במיילים) בין כל זוג נקודות. כך נראה תרשים סכמטי של כל המרחקים:

כל מה שנשאר לעשות זה להכניס את כל המרחקים הנ"ל למשוואה ולפתור אותה, בדיוק כמו שעשינו על כדור הארץ. הרדיוס \(R\) המתקבל הוא:

\({R=1010 \text{ miles}}\)

וזה הוא הרדיוס של הארץ התיכונה!

אז מה זה אומר? כמה גדולה היא הארץ התיכונה אם הרדיוס שלה הוא 1010 מייל? ובכן, לשם השוואה הרדיוס של הירח הוא R=1080 מייל, די דומה… יוצא מכאן כי הארץ התיכונה נמצאת על פלנטה כדורית שגודלה דומה מאוד לגודל הירח!

עכשיו רק נשאר לחשב מה צריכה להיות צפיפות החומר של פלנטת הארץ התיכונה כדי שהגרביטציה על הפלנטה תהיה "נורמלית". אחרת, גנדלף וחבריו יצטרכו לקפץ בדילוגים כמו ניל ארמסטרונג ובאז אולדרין על הירח…

1. אם אתם מעריצים שרופים של כתבי טולקין, אז אתם בטח יודעים כי הפלנטה נקראת: אַרְדָה (Arda), והארץ התיכונה זו רק היבשת שבה מתרחשת עלילת הספרים, אך אין צורך להיכנס לדקויות הללו במסגרת הפוסט. [↩]
2. בהקשר זה יש לציין כי הסקלה במפה אכן מתאימה למרחקי הארץ התיכונה כפי שטולקין עצמו תיאר אותם: "הארץ השתרעה לאורך ארבעים פרסה מהשפלות הרחוקות עד גשר הברנדיוין" (מתוך הפתיחה לספר "אחוות הטבעת" בפרק: "על טיבם של ההוביטים"). ניתן לראות במפה כי אכן המרחק בין השפלות הרחוקות (Far Downs) ועד גשר הברנדיוין על הדרך המזרחית (East road) הוא כ-130 מיילים, כלומר: ארבעים פרסה. [↩]
3. לדוגמה: האסטרונום היווני אֵרָטוֹסְתֵנֶס מאלכסנדריה הצליח לחשב לפני כ-2300 שנים את רדיוס כדור הארץ, על ידי מדידה פשוטה של אורך הצל שמטיל מקל הנעוץ בקרקע. שיטה נוספת שבאמצעותה ניתן לחשב את רדיוס כדור הארץ היא על ידי מדידת הפרש הזמנים בין שקיעת השמש הנראית לעין משני גבהים שונים (לתיאור מפורט יותר על שתי השיטות הנ"ל ראו בקישור כאן). [↩]
4. על פי הקוסמולוגיה של היקום הטולקיני כפי שמתואר בספר: הסילמריליון, הארץ התיכונה אמנם נוצרה שטוחה מלכתחילה אך הפכה לאחר מכן לכדורית. את התהליך כולו ניתן לסכם בקצרה באופן הבא: בראשית, הבורא אילובטר (Iluvatar) יצר את אאה (Ea), היקום שבתוכו נמצאת ארדה (Arda), שהיא למעשה הפלנטה שבתוכה נמצאת יבשת הארץ התיכונה. מלכתחילה, ארדה נוצרה שטוחה, ובמרכזה של ארדה שכנו הולאר (Valar), אך לאחר בגידתו של מלקור (Melkor), היבשות בארדה עוצבו מחדש. כך נוצרה יבשת אמאן (Aman) בה שכנו הולאר בנפרד מיבשת הארץ התיכונה, בה מתרחשת עלילת ספרי ההוביט ושר הטבעות ובה חיו ההוביטים, הגמדים, האורקים, בני האדם, האלפים ושאר יצורים. בנוסף, האי נומנור (Numenor) שכן באמצע הים המפריד בין יבשת הארץ התיכונה לבין יבשת אמאן. בשלב זה ארדה עדיין שטוחה, אך לקראת סוף העידן השני, כאשר בני האדם בנומנור חצו את הים – בעצתו של סאורון (Sauron) – אל יבשת אמאן בציפייה לזכות בחיי אלמוות בארצות הולאר, רק אז בורא היקום אילובטר שבר את העולם ולמעשה קרע את יבשת אמאן מתוך ארדה והפריד אותה לחלוטין. בנוסף להיפרדות של יבשת אמאן מארדה, התוצאות של אירוע השבירה באו לידי ביטוי גם בטביעת האי נומנור והפיכתה של ארדה עצמה לכדור. אירוע השבירה התרחש לפני הברית האחרונה בין האלפים לבני האדם, בה הובס סאורון והטבעת האחת נלקחה ממנו על ידי איסילדור (Isildur) שהצליח לברוח מנומנור לפני טביעתה. [↩]
5. בנקודה זו יש לציין כי קיימת טעות נפוצה בה מניחים כי הרדיוס של הארץ התיכונה דומה לרדיוס של כדור הארץ. הנחה זו אינה מופרכת מעיקרה, ונובעת משתי סיבות: האחת, ידוע ומפורסם שטולקין יצר את הפלך (The Shire) – ארצם של ההוביטים – בהשראת אזורי הכפר של אנגליה, ובנושא זה נכתבו ופורסמו מחקרים רבים, כולם מצביעים על הקשר העמוק בין אזורי הכפר של אנגליה לבין נופי הפלך, השמות המיוחדים של מקומות בפלך, ואף מזגם ותרבותם של ההוביטים עצמם. הסיבה השנייה היא כי טולקין אף ראה את הארץ התיכונה כמייצגת את כדור הארץ שלנו אך בעבר הרחוק: "ימים אלה, ימי העידן השלישי בארץ התיכונה, חלפו עברו זה כבר… אך ודאי הוא שאזורי מגוריהם של ההוביטים היו דומים בתכלית למקומות שבהם הם מצויים עדיין: צפון-מערב העולם הישן, ממזרח לים" (מתוך הפתיחה לספר: "אחוות הטבעת", בפרק: "על טיבם של ההוביטים"). בדבריו של טולקין, העולם הישן הוא למעשה כינוי ליבשת אירופה, כאשר אנגליה נמצאת בצפון-מערב אירופה, ממזרח לאוקיינוס האטלנטי. יתירה מזו, במכתב שכתב טולקין בשנת 1958 לד"ר רונה ביר (Rhona Beare), טולקין אף מציין במפורש כי הוא מדמיין את כדור הארץ שלנו בתור העידן השביעי של הארץ התיכונה, כ-6000 שנים לאחר מלחמת הטבעת וסוף העידן השלישי (The Letters of J.R.R. Tolkien, Humphrey Carpenter and Christopher Tolkien, Letter #211, 1981). מכל מקום, אף על פי שטולקין דמיין את הארץ התיכונה בתור העבר הרחוק של כדור הארץ, עובדה זו אין בה כדי לקבוע מהו הרדיוס של הארץ התיכונה, שהרי מפת הארץ התיכונה צוירה בפועל, ולכן היא כעת אוגרת בתוכה מידע מתמטי שניתן "לסחוט", ולראות האם הוא מתאים להנחה המוקדמת או לא. במילים פשוטות: את הרדיוס של הארץ התיכונה יש לקבוע אך ורק באופן מתמטי-גאומטרי מתוך נתוני המרחקים במפת עצמה. [↩]
6. עדיף שהנקודות יהיו רחוקות זו מזו. אם הנקודות יהיו קרובות מדי, עקמומיות פני השטח של כדור הארץ לא תבוא לידי ביטוי באופן מובהק מספיק. [↩]
7. בנקודה זו חשוב לציין כי המפה המישורית של העולם שלנו מוצגת באמצעות היטל מרקטור, ולכן סקלת המרחקים המצורפת למפה משתנה כתלות בקו האורך וקו הרוחב בו אנו נמצאים על המפה. הסקלה המשתנה היא זו שמאפשרת לנו להמיר את המרחק (בסנטימטרים) שאנו מודדים על המפה המישורית באמצעות סרגל למרחק האמיתי (בקילומטרים) על פני השטח של כדור הארץ. בדרך זו אנו יכולים להמיר אורך של קו ישר על מפה מישורית לאורך של קשת על פני שטח של כדור. אמנם, ההמרה הנ"ל אינה משימה פשוטה, ולכן את המרחק הקשתי בין שתי נקודות על גבי כדור הארץ ניתן למצוא ישירות באינטרנט, באתרים שבהם ניתן לקבל את המרחק (Air mileage) בקו אווירי בין שתי נקודות. [↩]
8. שטח הירח הוא 14.6 מיליון מייל מרובע, לכן חצי משטח הירח הוא 7.3 מיליון מייל מרובע. שטח הארץ התיכונה שווה בערך ל- 3 מיליון מייל מרובע, לכן הארץ תיכונה תופסת כ-40% בערך מפני הירח. [↩]