לפרוש את העולם על השולחן: על סוגים שונים של היטלי מפות

ללא ספק, כולנו השתמשנו בשלב כזה או אחר בשירות של גוגל מפות (Google maps). בין אם מדובר בתכנון מסלול, חיפוש בתי עסק, או אפילו שיטוט סתמי מתוך סקרנות או שעמום, ברור כי מדובר בפלטפורמה מדהימה. לא לחינם כמיליארד בני אדם משתמשים בה מידי חודש.

אמנם, האם תהיתם אי פעם מהי תמונת העולם שגוגל מפות מציגה לכם? במילים אחרות: האם אי-פעם שאלתם את עצמכם איך גוגל בוחרת להציג לכם את העולם?

במבט ראשון, השאלה נראית קצת מוזרה. מז'תומרת איך היא בוחרת? עולם זה עולם, יש רק אחד כזה, מה יש לבחור בכלל? ובכן, כפי שתראו להלן, המצב לא כל כך פשוט.

העולם על פי גוגל

את התמונה הבאה כולכם מכירים. זו מפת העולם כפי שהיא מופיעה באתר האינטרנט של הפלטפורמה. אתם כמובן מוזמנים לבדוק זאת בעצמכם: כנסו לגוגל מפות באינטרנט – אפשר גם בסלולרי – תעשו זום-אאוט עד הסוף, וזו התמונה שתראו:

יש דבר אחד שקופץ מיד לעין – שלי לפחות, ובטח גם אתם שמתם לב לכך כשביקרתם בגוגל מפות בעבר – זה הגודל של רוסיה! אי אפשר להתעלם מהגודל שלה, היא תופסת כמעט את כל הרבע הימני-עליון של התמונה. היא מפלצתית! רוסיה נראית כאילו היא יכולה לבלוע את כל דרום אמריקה לארוחת בוקר בלי למצמץ. נראה שרוסיה יכולה לבלוע אפילו את כל אפריקה, ועוד יישאר לה קצת מקום לקינוח. גם גרינלנד בצפון האוקיינוס האטלנטי נראית בגודל דומה לדרום אמריקה. 

אבל רגע אחד ... משהו לא מסתדר.

מה בדיוק הבעיה? ובכן, חיפוש קצר בגוגל מגלה כי השטח של רוסיה זהה לשטח של דרום אמריקה, כ-17.5 מיליון קמ"ר. אבל לפי המפה של גוגל, רוסיה הרבה יותר גדולה! יתירה מזו, השטח של אפריקה גדול יותר משל רוסיה: כ-30 מיליון קמ"ר, מה שאומר שאפריקה צריכה לבלוע את רוסיה, ולא להיפך! על גרינלנד בכלל אין מה לדבר, השטח שלה זהה לשטח של ערב הסעודית, כ-2.1 מיליון קמ"ר.

המסקנה ברורה: גוגל מפות משקרת לכם, ממש כך. תמונת העולם שהיא מציגה פשוט שגויה לחלוטין, מעוותת לגמרי. אל יהא דבר זה קל בעיניכם! זכרו כי תמונת העולם של גוגל מפות – על פי רוב – זו התמונה שמצטיירת בעיני מיליארדים של בני אדם.

מכל מקום, אין טעם לפתוח קריאה למפתחים של גוגל ולהגיד להם שהמפה שלהם מעוותת. מסיבה פשוטה: זו לא אשמתם, זו אשמת המתמטיקה. לגוגל פשוט אין ברירה.

פרוס לי את העולם על השולחן, בבקשה…

אז איפה בדיוק הבעיה? מדוע לגוגל מפות אין ברירה אלא לעוות את העולם?

מאז ומתמיד, בני אדם ניסו לייצג את העולם על גבי מפה שטוחה, אף על פי שהעולם אינו שטוח אלא כדורי. הדבר היה הכרחי בעיקר בכל מה שקשור לניווט, בין בים ובין ביבשה: מפות מישוריות אפשר לקפל או לגלגל וכך להתנייד איתן בקלות, אבל ברור מאליו כי לסחוב לכל מקום דגם כדורי של הגלובוס זה כאב ראש לא קטן, ובהרבה מקרים לא מעשי בכלל. 

אלא שבתחילת המאה ה-19, המתמטיקאי הגרמני יוֹהָאן קַרְל פְרִידְרִיךְ גָּאוּס (1777-1855) הוכיח מתמטית את הטענה הבאה:

בלתי אפשרי לייצג בצורה מישורית את פני השטח של כדור, מבלי לעוות או למתוח את פני השטח שאותו אנו מנסים "לפרוש".

לתגלית זו יש השלכות ברורות על תחום הקַרְטוֹגְרַפְיָה (או בעברית תקנית: מַפָּאוּת). הרי ביצירת מפה מישורית של העולם, מה בעצם אנו מנסים לעשות? אנו מנסים "לקלף" את פני השטח של העולם מעל הצורה הכדורית שלו, ולפרוש את פני השטח האלה "על השולחן", או על גבי משטח מישורי אחר, וכך לייצר בעצם מפה שטוחה. אנו כמובן מניחים מראש, כי תמונת העולם שתתקבל בסוף התהליך תייצג את העולם כפי שהוא באמת.

אלא שגאוס תקע אותנו: אי אפשר לעשות את זה. לא משנה באיזה צורה ננסה לפרוש את מפת העולם הכדורית, תמיד נקבל תמונה מעוותת, תמיד. אם נתעקש לא לעוות את התמונה, נאלץ לקרוע את המפה ולהשאיר בה חללים ריקים.

כידוע, אנימציה אחת טובה שווה אלף מילים, אז הנה אנימציה מעולה שבה ניתן לראות מספר דרכים שונות שבהם אנו יכולים לנסות "לפרוש" את מפת העולם הכדורית, אך בכל פעם אנו נאלצים לקרוע את פני השטח – או לגזור אותם – כך שלבסוף נקבל חללים ריקים, והדרך היחידה למלא את החללים האלה היא לעוות את פני השטח. אם ננסה "לתפור" בכוח את הקרעים זה לזה, נקבל מפה מקומטת במקום מפה מישורית חלקה:

כל דרך שבה ננסה לפרוש את מפת העולם הכדורי על גבי משטח מישורי נקראת: היטֵּל. כפי שהוכיח גאוס, לא קיים היטל שבאמצעותו נוכל לקבל תמונה מדויקת של העולם; לכל היטל יש יתרון וחיסרון. לכל היותר נוכל לבחור היטל שמשרת מטרה מאוד ספציפית עבורנו.

באיזה היטל גוגל מפות משתמשת?

אז מה לגבי גוגל מפות? באיזו דרך גוגל מציגה את מפת העולם?

מסתבר כי גוגל משתמשת בהיטל מפורסם שנקרא: Mercator, היטל שהוצג לראשונה במאה ה-16 על ידי הקרטוגרף גֵ'רַרְדּוּס מֵרְקַטוֹר (1512-1594). היתרון של ההיטל הזה הוא בכך שהוא משמר את הצורה של איזורים שונים על פני המפה, ובמקרה שלנו: את צורתן של המדינות או היבשות. בתמונה להלן ניתן לראות את היטל Mercator המלא של מפת העולם כולו, כולל יבשת אנטארקטיקה:

שימו לב: היטל מרקטור משמר צורה, אך לא משמר גודל! למה אני מתכוון? לשם המחשה, חישבו על ההבדל בין מגדל אייפל במציאות לבין דגם מוקטן של המגדל, כזה שאפשר לקנות בחנות מזכרות ולתלות על מחזיק מפתחות. ברור כי ההבדל בין המגדלים הוא בגודל, אך לא בצורה. במקרה שלנו, היטל מרקטור משמר את הגודל אך ורק לאורך קו המשווה בלבד. ככל שמתרחקים מקו המשווה צפונה או דרומה, כך הגודל של מדינות\יבשות הולך ומתנפח יותר ויותר. זו הסיבה מדוע רוסיה כל כך גדולה.

גם גרינלנד בצפון האוקיינוס האטלנטי, התנפחה מעבר לכל פרופורציה, דווקא מפני שהיא כל כך קרובה לקוטב הצפוני. כאמור לעיל, אף על פי שגרינלנד מנופחת מבחינת הגודל, הצורה שלה נשמרת.¹ המצב באנטארקטיקה חמור יותר: בגלל שהיבשת נמצאת ממש על הקוטב הדרומי, ההיטל פורס אותה לאורך כל הקו התחתון של המפה.²

באנימציה להלן ניתן לראות את הגודל של המדינות במציאות בהשוואה לגודל המנופח שלהן על גבי ההיטל; שימו לב כיצד היטל מרקטור מנפח את גודלן של מדינות, אך משמר את צורתן.³ גם כאן ניתן לראות שוב כי אם נתעקש לשמר גם את הגודל בנוסף לצורה, נקבל מפה עם חללים ריקים:

היטלים חלופיים

כאמור לעיל, אין היטל מושלם. כל היטל נבחר בהתאם לתכונה ספציפית שאנו מעוניינים בה. נוכל למשל לבחור היטל שעושה פעולה הפוכה מהיטל מרקטור, כלומר: נוכל לבחור היטל שמשמר דווקא את הגודל על חשבון הצורה. יש מספר היטלים שכאלה עם הבדלים משניים ביניהם, ואחד מהמפורסמים ביניהם נקרא: היטל גל-פיטרס (Gall–Peters), על שם ג'יימס גל וארנו פיטרס. בתמונה להלן, שימו לב כיצד גרינלנד חזרה לגודל "נורמלי" אבל עכשיו היא נראית מעוכה לגמרי. זה נכון באופן גורף לכל המפה; הגודל היחסי בין שטחן של היבשות אכן מייצג את היחס במציאות, אך הצורה שלהן אינה נשמרת:

סיכום

זה לא סוף הסיפור. יש היטלים – כגון היטל Robinson – שעושים מעין פשרה בין גודל וצורה, כלומר: מעוותים את שניהם, אך במידה שווה פחות או יותר. מכל מקום, במהלך ההיסטוריה פותחו היטלים שונים ומשונים, כל אחד עם השטיקים והטריקים שלו, והעסק מאוד מעניין. אך יש היטל אחד שאני אוהב במיוחד, ולסיום ארצה להציג אותו כאן.

ההיטל נקרא: היטל פירס (Peirce) על שם המתמטיקאי צ'ארלס פירס (1839-1914).⁴ מעבר לכך שהוא סתם יפה, יש בו דרך חדשה ומעניינת להסתכל על העולם: הקוטב הצפוני נמצא כעת במרכז המפה, ואת יבשת אנטארקטיקה ההיטל מפרק לארבע חתיכות, אחת בכל פינה. בנוסף, כעת ניתן לראות בבירור – בניגוד להיטלים הקודמים – עד כמה גדול האוקיינוס השקט, שתופס כמעט חצי מכדור הארץ. מעניין במיוחד לראות מה ההיטל עושה לקווי האורך וקווי הרוחב: במקום צורת שתי-וערב סטנדרטית כפי שראינו בהיטלים הקודמים, כעת קווי האורך\רוחב מתעקלים, וקו המשווה עצמו הופך למרובע:

קצת יותר מאתגר בהיטל זה להבין מה בדיוק מייצגים קצות המפה (צלעות הריבוע). בשני ההיטלים הקודמים שראינו (Mercator/Gall-Peters), קל לראות כי הצלע העליונה\תחתונה של המפה מייצגת קו רוחב הסמוך לקוטב הצפוני\הדרומי בהתאמה, והצלע הימנית והשמאלית יחד, מייצגות בו-זמנית את קו האורך 180 מעלות.⁵

בהיטל פירס לעומת זאת, הקוטב הדרומי מיוצג אך ורק בארבע פינות המפה בלבד. צלעות המפה מייצגות ארבעה קווי אורך נפרדים: כל צלע מייצגת קו אורך בודד ורק את החצי הדרומי שלו, מתחת לקו המשווה, כאשר ההפרש בין שתי צלעות סמוכות – מבחינת קו האורך – הוא 90 מעלות.

כל זה עושה קצת כאב ראש, אני מודה, אבל זה מאתגר. מכל מקום – בשורה התחתונה – אם אתם רוצים לראות איך מפת העולם נראית באמת במציאות, אל תשתמשו ב- Google Maps. כנסו ל- Google Earth במקום זאת.⁶

1. ליתר דיוק, בגלל שגרינלנד כל כך קרובה לקוטב הצפוני, אז היא הולכת ומתנפחת יותר ויותר תוך כדי שאנו נעים לאורכה מדרום לצפון. לכן זה לא מדויק לומר כי הצורה של גרינלנד כולה נשמרת. יותר מדויק לומר כי הצורה של החלק הדרומי של גרינלנד נשמר, והצורה של החלק הצפוני שלה נשמר, אף על פי שהוא מנופח יותר בהשוואה לחלק הדרומי. טענה זו נכונה כמובן באופן גורף לכל המפה. הגודל של כל שטח במפה הולך ומתנפח באופן הדרגתי ככל שמתרחקים מקו המשווה. [↩]
2. בהיטל מרקטור אי אפשר לראות את הקטבים עצמם. כפי שניתן לראות במפת מרקטור, המרחק על המפה בין כל זוג קווי רוחב סמוכים הולך וגודל ככל שמתרחקים מקו המשווה צפונה או דרומה. המרחק הנ"ל הולך ומתבדר לאינסוף, לכן אי אפשר לראות במפה את הקטבים עצמם. לדוגמה: כל הקו התחתון במפה מקצה לקצה אינו מייצג את נקודת הקוטב הדרומי, אלא קו רוחב שקרוב לקוטב הדרומי, אך לא את הקוטב עצמו. [↩]
3. דרך נוספת לראות זאת היא באמצעות מחוון טיסו (Tissot's indicatrix). מדובר בתרשים שמראה באופן ויזואלי כיצד שטחים במפה משתנים כתלות במיקום שלהם. מחוון טיסו של היטל מרקטור מראה כיצד עיגולי-שטח לאורך קו המשווה הולכים ומתנפחים ככל שעולים צפונה או דרומה, אך צורתם העגולה נשמרת. מכאן נובע כי היטל מרקטור מעוות מרחקים גם בציר האופקי וגם בציר האנכי אך בפקטור זהה. במילים אחרות: ככל שמתרחקים מקו המשווה צפונה או דרומה, סקלת המרחקים שבמפה משתנה גם בכיוון מזרח-מערב וגם בכיוון צפון-דרום, אבל במידה זהה ולכן הצורה נשמרת. [↩]
4. או בשמו המלא: היטל Peirce-quincuncial [↩]
5. קו אורך 180 מעלות נמצא בדיוק מהצד השני של קו אורך 0 מעלות, הנקרא קו גריניץ', שעובר בדיוק במרכז המפה, דרך אנגליה ומערב אפריקה. [↩]
6. גם פלטפורמת Goggle earth מטילה את כדור הארץ על המסך השטוח שלכם, לכן קצות הכדור יהיו מעוותים. אמנם, בניגוד לגוגל מפות, ב- Goggle earth אתם יכולים לבחור איזו מדינה שתרצו, גרינלנד למשל, ולהזיז אותה למרכז הכדור (או המסך) ולראות אותה ללא עיוות. למעשה גם היטל מרקטור עצמו יכול להיות מוצג באמצעות כל מדינה שנחליט לשים במרכז המפה. בקישור כאן תוכלו לשחק עם היטל מרקטור אינטראקטיבי שכזה. שימו לב שאם תשימו את מדינת גאבון (Gabon) במרכז המפה – או נקודה על הים ממערב לגאבון – תקבלו חזרה את היטל מרקטור כפי שמוצג בגוגל מפות. [↩]