עם מקל או שעון-עצר: איך למדוד את היקף כדור הארץ

לאורך ההיסטוריה של הפיזיקה בפרט ושל המדע בכלל, לא חסרות תגליות מדהימות וחשובות. יש לא מעט מקרים בהם השכל האנושי התגלה במלוא יכולת ההברקה שלו, ולעיתים קרובות התגלית עצמה שינתה לחלוטין את הדרך שבה אנו מבינים את העולם סביבנו.

בהקשר מדעי כללי, שתי דוגמאות בולטות הן: 1. גילוי המבנה הפנימי של מולקולת ה- DNA והתפקוד שלה, 2. גילוי הבקטריות כמקור למחלות; תגלית שבעקבותיה פותחו הפניצילין, האנטיביוטיקה ותהליך הפסטור.

גם בתחום הפיזיקה בפרט, יש די והותר דוגמאות; אפשר לכתוב ספר שלם רק על התגליות הגדולות בהיסטוריה של הפיזיקה: חוקי קפלר, חוק הכבידה של ניוטון, מבנה האטום ומה לא.

אמנם, יש תגלית אחת שראויה לתשומת לב מיוחדת, ולדעתי האישית תגלית זו בהחלט "מתמודדת על האליפות" בתחרות התגליות הגדולות בהיסטוריה, והיא:

חישוב ההיקף של כדור הארץ במאה ה-3 לפנה"ס, על ידי האסטרונום היווני אֵרָטוֹסְתֵנֶס.

מיותר לציין כי החשיבות שאני באופן אישי מייחס להישג של ארטוסתנס היא מאוד סובייקטיבית. מכל מקום, הרגע ההיסטורי שבו ארטוסתנס חישב את היקף כדור הארץ – הרגע שבו היה לו "מספר ביד" – רגע זה הוא לדעתי האישית רגע מופלא, לא פחות. יש לכך שתי סיבות:

סיבה ראשונה: התקופה. זכרו כי מדובר במאה השלישית לפני הספירה! הרעיון כי הארץ אינה שטוחה אלא כדורית היה רעיון חדש יחסית. אמנם פיתגורס, אפלטון ואריסטו – שחיו לפני ארטוסתנס – כבר צידדו בטענה כי הארץ כדורית, אך טענה זו הייתה נחלתם של מלומדים בלבד, והרעיון היה רחוק מלהיות נחלת הכלל, כמו בימינו. בנוסף, מלומדים אלו לא יכלו לתת מספר מדויק לגבי הגודל של כדור הארץ, אלא רק לנמק מדוע ככל הנראה הארץ כדורית. ארטוסתנס לעומת זאת, לקח את הרעיון הזה – ובעזרת מקל! – הגשים אותו, כִּמֵּת אותו, הצמיד לו מספר, הפך אותו לממשי, במובן מסוים.

סיבה שניה: מדובר במדידה שבו-זמנית היא גם כל כך פשוטה, וגם כל כך "גדולה מהחיים". למה אני מתכוון? חשבו על כך: כבר במאה ה-3 לפנה"ס, בן אדם בגודל של פחות מ-2 מטרים מסוגל – באמצעות מקל! – לחשב את ההיקף של כדור הארץ כולו שעליו הוא עומד! נסו להיכנס לנעליו של ארטוסתנס עצמו, שחי בזמן שהעולם טרם נחקר, גבולותיו לא ידועים, ואפילו צורתו עדיין בגדר רעיון חדש. במצב שכזה, כמה גדולה ההפתעה של ארטוסתנס באותו רגע שבו הבין – בפעם הראשונה בהיסטוריה – כמה גדול העולם שעליו הוא עומד!

לשם השוואה – וכדי להדגיש עוד קצת את הנקודה שלי – ניתן לקחת לדוגמה את חוק הציפה, שהתגלה בערך באותה תקופה על ידי אַרְכִימֶדֶס. כידוע, בעזרת חוק הציפה ניתן לחשב את הכוח שפועל על גוף כאשר הוא שקוע כולו או חלקו בתוך מים, או כל נוזל אחר. מבלי לזלזל בארכימדס כלל וכלל, אפשר לדעתי "להרגיש" את ההבדל בין שתי התגליות, אף על פי שקצת קשה להגדיר זאת באופן מדויק: התגלית של ארכימדס דומה למידע שמגלה תולעת על העלה שבו היא נמצאת. לעומת זאת, התגלית של ארטוסתנס, דומה למידע שמגלה תולעת על המבנה של כל העץ שעליו היא נמצאת.

אז איך הוא עשה את זה?

ארטוסתנס ידע על קיומה של באר עמוקה בעיר אַסְוָאן (Aswan) בדרומה של מצרים. הבאר התפרסמה בעובדה הבאה: בדיוק בצהרי היום הארוך ביותר בשנה בתקופת הקיץ, קרני השמש חודרות עמוק אל תוך הבאר, ומאירות באופן ישיר את קרקעית הבאר. מעובדה זו ניתן להניח כי באותה נקודה שבה הבאר נמצאת, קרני השמש מאונכות לפני השטח של כדור הארץ. במילים פשוטות: אם ניתן לקרני השמש לחדור עוד ועוד אל תוך כדור הארץ, הן יגיעו ישירות למרכז כדור הארץ.¹

נתון נוסף שארטוסתנס לקח בחשבון, הוא המרחק בין העיר אסואן בדרום מצרים לבין אלכסנדריה, עיר הנמל בצפונה של מצרים שבה חי ופעל, ואף שימש בה בתור המנהל של הספרייה הגדולה באלכסנדריה. המרחק בין שתי הערים היה נתון ידוע באותה תקופה: כ- 5000 סטדיון, מרחק השווה ל- 790 ק"מ.

כעת כל מה שארטוסתנס היה צריך לעשות, זה לתקוע באדמת אלכסנדריה מקל באורך ידוע, ולמדוד את אורך הצל שלו שקרני השמש מטילות על הקרקע, בצהרי היום הארוך ביותר בתקופת הקיץ.²

וזהו. זה כל מה שצריך: מקל וצל.

בתמונה להלן ניתן לראות בבירור עד כמה פשוט היה החישוב של ארטוסתנס, חישוב שמבוסס על טריגונומטריה של בית ספר תיכון, כפי שאסביר מיד:

מהתרשים ניתן לראות כי:

• באלכסנדריה (נקודה A), קל מאוד לחשב את הזווית \(\alpha\) בין המקל וקרני השמש, שהרי המקל והצל שלו על הקרקע יוצרים משולש ישר זווית.
• במשולש שכזה, הזווית \(\alpha\) היא פשוט היחס בין אורך הצל \(l\) לאורך המקל \(h\).³
• בנוסף, קל לראות כי הזווית \(\alpha\) שנוצרת על ידי המקל וקרני השמש באלכסנדריה, שווה לזווית שנוצרת על ידי שני קווי הרדיוס \(R\) שמחברים את אסואן (נקודה S) ואלכסנדריה עם מרכז כדור הארץ, וזווית זו גם שווה ל- \(\alpha\), שהרי אלו זוויות מתחלפות.⁴
• ארטוסתנס גילה שזווית \(\alpha\) שווה ל-7 מעלות בערך, או במילים אחרות: 1/50 מתוך מעגל שלם.

המסקנה ברורה: היקף כדור הארץ הוא פי 50 מהמרחק בין אסואן לאלכסנדריה!

ומבחינה מספרית:

\(\displaystyle 50\cdot 790\left[ {km} \right]=39,500\left[ {km} \right]\)

ועכשיו לעובדה המדהימה באמת: היקף כדור הארץ בפועל הוא 40,075 ק"מ. יוצא מכאן כי השגיאה בין הערך המדויק לבין הערך שחישב ארטוסתנס לפני 2300 שנים היא פחות מאחוז וחצי !!!

כאמור לעיל, לדעתי קשה שלא להתרשם מהפשטות, האלגנטיות והדיוק של המדידה.

אפשר בלי מקל, בבקשה?

אם הגעתם עד כאן, אני מנחש כי אתם מרגישים עכשיו דחף בלתי נשלט למדוד את היקף כדור הארץ בעצמכם, נכון? ברור…

אז יש לי חדשות טובות:

אתן לכם עכשיו שיטה פשוטה, כך שתוכלו למדוד את היקף כדור הארץ עוד היום!

כל מה שאתם צריכים לעשות, זה ללכת לחוף הים לקראת השקיעה, ולקחת אתכם שעון-עצר (סְטוֹפֶּר). זו לא אמורה להיות בעיה כמובן, כי לכל אחד מאתנו יש סטופר בטלפון הסלולרי.

השיטה שבה תוכלו למדוד את היקף כדור הארץ היא זו:

• שכבו על הבטן, על החול בחוף הים והביטו בשקיעה. לא חייבים על החול כמובן, אפשר גם על מגבת.
• ברגע שאתם רואים את הקצה העליון של השמש נעלם מתחת לאופק, התחילו את השעון.
• כעת קומו מהר על הרגליים, ותעלו בריצה אל סוכת המציל. רשמו לעצמכם מראש באיזה גובה נמצאת סוכת המציל ביחס לחוף. אל תשכחו להוסיף את הגובה שלכם, כי מה שחשוב זה גובה העיניים שלכם מעל הקרקע.
• ברגע שתגיעו למעלה, תופתעו לגלות כי אתם יכולים לראות שוב את החלק העליון של השמש. הסיבה לכך ברורה: ככל שאתם יותר גבוהים מעל הקרקע, כך השקיעה הולכת ומתאחרת. על סוכת המציל, אתם יכולים לראות רחוק יותר אל האופק בהשוואה למבט מהקרקע, ולכן מבחינתכם השמש עדיין לא נעלמה מתחת לאופק.
• בסופו של דבר, ברור כי השמש תעלם גם כשאתם עומדים על סוכת המציל, שהרי כדור הארץ ממשיך להסתובב סביב עצמו כל הזמן.
• ברגע שהקצה העליון של השמש נעלם שוב, עצרו את השעון.

זהו. זה כל מה שאתם צריכים. כמה זמן עבר בין שתי השקיעות.

אז איך מדידה זו קשורה להיקף כדור הארץ? יש לזכור כי כדור הארץ מסתובב סביב עצמו בקצב קבוע, ועצם הסיבוב הוא זה שגורם לתנועה המדומה של השמש בשמיים. לכן ברור כי המדידה של הפרש הזמנים בין שתי שקיעות, יכולה ללמד אותנו כמה כדור הארץ הסתובב במשך הזמן הזה, כלומר: מה הייתה זווית הסיבוב שלו בין השקיעות, ועל ידי זווית זו ניתן לחשב את היקף כדור הארץ.

לא אחפור לכם עם יותר מדי פרטים טכניים; למי שרוצה קצת להתעמק, עשיתי את כל החישובים הנדרשים בקישור כאן. אבל תסמכו עלי אם אומר לכם כי אם אתם יודעים את הזמן – בשניות! – שעבר בין השקיעות \(T\), ואת הגובה שלכם על סוכת המציל \(H\), אז את היקף כדור הארץ \(L\) ניתן לחשב על ידי הנוסחה הבאה:

\(\displaystyle L=H\cdot 2\pi \cdot \left[ {{{{\left( {\frac{{43,200}}{\pi }} \right)}}^{2}}\cdot \frac{2}{{{{T}^{2}}}}-1} \right]\)

נכון, זו נוסחה טיפה יותר מורכבת, אבל בתמורה אתם לא צריכים לסחוב מקל, וגם הרווחתם שקיעה יפה, לא ככה?

אז בפעם הבאה שאתם בים – לפני הבירות – נצלו את ההזדמנות לשחזר את ההישג של ארטוסתנס, רק אל תשכחו לבקש רשות מהמציל לעלות לסוכה.

1. תופעה זו – שבה קרני השמש מאונכות לפני השטח של כדור הארץ – מתרחשת במדויק על חוג הסרטן בצהרי היום הארוך ביותר בשנה בתקופת הקיץ. הבאר המדוברת לא נמצאת בדיוק על חוג הסרטן אלא צפונית אליו, אך לא רחוק. [↩]
2. החישוב של ארטוסתנס מניח כי קרני השמש באסואן ובאלכסנדריה מקבילות. זו הנחה נכונה ומאוד מדויקת; השמש אמנם כדורית ומקרינה אור לכל הכיוונים, אך היא גם מאוד רחוקה מכדור הארץ, ולכן אל כדור הארץ קרני השמש מגיעות במקביל אחת לשנייה. [↩]
3. שימו לב כי מדובר בקירוב של פונקציית טנגנס לזוויות קטנות, כאשר הזווית נמדדת ברדיאנים, לא במעלות. [↩]
4. עובדה זו נובעת מכך שקרני השמש באלכסנדריה ובאסואן מקבילות זו לזו. [↩]