בפוסט כאן תיארנו שיטה שבעזרתה ניתן לחשב את היקף כדור הארץ, על ידי מדידה של הפרש הזמנים בין שתי שקיעות: הראשונה היא השקיעה הנראית בצמוד לקרקע, והשנייה היא השקיעה כפי שנראית ממקום גבוה יותר.
חשוב להבין כי כדור הארץ מסתובב סביב עצמו בקצב קבוע. עצם הסיבוב הוא זה שגורם לתנועה המדומה של השמש בשמיים. ולכן המדידה של הפרש הזמנים \(T\) בין שתי שקיעות, מלמדת כמה כדור הארץ הסתובב במשך הזמן הזה, כלומר: מה הייתה זווית הסיבוב שלו \(\theta\).
כידוע, כדור הארץ משלים סיבוב מלא של 360 מעלות במשך 24 שעות. מכאן נובע כי היחס בין הפרש הזמנים שמדדתם \(T\) לבין 24 שעות, שווה בדיוק ליחס בין הזווית שאנו מחפשים \(\theta\) לבין 360 מעלות, כלומר:
\(\displaystyle \frac{T}{{24\left[ {hours} \right]}}=\frac{\theta }{{360\left[ {\deg } \right]}}\)
אם נמיר את השעות לשניות (כי את הזמן \(T\) בין השקיעות נמדוד בשניות), ואת המעלות לרדיאנים נקבל:
\(\displaystyle \frac{T}{{86,400}}=\frac{\theta }{{2\pi }}\)
ומכאן ניתן לחשב את הזווית:
\(\displaystyle \theta =\frac{\pi }{{43,200}}\cdot T\)
ברגע שחישבתם את הזווית \(\theta\), הדרך לחישוב ההיקף של כדור הארץ עוברת דרך טריגונומטריה פשוטה.
כפי שניתן לראות בתרשים להלן, בדיוק ברגע השקיעה השנייה, אפשר ליצור משולש ישר זווית בין שלוש נקודות:
- מרכז כדור הארץ.
- העיניים שלכם בזמן שאתם עומדים על מקום גבוה, עץ למשל.
- נקודת האופק, כלומר הנקודה הרחוקה ביותר שאתם מסוגלים לראות אליה.
במשולש הזה מתקיים הקשר:
\(\displaystyle \cos \theta =\frac{R}{{R+H}}\)
כאשר \(R\) זה רדיוס כדור הארץ ו- \(H\) זה הגובה שבו אתם נמצאים. אם נארגן קצת את המשוואה נקבל:
\(\displaystyle R=\frac{{\cos \theta }}{{1-\cos \theta }}\cdot H\)
את פונקצית קוסינוס נוכל לפתח לטור טיילור מסדר שני: \(\cos \theta =1-\frac{{{{\theta }^{2}}}}{2}\), ולקבל:
\(\displaystyle R=\left( {\frac{2}{{{{\theta }^{2}}}}-1} \right)\cdot H\)
היקף כדור הארץ \(L\) נובע ישירות מתוך הרדיוס: \(L=2\pi R\), ולכן:
\(\displaystyle L=2\pi \left( {\frac{2}{{{{\theta }^{2}}}}-1} \right)\cdot H\)
אם נציב את הביטוי עבור הזווית שמצאנו למעלה נקבל את התוצאה הסופית:
\(\displaystyle L=H\cdot 2\pi \cdot \left[ {{{{\left( {\frac{{43,200}}{\pi }} \right)}}^{2}}\cdot \frac{2}{{{{T}^{2}}}}-1} \right]\)
הנוסחה הנ"ל היא כמובן נוסחה מקורבת. כדי לקבל נוסחה מדויקת יותר יש להתחשב בקו הרוחב בו אנו נמצאים, וכן באיזה יום בשנה בוצעה המדידה. אם לוקחים בחשבון שני גורמים אלה, הנוסחה הופכת להיות יותר מורכבת.1 למעשה, הנוסחה המקורבת לעיל, מתקבלת כאשר מבצעים את המדידה על קו המשווה (קו רוחב 0), ודווקא באחד מימי השוויון, כאשר אורך היום והלילה שווים (אז הזווית בין קרני השמש למישור קו המשווה היא 0).
- Sunsets, tall buildings and the Earth's radius, arXiv:0812.3911 [↩]