חישוב המרחק הממוצע בין שני כוכבי לכת

בפוסט כאן ראינו כי כוכב-חמה הוא כוכב הלכת הקרוב ביותר לכדור הארץ, מבחינת המרחק הממוצע. להלן אפרט כיצד ניתן לחשב מרחק ממוצע בין שני כוכבי לכת הנמצאים במסלול מעגלי סביב השמש במישור משותף, כאשר רדיוס ההקפה של שני כוכבי הלכת הוא: \({R_{1}}\) ו- \({R_{2}}\) בהתאמה (\({R_{1}}<{R_{2}}\)).

להלן תרשים סכמטי של המסלולים של שני כוכבי הלכת; הפלנטה הרחוקה עם רדיוס: \({R_{2}}\) נמצאת על מסלול \({C_{2}}\) והפלנטה הקרובה עם רדיוס: \({R_{1}}\) נמצאת על מסלול \({C_{1}}\), כך:

המרחק הממוצע בין הפלנטות הוא למעשה המרחק הממוצע בין כל נקודה על המסלול \({C_{2}}\) לבין כל נקודה על המסלול \({C_{1}}\), אך בגלל הסימטריה המעגלית נקבל כי מרחק זה יהיה שווה למרחק הממוצע של נקודה אחת כלשהיא על מסלול \({C_{2}}\) לבין כל שאר הנקודות על מסלול \({C_{1}}\), כך:

כדי לחשב את המרחק בין כוכבי הלכת נסתכל על תרשים המרחקים הבא, ונחשב את המרחק בין הפלנטה החיצונית (המיוצגת על ידי נקודה קבועה על מעגל \({C_{2}}\)) לבין הפלנטה הפנימית (המיוצגת על ידי נקודה משתנה על מעגל \({C_{1}}\)):

הקו שמחבר בין הפלנטות יוצר ביחד עם הרדיוסים משולש. לכן אורך הקו \(d\) ניתן לחישוב על ידי משפט הקוסינוסים:

\(\displaystyle d=\sqrt{{R_{1}^{2}+R_{2}^{2}-2R_{1}R_{2}\cos \theta }}\)

כדי לחשב את המרחק הממוצע \(D\) נצטרך לבצע אינטגרל על מעגל שלם, ולחלק ב- \(2\pi\), כלומר:

\(D=\frac{1}{{2\pi }}\int\limits_{0}^{{2\pi }}{{\sqrt{{{R_{1}^{2}+R_{2}^{2}-2R_{1}R_{2}\cos \theta } }}\cdot d\theta }}\)