מהו כוכב הלכת הקרוב ביותר לכדור הארץ?

כולנו מכירים את מערכת השמש, נכון? שמונה כוכבי-לכת (לא כולל פלוטו) המסתובבים סביב השמש במישור משותף, כאשר כל כוכב-לכת מקיף את השמש במסלול כמעט מעגלי:

כדי להכין את הקרקע להמשך המאמר, כדאי שנרשום בצורה מסודרת את כוכבי הלכת בתוספת המרחק של כל אחד מהשמש (כלומר: רדיוס ההקפה של כוכב הלכת). את המרחקים אציג ביחידות של: מיליון-קילומטר, או בקיצור: מגה-ק"מ. לדוגמה: המרחק של כדור הארץ מהשמש הוא: 150 מגה-ק"מ, כלומר 150 מיליון ק"מ, וכן הלאה. אז הנה הרשימה:

1. כוכב-חמה (Mercury): 58 מגה-ק"מ.¹
2. נוגה (Venus): 108 מגה-ק"מ.
3. כדור הארץ: 150 מגה-ק"מ.
4. מאדים (Mars): 228 מגה-ק"מ.
5. צדק (Jupiter): 778.5 מגה-ק"מ.
6. שבתאי (Saturn): 1433.5 מגה-ק"מ.
7. אורון (Uranus): 2871 מגה-ק"מ.
8. רהב (Neptune): 4500 מגה-ק"מ.

אוקיי, עכשיו השיבו על השאלה הפשוטה הבאה, על פי הרשימה לעיל:

מהו כוכב הלכת הקרוב ביותר לכדור הארץ?

לכאורה, התשובה פשוטה: מדובר בנוגה, נכון? ההפרש בין רדיוס ההקפה של כדור הארץ ונוגה הוא רק \({150-108=42}\) מגה-ק"מ. כמו כן, נראה כי מאדים הוא הבא בתור מבחינת הקרבה לכדור הארץ, עם הפרש רדיוסים של \({228-150=78}\) מגה-ק"מ. שאר כוכבי הלכת, בוודאי מצדק והלאה, פשוט רחוקים מדי.

כפי שכבר ניחשתם, בשני המקרים התשובה שגויה. מדוע?

כמה קרוב, ככה רחוק

אם ניקח לדוגמה את נוגה, אז נכון כי המרחק הקטן ביותר האפשרי בין כדור הארץ לנוגה הוא \({42}\) מגה-ק"מ, אך מרחק זה מתקבל רק לאורך זמן יחסית קצר, כאשר נוגה, כדור הארץ והשמש נמצאים לאורך קו משותף. במילים אחרות: נוגה מסתובב סביב השמש בקצב מהיר יותר מאשר כדור הארץ, ולכן כל פעם שנוגה "עוקף" את כדור הארץ, מתקבל מצב בו שני כוכבי הלכת "מיושרים" לאורך קו אחד משותף שעובר בין שניהם וגם דרך השמש. בנקודה זו, המרחק בין שני כוכבי הלכת שווה להפרש הרדיוסים שלהם, כלומר: \({42}\) מגה-ק"מ. אלא שחוץ מהרגע הספציפי הזה, בשאר הזמן נוגה וכדור הארץ מתרחקים זה מזה, עד לשלב בו הם נמצאים משני צדדי השמש, במרחק הגדול ביותר האפשרי.

הנה אנימציה מעולה שממחישה את כל העסק, בה ניתן לראות את כדור הארץ ונוגה מקיפים את השמש, כאשר קצב ההקפה של נוגה מהיר יותר משל כדור הארץ. שימו לב לקו הישר שמחבר בין שני כוכבי הלכת וכיצד האורך שלו משתנה עם הזמן: יש רגע אחד בו אורך הקו מתקצר ל- \({42}\) מגה-ק"מ (ההפרש בין רדיוסי ההקפה), כאשר נוגה עוקף את כדור הארץ. אלא שלאחר מכן אורך הקו הולך ומתארך עד לרגע בו אורך הקו הוא הגדול ביותר האפשרי: \({150+108=258}\) (הסכום של רדיוסי ההקפה).

מכל האמור לעיל ניתן לראות בבירור כי לא ניתן לומר בביטחון מוחלט כי נוגה הוא כוכב הלכת הקרוב ביותר לכדור הארץ, כי המרחק בין שני כוכבי הלכת משתנה כל הזמן. אמנם יש רגעים שבהם המרחק הוא מינימלי או מקסימלי, אבל המרחק עצמו אינו קבוע.

המסקנה ברורה: כדי לחשב את המרחק "הטיפוסי" בין כדור הארץ לנוגה, נצטרך למעשה לחשב את הערך הממוצע של המרחק המשתנה. כוכבי הלכת מקיפים את השמש באופן מחזורי, ולכן גם המרחק בין שני כוכבי לכת ישתנה באופן מחזורי, מה שאומר שהערך הממוצע של המרחק יהיה גודל קבוע.

לְמַצֵע זה לא פשוט…

אז איך עושים את זה? מבחינה מתמטית, העסק קצת יותר מסובך ואין טעם להיכנס לכל הפרטים כאן ועכשיו. במידה ואתם אוהבים חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי בקורדינטות פולריות, אתם מוזמנים להיכנס לקישור כאן, שם אני מפרט את החישוב. במסגרת המאמר הנוכחי, אציג בפניכם וויזואלית רק את התוצאה הסופית של החישוב, כלומר: מהו הביטוי למרחק הממוצע \(D\) בין שני כוכבי לכת, כאשר לכל אחד יש רדיוס הקפה שונה, \({R_{1}}\) ו- \({R_{2}}\) :

\(D=\frac{1}{{2\pi }}\int\limits_{0}^{{2\pi }}{{\sqrt{{{R_{1}^{2}+R_{2}^{2}-2{{R}_{1}}{{R}_{2}}\cos \theta } }}\cdot d\theta }}\)

את הנוסחה להלן ניתן להפעיל על כל זוג כוכבי לכת שנבחר כדי לחשב את המרחק הממוצע ביניהם, ובמקרה שלנו נפעיל אותה 3 פעמים:

1. זוג ראשון: כדור הארץ ומאדים,
2. זוג שני: כדור הארץ ונוגה,
3. זוג שלישי: כדור הארץ וכוכב-חמה.

התוצאה די מפתיעה! מסתבר כי כוכב הלכת הקרוב ביותר לכדור הארץ הוא דווקא כוכב-חמה (מרקיורי) ולא נוגה:

יתירה מזו, ניתן להראות כי רוב הזמן כדור הארץ נמצא קרוב יותר לכוכב-חמה מאשר לנוגה! למה אני מתכוון?

זכרו כי המרחק הרגעי בין כדור הארץ לבין שלושת כוכבי הלכת אינו קבוע, אלא משתנה. מכאן נובע כי כוכבי הלכת מתחרים ביניהם כל הזמן מי יותר קרוב לכדור הארץ, ובכל רגע נתון מישהו אחר מנצח. שימו לב לאנימציה הבאה, בה ניתן לראות את מסלולי ההקפה של כדור הארץ, כוכב-חמה, נוגה ומאדים סביב השמש למשך שנה וקצת. המרחק בין כדור הארץ לכל אחד משלושת השכנים שלו מסומן בקו ישר, כאשר הקו הופך למודגש כל אימת שאחד משלושת כוכבי הלכת מנצח את שני האחרים בתחרות "הפלנטה הקרובה ביותר לכדור הארץ". בצד ימין ניתן לראות גרף עמודות שמייצג את המרחק הרגעי של כל אחד משלושת כוכבי הלכת ביחס לכדור הארץ, וכיצד בשלב כזה או אחר, כל אחד משלושת כוכבי הלכת הופך להיות: "הקרוב ביותר לכדור הארץ":

עכשיו עולה השאלה: כל אחד משלושת כוכבי הלכת הופך להיות "הקרוב ביותר לכדור הארץ" בשלב כזה או אחר, אבל מי מנצח בתחרות הזו רוב הזמן? מי מבין שלושת כוכבי הלכת מבלה במצטבר יותר זמן במצב שבו הוא הכי קרוב?

כדי לענות על שאלה זו, נצטרך להריץ סימולציה שתדמה את המיקום של כוכבי הלכת מידי יום לאורך זמן, נגיד למשל: למשך 365,000 ימים (1000 שנים קדימה). מידי יום, הסימולציה תחשב את המרחק בין כדור הארץ לשלושת כוכבי הלכת, ותבדוק מי משלושתם הכי קרוב. עם הזמן, ניתן יהיה לחשב איזה כוכב לכת היה הכי קרוב לכדור הארץ הכי הרבה ימים (באחוזים, כמובן). בסרטון כאן תוכלו לראות הרצה של הסימולציה למשך 5000 ימים ראשונים. בצד ימין למטה, ניתן לראות "תרשים עוגה" שמראה את משך הזמן היחסי שבו כל כוכב-לכת נמצא הכי קרוב לכדור הארץ (כוכב חמה באפור, נוגה בצהוב ומאדים באדום):

מעניין לראות כיצד לאורך הסימולציה כוכבי הלכת מתחרים ביניהם על התואר; בהתחלה נראה כי מאדים נשאר בכלל מחוץ לתחרות, אך לאחר כ-500 ימים גם מאדים נכנס לתמונה. לאחר כ-1500 ימים מתחיל מירוץ צמוד "ראש בראש" בין כוכב-חמה לנוגה, ונראה כי נוגה לפעמים מנצח. אך לאחר כ-2500 ימים בערך והלאה, כל המספרים מתכנסים לערכים קבועים והתחרות כבר הוכרעה. אם נמשיך להריץ את הסימולציה לעוד אלפי ימים קדימה, לבסוף נקבל את התוצאות הבאות:

די ברור כי דווקא כוכב-חמה הוא כוכב הלכת הקרוב ביותר לכדור הארץ.

אז בפעם הבאה שאתם מסתכלים על מערכת השמש, תזכרו שיש תובנות ועובדות שאף תמונה לא יכולה לגלות. אין ברירה, לפעמים חייבים לעשות את החשבון…

1. כוכב-חמה נע במסלול קצת יותר אליפטי משאר כוכבי הלכת עם אקסצנטריות של כ- 0.2, כך ש- 58 מגה-ק"מ הוא למעשה הערך הממוצע בין המרחק הקרוב ביותר והרחוק ביותר של כוכב-חמה מהשמש. [↩]