לגלות את פּיתָגוֹרַס בעירק

את משפט פיתגורס כולנו מכירים, נכון? במשולש ישר-זווית, אם אורכי הניצבים הם \(a\) ו- \(b\) ואורך היתר הוא \(c\), אז מתקיים:

\({{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{c}^{2}}\)

המחשה וויזואלית יפה למשפט פיתגורס ניתן להשיג באמצעות חישובי שטחים. כיצד? נתחיל בכך שנבנה ריבוע על כל אחת מצלעות המשולש:

1. ריבוע כחול על היתר \(c\),
2. ריבוע ירוק על ניצב \(b\) ,
3. ריבוע סגול על ניצב \(a\) .

כידוע, השטח של כל ריבוע שווה לאורך הצלע בריבוע. משפט פיתגורס למעשה קובע כי שטח הריבוע הסגול \({a}^{2}\) ועוד שטח הריבוע הירוק \({b}^{2}\) שווה לשטח הריבוע הכחול \({c}^{2}\) :

המשפט נקרא על שם המתמטיקאי היווני פּיתָגוֹרַס שחי במאה ה-6 לפנה"ס, ובמשך תקופה ארוכה ההנחה המקובלת הייתה שפיתגורס עצמו גילה והוכיח את המשפט. ההנחה הנ"ל התבררה כשגויה בעקבות חפירות ארכאולוגיות שנעשו בעירק באמצע המאה ה-20.

איך כותבים משולש באַכַּדִּית?

בשנת 1962, ארכאולוגים גילו בעירק לוח חימר עליו מופיע טקסט בכתב יתדות בשפה האַכַּדִּית:

לאחר פענוח הטקסט, התברר כי הלוח מתאר בעיה גיאומטרית די פשוטה, והיא:

מהם אורכי הצלעות של מלבן שהשטח שלו שווה ל- \({0.75}\) ואורך האלכסון שלו שווה ל- \({1.25}\)?

אוקיי, סך הכל נראה כמו בעיה גיאומטרית סטנדרטית מהתיכון. לאחר תיאור הבעיה, לוח החימר מתאר גם את הפתרון במספר שלבים פשוטים:

שלב ראשון: יש לחשב את אורך האלכסון בריבוע, כלומר:

\({{1.25^{2}}=1.5625}\)

שלב שני: מהתוצאה יש להפחית פעמיים את השטח, כלומר:

\({{1.5625-0.75-0.75}=0.0625}\)

שלב שלישי: מהתוצאה יש להוציא שורש, כלומר:

\({\sqrt{0.0625}=0.25}\)

שלב רביעי: יש למצוא שני מספרים שההפרש ביניהם שווה ל- \({0.25}\), והמכפלה שלהם שווה ל- \({0.75}\), ושני המספרים הנ"ל אלו צלעות המלבן.

לפי המתואר בלוח, המספרים שמקיימים את התנאים לעיל הם:

1. מספר ראשון הוא: \({1}\) , זו הצלע הארוכה של המלבן,
2. מספר שני הוא: \({0.75}\) , זו הצלע הקצרה של המלבן.

עד כאן הבעיה ופתרונה כפי שמתוארים בלוח החימר, ואין בתגלית זו לכשעצמה הפתעה כל כך גדולה; סוף כל סוף, במהלך השנים נתגלו לא מעט לוחות חימר דומים, שבהם ניתן למצוא תיאור של מגוון בעיות גיאומטריות מסוג כזה או אחר, בצירוף הפתרון.

התגלית המדהימה מופיעה כאשר מתבוננים בפתרון שבלוח במבט מעמיק יותר. אם מנסים להכליל את הפתרון ולנסח אותו בשפה מתמטית פורמלית, ניתן להסיק כי מחבר הלוח היה צריך לדעת את משפט פיתגורס כדי לפתור את הבעיה; אלא שהלוח מתוארך למאה ה-17 לפנה"ס, בתקופת האימפריה הבבלית הראשונה, כלומר: יותר מ-1000 שנים לפני פיתגורס!!!

חשוב לזכור – כפי שראיתם למעלה – כי הבעיה המתוארת בלוח אינה מנוסחת בשפה מתמטית מודרנית. במאה ה-17 לפנה"ס, עדיין לא נעשה שימוש במשוואות או סמלים המייצגים נעלמים. במקום זאת, הלוח מתאר את הבעיה במילים מפורשות ולא באמצעות סימבוליקה מתמטית. להלן, אראה לכם כיצד באמצעות הרחבת הפתרון למקרה הכללי באמצעות סימבוליקה פורמלית, ניתן להסיק כי משפט פיתגורס מסתתר לו שם בתוך הטקסט שבלוח.¹

משפה אַכַּדִּית לשפה מתמטית

אז בואו וננסה לנסח מחדש את הבעיה הגאומטרית שבלוח באופן כללי. במילים אחרות: נפסיק להשתמש במילים ומספרים, ונעבור לסמלים ומשוואות. את הבעיה בלוח ניתן לנסח כך:

נתון מלבן ששטחו \(S\) ואורך האלכסון שלו הוא \(c\) . מהם אורכי צלעות המלבן, \(a\) ו- \(b\) ?

הנה תרשים פשוט של הבעיה:

אם נעביר את ארבעת שלבי הפתרון המתוארים בלוח לשפה מתמטית פורמלית, נגיע למסקנה שאת אורכי צלעות המלבן \(a\) ו- \(b\) ניתן למצוא על ידי פתרון של שתי משוואות בשני נעלמים:

\(b-a=\sqrt{{{{c}^{2}}-2\cdot S}}\)

\(b\cdot a=S\)

איך הגעתי לזה? שימו לב כי הצד הימני במשוואה הראשונה מייצג הכללה של שלושת השלבים הראשונים בפתרון שמתאר הלוח, ושתי המשוואות יחד מקיימות את שני התנאים שמפורטים בשלב הרביעי של הפתרון. בנוסף, זכרו כי את שטח המלבן \(S\) ואורך האלכסון \(c\) אנו יודעים, לכן הנעלמים שלנו הם רק \(a\) ו- \(b\) .

מבחינה מתמטית, ניתן לוודא כי שתי המשוואות הנ"ל נכונות לכל מלבן שנבחר. בתור דוגמה, נוכל לבחור דף הדפסה מלבני בגודל A4 סטנדרטי. המידות של מלבן A4 ידועות, וניתן למצוא אותן בקלות באינטרנט:

ערך	דף A4
62,370 [מ"מ רבוע]	שטח \(S\)
363.743 [מ"מ]	אורך אלכסון \(c\)

את צלעות הדף \(a\) ו- \(b\), נוכל למצוא על ידי כך שנציב את הערכים של \(S\) ו- \(c\) במשוואות, ונקבל:

\({b-a=87}\)

\({b\cdot a=62370}\)

פתרון המשוואות יגלה לנו את אורך צלעות הדף במילימטרים:

\({a=210}\)

\({b=297}\)

ואלה אכן אורכי הצלעות של דף A4 סטנדרטי.

היכן מסתתר פיתגורס?

כל זה טוב ויפה, אבל מה הקשר לפיתגורס, אתם שואלים?

כאן בדיוק מגיע הפאנץ'-ליין:

שימו לב כי המשוואה הראשונה נכונה רק במידה ואנו יודעים מראש את משפט פיתגורס!

נוכל להוכיח זאת בשלושה שלבים:

שלב ראשון: נתחיל בכך שנעלה בריבוע את שני אגפי המשוואה הראשונה:

\({{\left( {b-a} \right)}^{2}}={{c}^{2}}-2S\)

שלב שני: נפתח את הסוגריים באגף השמאלי של המשוואה:

\({{b}^{2}}+{{a}^{2}}-2ab={{c}^{2}}-2S\)

שלב שלישי: כעת נעביר את הביטוי \(2ab\) לצד ימין של המשוואה:

\({{{b}^{2}}+{{a}^{2}}={{c}^{2}}-2\cdot \left(S-ab\right)}\)

אבל זכרו כי שטח המלבן \(S\) שווה למעשה למכפלת הצלעות \(ab\), ולכן \({S-ab=0}\) , כך שלבסוף נישאר רק עם המשוואה:

\({{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{c}^{2}}\)

במילים פשוטות:

קיבלנו את  משפט פיתגורס!

הבנתם? כדי לדעת כי \(b-a\) אכן שווה לביטוי: \(\sqrt{{{{c}^{2}}-2\cdot S}}\), צריך לדעת להשתמש במשפט פיתגורס: \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{c}^{2}}\) !!!

לסיכום: נראה כי אי שם במסופוטמיה העתיקה, מלומד בבלי אלמוני כבר חשב על משפט פיתגורס יותר מ-1000 שנים לפני פיתגורס עצמו…

1. בנוסף, מתברר כי לוח IM-67118 המתואר כאן אינו הלוח היחיד שמראה בעיה שפתרונה דורש הכרות עם משפט פיתגורס, ועם הזמן נתגלו לוחות נוספים מאותה תקופה, כגון: לוח YBC-7289, לוח Si.427, וכן Plimpton-322 [↩]