בפוסט כאן ראינו כיצד הקשת נוצרת על ידי פיזור של קרן אור באמצעות טיפות מים. בנוסף, ראינו כי קיימת זווית פיזור מקסימלית המתקבלת בנקודת כניסה מאוד ספציפית אל הטיפה, או לחילופין באופן שקול: בזווית כניסה מאוד ספציפית אל הטיפה. להלן נחשב את זווית הפיזור המקסימלית בין הקרן הנכנסת ליוצאת.
התרשים הבא מתאר את מסלול הקרן בטיפה בצירוף הזווית של כל נקודת שבירה \ החזרה (זווית מסומנת באות לטינית ונקודה מסומנת באות אנגלית גדולה):
את \(\varphi\) נגדיר כזווית הפגיעה של הקרן בטיפה ביחס לציר האופקי, ואת \(\beta\) כזווית השבירה של הקרן בתוך הטיפה ביחס לישר \(AC\) המאונך לפני השטח של הטיפה ועובר דרך מרכז הטיפה \(C\).
נקבל כי גם זווית הפגיעה של הקרן בדופן האחורית של הטיפה היא \(\beta\), כי משולש \(ABC\) הוא משולש שווה-שוקיים, שהרי שתי צלעותיו הן רדיוס הטיפה. בנוסף, הזווית בין הישר \(AC\) לישר \(CB\) היא זווית חיצונית למשולש \(ABC\) ולכן היא שווה לסכום הזוויות הפנימיות \(2\beta\). מכאן נובע כי זווית הפגיעה של הקרן הנכנסת ביחס לישר \(AC\) היא: \(2\beta-\varphi\).
הקרן מוחזרת מהדופן האחורי של הטיפה בזווית \(\beta\) (הזווית שבה הקרן פגעה בדופן), ולכן הקרן יוצאת מהטיפה בנקודה הנמצאת בדיוק מתחת לנקודת הכניסה. זווית הפגיעה של הקרן בנקודת היציאה היא גם \(\beta\) (כי גם משולש \(CBD\) הוא משולש שווה-שוקיים) ולכן זווית היציאה של הקרן ביחס לישר \(CD\) שווה לזווית הפגיעה: \(2\beta-\varphi\) .
ניתן לראות כי הישר \(BC\) שעובר דרך מרכז הטיפה הוא ציר שיקוף בין מהלך הקרניים שמעליו ומתחתיו. לכן גם משולש \(AED\) הוא משולש שווה-שוקיים, וזווית הראש של משולש זה שווה ל- \(2\varphi\), כי חצי מזווית הראש של משולש \(AED\) והזווית \(\varphi\) של קרן הכניסה הן שתי זוויות מתאימות.
חוק סנל קובע את הקשר בין זווית הפגיעה של הקרן בטיפה לבין זiוית השבירה שלה:
\(\sin \left( {2\beta -\varphi } \right)=n\sin \beta\)
כאשר \(n\) הוא מקדם השבירה של מים. נבודד את \(\varphi\) ונקבל:
\(\varphi =2\beta -\arcsin \left( {n\sin \beta } \right)\)
נכפיל את המשוואה ב-\({2}\) ונקבל את זווית הפיזור בין הקרן הנכנסת ליוצאת:
\(2\varphi =4\beta -2\arcsin \left( {n\sin \beta } \right)\)
כעת נחפש נקודת מקסימום בפונקציה \(2\varphi \left( \beta \right)\) על ידי חישוב נגזרת, ונשווה ל-\({0}\):
\(\displaystyle {\frac{{d\left( {2\varphi } \right)}}{{d\beta }}=0}\)
לאחר גזירת הפונקציה והשוואה ל-\({0}\) נקבל:
\(\displaystyle {4-2\frac{{n\cos \beta }}{{\sqrt{{1-{{n}^{2}}{{{\sin }}^{2}}\beta }}}}=0}\)
נבודד את הזווית \(\beta\), וזו תהיה הנקודה בה לפונקציה יש מקסימום:
\(\displaystyle {{\beta }_{{\max }}}=\arccos \left( {\frac{{2\sqrt{{{{n}^{2}}-1}}}}{{\sqrt{3}n}}} \right)\)
את הזווית \({{\beta}_{{\max}}}\) ניתן לחשב לכל צבע בנפרד על ידי שימוש בערך המתאים (Real part) של מקדם השבירה \(n\), על פי הטבלה הבאה:
את הזווית \({{\beta}_{{\max}}}\) ניתן להציב בפונקציה \(2\varphi \left( \beta \right)\) שגזרנו לעיל, כדי לקבל את זווית הפיזור המקסימלית \(2{{\varphi }_{{\max }}}\) לכל צבע.
יש לזכור כי בכל החישוב לעיל אין צורך להגדיר מהו הקו שמקביל לקרקע, כלומר: זה לא משנה אם הקרן הנכנסת מקבילה לקרקע, או הציר האופקי בתמונה וכו'. הגדרות אלה אינן רלוונטיות לחישוב הביטוי הכללי של הזווית בין הקרן הנכנסת ליוצאת, \(2\varphi\). בפוסט כאן הגדרנו את זווית הפיזור \(2\varphi\) באות הלטינית \(\alpha\).
כמו כן, את נקודת הכניסה לטיפה ניתן לבחור באופן שרירותי. במציאות, קרני האור פוגעות בטיפה בנקודות כניסה שונות, וכל נקודה מגדירה זווית כניסה ספציפית. בתרשים לעיל, זוויות הכניסה והשבירה ממילא מוגדרות באופן פרמטרי, ולכן שינוי זווית הפגיעה בטיפה שקול למקרה בו יש לקרן כיוון קבוע אך היא פוגעת בטיפה בנקודות כניסה שונות.