הפיזיקה המדהימה של הקשת

הניסיון להבין ולהסביר את הקשת עתיק כימי האנושות. מאז ומעולם בני אדם ראו את הקשת וניסו לענות על השאלה המתבקשת: מה היא הקשת הזו? מהו מקורה? מדוע היא מופיעה? 

כצפוי, לתופעת הקשת ניתן למצוא הסברים שונים מתרבויות שונות בהיסטוריה. בתרבות הנוֹרְדִּית למשל, הקשת היא גשר המחבר בין ממלכת האלים אסגארד (Asgard) לממלכת האדם מידגארד (Midgard). ביוון העתיקה לעומת זאת, הקשת איננה גשר; היא נוצרת בעקבות משק כנפיה של אִירִיס (Iris), שליחתם של האלים. איריס אחראית על העברת הוראותיהם של האלים לבני האדם, ותוך כדי המעוף שלה, משק כנפיה יוצר שובל בדמות הקשת, בדומה לשובל הלבן שמשאיר אחריו מטוס סילון.

אך לא אלמן ישראל, וגם לנו בתרבות היהודית יש לקשת הסבר מוצלח במיוחד. על פי חומש בראשית, אלוהים יוצר את הקשת כדי לְתַזְכֵּר אותנו שהוא עדיין עומד בהתחייבות שלו שלא להביא עלינו מבול נוסף. במילים אחרות: כל אימת שאנו דואגים שמא הגשם לא יפסיק ומבול נוסף יכחיד את כולנו, זה הרגע בו אלוהים שולח את הקשת כמסר מרגיע שאומר לנו: לא לדאוג, אני עומד במילה שלי.

חז"ל בתלמוד אף מוסיפים ואומרים כי בימיהם היו תקופות שלמות שבהן לא נראתה הקשת לאורך שנים רבות אפילו לא פעם אחת! הסיבה לכך פשוטה: באותו הדור היו צדיקים גדולים כל כך, שעצם קיומם משמש כערובה לכך שלא יבוא עלינו מבול נוסף. אלוהים פשוט לא צריך לתזכר אותנו באמצעות הקשת, ולכן היא מיותרת לגמרי.

הרבה זמן עבר מאז אותם ימים ועד לתקופתו של אייזק ניוטון, שהיה הראשון להציג סדרה של ניסויים שבאמצעותם הוא הדגים כיצד אור שמש לָבָן מתפצל למספר צבעים נפרדים בעקבות מעבר דרך מִנְסַרָה (פריזמה) העשויה מזכוכית. תופעה זו נקראת: נְפִיצָה (Dispersion), ודי ברור כי היא הבסיס ליצירת הקשת; לא קשה לנחש כי הקשת היא "בסך הכל" הנפיצה של אור השמש במעבר דרך טיפות המים.

ובכן, אם אתם חושבים כי די לנו במילה אחת – נפיצה – כדי להסביר ולהבין כמו שצריך את תופעת הקשת, אז אתם טועים… הפיזיקה של הקשת ה-ר-ב-ה יותר מורכבת. אך מעבר למורכבות, הפיזיקה של הקשת היא יפה, היא אלגנטית, היא מפתיעה! אתם לא תאמינו אלו תובנות מסתתרות להן בתוך הפיזיקה של הקשת, תובנות שאני רוצה לחשוף בפניכם במאמר להלן.

קשתות יפות במיוחד זכיתי לראות בחורף בתקופה שבה הייתי צריך לנסוע לעבודה מידי בוקר על כביש 6 לכיוון צפון. למה דווקא כביש 6? ולמה דווקא בבוקר בנסיעה צפונה? התשובה פשוטה: כאשר השעה מוקדמת, השמש עדיין נמוכה ברקיע, קרובה לאופק המזרחי. אם באותו זמן יורד גשם מעל מישור החוף במערב, מתקבלים התנאים המושלמים ליצירת קשת מדהימה מעל גוש דן, קשת מדהימה שפורשת חצי מעגל ענק מצפון לדרום.

כשאני מדבר על "תנאים ליצירת קשת", הכוונה בסופו של דבר לשני תנאים בלבד:

1. גשם: צריך לרדת גשם במרחק כלשהוא לפניכם, כך שאתם מביטים אל המקום שמעליו יורד גשם.
2. שמש: צריך שהשמש תהיה מאחוריכם, כך שקרני האור שלה פוגעות במסך הגשם שנמצא מולכם.

אם מתקיימים שני התנאים הנ"ל, אז הקשת שתראו היא למעשה תמונה שנוצרת על גבי מסך הגשם באמצעות קרני האור מהשמש, המתפקדת בתור מקרן. כדי להבין את הפיזיקה של כל העסק נתחיל בכך שנתמקד בטיפה אחת בודדת, ונסביר מה קורה לקרן אור כאשר היא פוגעת בטיפת מים.

סיפור על טיפה וקרן

העיקרון הראשון שיש לדעת הוא: עיקרון השבירה. כאשר קרן אור נכנסת לתוך טיפת מים, היא משנה את כיוון ההתקדמות שלה, כלומר: היא לא נעה בקו ישר, אלא "נשברת". לאחר שהקרן חודרת לטיפה דרך הצד הקדמי של הטיפה, הקרן מוחזרת מהצד האחורי של הטיפה, ולאחר מכן יוצאת מהטיפה חזרה לאוויר תוך כדי שבירה נוספת. במילים פשוטות: הקרן נכנסת לטיפה, מבצעת סוג של "פניית פרסה", ויוצאת שוב חזרה לאוויר בכיוון הנגדי שאליו נכנסה. הנה תרשים סכמטי שמראה את המסלול שעוברת קרן האור מהרגע שבו היא נכנסת לטיפה ועד ליציאתה ממנה:

העיקרון השני שיש לדעת הוא: עיקרון הפיזור. מסתבר כי המסלול המדויק של הקרן בתוך הטיפה, תלוי בנקודת הכניסה של הקרן לטיפה. בתמונה למעלה בחרתי באופן שרירותי נקודת כניסה אחת, אך זכרו כי קרני שמש שונות פוגעות בטיפה בנקודות כניסה שונות. בגלל שפני השטח של הטיפה לא שטוחים אלא כדוריים, נקבל כי כל קרן פוגעת בטיפה בזווית כניסה שונה:

בשלב זה בא לידי ביטוי עיקרון הפיזור הקובע כי:

זווית היציאה של הקרן מהטיפה משתנה כתלות בנקודת הכניסה של הקרן אל הטיפה.

במילים פשוטות: קרניים שנכנסו לטיפה בנקודות כניסה שונות, יצאו מהטיפה בזוויות פיזור שונות. נשמע מסובך? אל דאגה, כי האנימציה הבאה מדגימה את עיקרון הפיזור בצורה נפלאה: שימו לב כיצד המרחק \(d\) של קרן הכניסה ביחס למרכז הטיפה הולך וגדל, ובהתאם לכך גם זווית היציאה \(\alpha\) משתנה בהתאם:

אלא שכאן ניתן לראות תופעה מעניינת: שימו לב כי זווית הפיזור \(\alpha\) הולכת וגדלה עד לערך מקסימלי, ולאחר מכן הולכת וקטנה שוב!

תסתכלו שוב על האנימציה למעלה, ונסו לזהות את הרגע המדויק בו זווית הפיזור \(\alpha\) מגיעה לערך הגדול ביותר שלה, ושימו לב באיזו נקודה \(d\) הקרן נכנסת לטיפה באותו רגע. מכאן נובע כי קיימת קרן שנכנסת לטיפה בנקודה מאוד ספציפית במרחק \(d\), והקרן הזו מפוזרת במידה הגדולה ביותר. במילים אחרות: קיימת נקודת כניסה אל הטיפה – איפה שהוא בחלק העליון שלה – שקרן אור שנכנסת בנקודה הספציפית הזו, מקבלת את זווית הפיזור הגדולה ביותר.

ועכשיו אנו מגיעים אל העיקרון השלישי, והוא: עיקרון הנְפִיצָה. עד עכשיו, לא עסקתי בכלל בשאלה מהו הצבע של קרן האור. באופן עקרוני, הסברתי כי:

1. קרן אור שפוגעת בטיפת מים ונכנסת אליה, מוחזרת מהדופן האחורית של הטיפה, ויוצאת חזרה מהצד הקדמי בזווית פיזור כלשהיא.
2. קיימת נקודת כניסה לטיפה, שבה זווית הפיזור היא הגדולה ביותר.

אלא שהאור שמגיע מהשמש נקרא: אור לבן, כלומר: אור שמורכב מכל הצבעים יחד. במילים פשוטות: כל קרן אור שמגיעה מהשמש מורכבת בו-זמנית מהרבה צבעים שונים: אדום, כתום, צהוב, ירוק, כחול וסגול.¹ עכשיו נניח כי קרן אור לבן שכוללת את כל הצבעים הללו יחד, נכנסת לטיפה בדיוק באותה נקודת כניסה ספציפית שבה זווית הפיזור מקסימלית. כאן באה לידי ביטוי תופעת הנפיצה:

בתוך הטיפה הקרן מתפצלת לצבעים נפרדים, כל צבע מבצע מסלול שונה בתוך הטיפה, כך שלבסוף כל צבע יוצא מהטיפה בזווית פיזור מקסימלית המיוחדת אך ורק לאותו צבע ספציפי.

העיקרון הנ"ל מודגם בתמונה הבאה: הקרן נכנסת לטיפה בדיוק בנקודה בה זווית הפיזור מקסימלית, אלא שבתוך הטיפה הקרן נפרדת לצבעים, וכל צבע יוצא מהטיפה בזווית פיזור מקסימלית המיוחדת אך ורק לאותו צבע: לצבע האדום תהיה זווית הפיזור הגדולה ביותר, ולצבע הסגול תהיה זווית פיזור הקטנה ביותר, כך:

יוצא מכאן כי לכל צבע יש זווית פיזור מקסימלית שונה. בעזרת אופטיקה גיאומטרית ניתן לחשב מה תהיה זווית הפיזור המקסימלית לכל צבע, ובמידה ויש לכם סבלנות לחפירות במתמטיקה אז את החישוב המפורט עשיתי בקישור כאן. מכל מקום, את התוצאה הסופית אני מפרט בטבלה להלן, בה ניתן לראות את זווית הפיזור המקסימלית לכל צבע:²

זווית פיזור מקסימלית	צבע
42.23o	אדום
42.04o	כתום
41.83o	צהוב
41.56o	ירוק
41.21o	כחול
40.74o	סגול

לזווית הפיזור של כל צבע יש חשיבות מכרעת, כי זו בדיוק הזווית שבה אתם תראו את הקשת! מבחינה גיאומטרית, אם תמתחו קו ישר ביניכם לבין פס הצבע האדום בקשת, אז הזווית בין הקו הזה לבין הקרקע תהיה בדיוק: 42.23^o מעלות! אם תמתחו קו אל הצבע הסגול, אז הזווית בין הקו לקרקע תהיה 40.74^o מעלות, וכך כל צבע בקשת יופיע בדיוק בזווית המתאימה לו:

עכשיו תסתכלו טוב טוב בתמונה לעיל, כי אני רוצה לרדת עמוק יותר בתוך מחילת הארנב ולגעת בכמה דקויות שכדאי מאוד להבין:

סימטריה, והגודל הנראה של הקשת

ברור כי בגלל הסימטריה הכדורית של הטיפה, נצפה שגם הקשת תהיה בעלת סימטריה מעגלית, כפי שאכן מתרחש. במילים אחרות: אתם יכולים לדמיין חרוט שבסיסו נמצא על גבי מסך הגשם, וקודקוד החרוט נוגע בראש שלכם. כל צבע בקשת למעשה נוצר על גבי היקף הבסיס של החרוט, וזווית הראש של החרוט היא זווית הפיזור של כל צבע וצבע. מכאן ניתן להסיק כי ככל שתתרחקו ממסך הגשם, הקשת תראה לכם יותר ויותר גדולה, כלומר: רדיוס המעגל שלה ילך ויגדל, כי זווית הראש של החרוט נשארת זהה, אך היקף הבסיס שלו הולך וגדל.

טיפות שונות מפזרות צבעים שונים

ברור כי הקשת מורכבת בפועל ממקבץ של קשתות, אחת על גבי השנייה, כל קשת בצבע נפרד: קשת אדומה, קשת כתומה, קשת ירוקה, וכן הלאה. הקשת האדומה נוצרת על ידי מקבץ קשתי של טיפות שמפזרות את כל הצבעים, אלא שמהטיפות האלה רק הצבע האדום בלבד מגיע לעיניים שלכם, וכל שאר הצבעים מפספסים אתכם ועוברים לכם מעל לראש, כי יש להם זווית פיזור קטנה יותר בהשוואה לאדום. אבל אם תרדו "קומה" אחת למטה על גבי מסך הגשם, תגיעו למקבץ נוסף של טיפות, בגובה נמוך יותר, וטיפות אלה מייצרות את הקשת הכתומה. זכרו כי גם טיפות אלה מפזרות את כל הצבעים, אלא שכעת הצבע האדום מפספס אתכם מלמטה (הוא פוגע לכם ברגליים) ודווקא הצבע הכתום פוגש את העיניים שלכם כי יש לו זווית פיזור קטנה יותר, ושאר הצבעים עוברים לכם מעל הראש. כך אתם יכולים לרדת עוד קומה, ועוד קומה על גבי מסך הגשם, ובכל קומה תפגשו מקבץ של טיפות שיפזרו לעיניים שלכם צבע אחר בזווית פיזור שונה. הקומה התחתונה ביותר של הטיפות תייצר את הקשת הסגולה, וכעת כל שאר הצבעים יפספסו אתכם מלמטה!³

הבדלי בהירות מעל ומתחת לקשת

אם תרדו עוד קומה אחת מתחת לקשת הסגולה, תגיעו לטיפות שיוכלו לפזר לכם רק צבעים מתחת לזווית של 40.74^o מעלות. אלא שכעת מדובר בזוויות פיזור מתחת לזווית המקסימלית של הצבע הסגול, ולכן זוויות אלה יכילו את כל הצבעים בבת אחת ונקבל שוב אור לבן! זכרו כי ההבדל בין הצבעים יופיע אך ורק בזווית הפיזור המקסימלית של כל צבע! אך מתחת לזווית הפיזור הנמוכה ביותר (הסגולה), מתקבל מצב בו הטיפות מפזרות את כל הצבעים גם בזוויות נמוכות יותר! לכן מתחת לקשת ניתן לזהות בהירות יתר בהשוואה לאזור שמעל הקשת.

קשת חלקית וקשת שלמה

זווית הפיזור של הקשת שהצגתי למעלה (בסביבות 42 מעלות לערך), זו זווית שנמדדת ביחס לקו שמקביל לקרני השמש ועובר דרך העיניים שלכם. קו זה נקרא: קו הייחוס (Reference line), ומרכז הקשת תמיד יהיה על קו זה. כאשר השמש נמצאת בדיוק מאחוריכם בגובה נמוך מעל האופק, הקרניים שלה מקבילות לקרקע, ולכן קו הייחוס עובר בצמוד לקרקע. במצב זה, הקשת נראית כמו חצי מעגל שהמרכז שלו נוגע בקרקע.

אך יש לזכור כי הקרקע "חוסמת" את הקשת; אם נתרומם מעל הקרקע, הקשת תתרומם ביחד איתנו, שהרי אנו מרימים איתנו ביחד את קו הייחוס ולכן גם את מרכז הקשת. אם נמשיך להתרומם, נגיע לגובה בו נוכל לראות קשת היוצרת מעגל מושלם, כך:

תופעה הפוכה מתרחשת כאשר השמש יותר גבוהה ברקיע. במצב זה, קרני השמש כבר לא מקבילות לקרקע, ולכן גם קו הייחוס אינו מקביל לקרקע. כאמור לעיל, מרכז הקשת תמיד יהיה על קו הייחוס, ולכן מרכז הקשת כעת יהיה "מתחת" לקרקע, והקשת כביכול נדחפת פנימה, עמוק יותר אל תוך האדמה. במצב זה, הקשת לא יוצרת חצי מעגל מלא, אלא רק חלק קטן ממנו, ונראית כאילו היא בולטת קצת מעל הקרקע, כך:

קשת כפולה

בשלב הזה תצטרכו לקחת את כל מה שלמדתם עד עכשיו, ולנסות להבין מה המקור של הקשת הכפולה; אותה קשת עמומה יותר, גדולה יותר, שמופיעה מעל הקשת הרגילה ומקיפה אותה. ללא ספק ראיתם בעבר קשת כפולה, כפי שניתן לראות בתמונה:

ניתן לראות כי לקשת הכפולה, החיצונית, יש שלוש תכונות שמבדילות אותה מהקשת הרגילה, הפנימית:

1. היא עמומה יותר: בהשוואה לקשת הרגילה, את הקשת הכפולה ניתן לראות בצורה פחות ברורה ופחות חדה.
2. היא גדולה יותר: הקשת הכפולה נמצאת על מעגל ברדיוס גדול יותר מהקשת הרגילה.
3. הצבעים הפוכים: אם בקשת הרגילה הסגול למטה והאדום למעלה, בקשת הכפולה המצב מתהפך: האדום למטה והסגול למעלה.

כל ההבדלים הנ"ל נובעים מסיבה אחת פשוטה: הקשת הכפולה נוצרת בגלל החזרה כפולה של קרני האור בתוך הטיפה עצמה; במילים אחרות: בקשת הרגילה האור מוחזר פעם אחת בלבד מהדופן האחורית של הטיפה. בקשת הכפולה, האור מוחזר פעמיים לפני שהוא יוצא החוצה, כך:

הפיזיקה של הקשת הכפולה מאוד דומה לפיזיקה של הקשת הרגילה, לכן אין טעם לחזור על כל ההסברים מהתחלה, אלא רק לפרט מספר דגשים:

1. קרני השמש שיוצרות את הקשת הכפולה פוגעות בחצי התחתון של הטיפה, בניגוד לקרן הרגילה שנוצרת עקב פגיעה בחלק העליון של הטיפה⁴
2. גם בקשת הכפולה לכל צבע יש זווית פיזור מקסימלית, אך מדובר בזווית גבוהה יותר: בין 50.4^o ל- 53.4^o מעלות בערך. זו הסיבה מדוע הקשת הכפולה גדולה יותר, כי היא מפוזרת על ידי טיפות הנמצאות במיקום גבוה יותר על מסך הגשם.
3. ההחזרה הכפולה של קרני האור בתוך הטיפה הופכות את הצבעים: כעת דווקא הצבע האדום נמצא נמוך יותר על הקשת הכפולה (בזווית 50.4^o) והצבע הסגול גבוה יותר (בזווית 53.4^o).
4. התחום הבהיר נמצא כעת מעל הקשת הכפולה, ודווקא התחום החשוך נמצא מתחתיה, בדיוק הפוך בהשוואה לקשת הרגילה. זו הסיבה מדוע בין הקשתות ישנו תחום חשוך הנקרא: רצועת אלכסנדר (Alexander's band) כפי שניתן לראות בתמונה למעלה; הסיבה לכך כעת ברורה: כל הטיפות שמעל הקשת הרגילה לא יכולות לפזר בזווית מעל 42.23^o מעלות (במקרה של החזרה בודדת), אך בו זמנית אותן טיפות עצמן לא יכולות לפזר מתחת לזווית של 50.4 מעלות (במקרה של החזרה כפולה).

סיכום

זהו, למדנו לא מעט, אבל נראה לי שהיה שווה את זה… הפיזיקה של הקשת היא מדהימה, ורק מוסיפה להתפעלות שלנו ממנה!

1. הצבע כחול לעיתים מפוצל לשני צבעים שונים: האחד כחול, והצבע הנוסף דומה לתכלת או טורקיז, הנקרא גם: Cyan או Indigo. [↩]
2. אורכי הגל שנבחרו לצורך חישוב הזווית המקסימלית (בננומטרים): אדום 675, כתום 625, צהוב 575, ירוק 525, כחול 475, סגול 425. [↩]
3. יש להדגיש כי הקשת הכתומה כוללת גם מעט צבע אדום, והסיבה לכך פשוטה: הצבע האדום מתפרש עד לזווית של 42.23 מעלות אך גם פחות מכך, לכן הצבע האדום קיים גם בזווית הפיזור המקסימלית של הצבע הכתום, 42.04 מעלות. אמנם, בזווית הפיזור 42.04, הצבע הכתום בולט יותר וכולל מקבץ צפוף יותר של קרניים כתומות ומקבץ דליל יותר של קרניים אדומות. הסיבה לכך היא עצם העובדה שלכל צבע קיימת מלכתחילה זווית פיזור מקסימלית. אם לכל צבע נשרטט גרף של זווית הפיזור כפונקציה של נקודת הכניסה לטיפה, נגלה שקיימת בגרף נקודת קיצון. בסביבה הקרובה של נקודת הקיצון, נקבל כי שינוי של נקודת הכניסה לטיפה גורר אחריו שינוי מזערי בזווית הפיזור, ולכן לכל צבע יש ריכוז גבוה של קרניים בזווית הפיזור המקסימלית, כי כל הקרניים האלה נכנסו פחות או יותר סביב נקודת כניסה אחת. מכאן נובע, כי בזווית הפיזור הכתומה יש בעיקר קרניים כתומות ומעט אדומות (כאמור לעיל, רוב הקרניים האדומות מפוזרות סביב 42.23 מעלות). העיקרון הנ"ל נכון גם לגבי הקשת הצהובה, שכוללת מעט כתום ואדום יחד. למעשה כל קשת כוללת גם את הצבעים שמעליה אבל בצפיפות נמוכה יותר. [↩]
4. זו טעות כמובן לחשוב כי רק קרניים שפוגעות בחלק העליון של הטיפה עוברות החזרה בודדת, וכמו כן רק קרניים שפוגעות בחלק התחתון של הטיפה עוברות החזרה כפולה; ברור כי גם קרניים שפוגעות בחלק התחתון של הטיפה עוברות החזרה בודדת אלא שקרניים אלה מפוזרות כלפי השמיים ולא כלפי הקרקע. באותו אופן, גם קרניים שפוגעות בחלק העליון של הטיפה עוברות החזרה כפולה אלא שגם קרניים אלה מפוזרות כלפי השמיים ולא כלפי הקרקע. [↩]