בפוסט כאן למדנו על משפטי אי-השלמות של גדל. בפרט ראינו כי גדל הוכיח שאם המתמטיקה עקבית, אז היא לא שלמה: יהיו בה טענות אמת שבלתי ניתן להוכיח. להלן אסקור באופן כללי איך גדל הגיע למסקנה הזו.
ראשית יש לדעת כי טענות במתמטיקה מנוסחות באמצעות מערכת סמלים מיוחדים. למשל, השערת גולדבך טוענת כי כל מספר זוגי גדול מ-2 ניתן להציג כסכום של שני מספרים ראשוניים. בניסוח פורמלי באמצעות סמלים, השערת גולדבך תראה כך:
\(\forall k\in \mathbb{N}-\left[ {0,1} \right]\exists {{p}_{1}},{{p}_{2}}\in \mathbb{P} \Rightarrow\)
\(\Rightarrow 2k={{p}_{1}}+{{p}_{2}}\)
לסמלים הללו יש משמעות מילולית: לכל (\(\forall\)) מספר \(k\) השייך (\(\in\)) למספרים הטבעיים (\(\mathbb{N}\)) חוץ מ-0 ו-1, קיימים (\(\exists\)) שני מספרים \({{p}_{1}},{{p}_{2}}\) השייכים (\(\in\)) למספרים הראשוניים (\(\mathbb{P}\)) כך שמתקיים (\(\Rightarrow\)) שכל מספר זוגי \(2k\) ניתן להצגה כסכום של שני מספרים ראשוניים \({{p}_{1}}+{{p}_{2}}\).
כל טענה מתמטית ניתן לכתוב באמצעות הסמלים האלה.
קורט גדל פיתח שיטה שבה לכל סמל יש מספר. למשל לסמל \(\exists\) יש מספר-גדל 4, לסמל \(=\) יש מספר-גדל 5, לסמל \(+\) יש מספר-גדל 11, וכן הלאה.
גם את המספרים הטבעיים עצמם ניתן לייצג באמצעות מספרי-גדל. אם למשל נרצה לייצג את המספר הטבעי 1 אז נרשום: 0s, עבור המספר 2 נרשום: 0ss, עבור המספר 3 נרשום: 0sss, וכן הלאה. כעת למספר 0 עצמו גדל נתן את מספר-גדל 6 ולסימן s גדל נתן מספר-גדל 7, ולכן גם אם בטענה המתמטית שלנו מופיעים מספרים טבעיים (למשל 3), ניתן לייצג אותם בטענה בעזרת סמלים (למשל 0sss) ולהחליף כל סמל במספר-גדל המיוחד לו.
כעת כל טענה מתמטית המיוצגת באמצעות סמלי המתמטיקה, ניתן לתרגם לטענה המיוצגת באמצעות מספרי-גדל. למשל:
\(x+y=z\)
ל- \(x\) יש מספר-גדל 13, ל- \(y\) יש את 17, ול- \(z\) את 19. (לעיל ראינו כי לסמל \(=\) יש מספר-גדל 5, ולסמל \(+\) יש מספר-גדל 11). כעת לכל הטענה ניתן לייחס מספר-גדל \(g\) על ידי שימוש במספרים הראשוניים לפי הסדר, והעלאת כל מספר ראשוני בסדרה בחזקת מספר-גדל שמייצג כל סמל בטענה. למשל עבור הטענה \(x+y=z\) נקבל:
\(g={{2}^{{13}}}\cdot {{3}^{{11}}}\cdot {{5}^{{17}}}\cdot {{7}^{5}}\cdot {{11}^{{19}}}\)
המספר \(g\) הוא מספר גדול מאוד, אבל הוא מייצג באופן ייחודי את הטענה: \(x+y=z\). במילים אחרות: לא כל מספר טבעי מייצג טענה, אך כל טענה ניתן לייצג באמצעות מספר-גדל יחודי.
כעת גדל הצליח להרכיב טענה מתמטית שמתייחסת לעצמה. גדל הצליח לנסח טענה בעלת מספר-גדל \(G\), שבעצם טוענת:
לא קיימת הוכחה לטענה עם מספר-גדל \(G\)
זכרו כי לטענה הזו עצמה יש מספר-גדל \(G\)! כעת אם נניח כי הטענה שקרית, ואכן קיימת הוכחה, אז הוכחה שכזו מוכיחה שאין הוכחה. הגענו לסתירה, וזה לא טוב, כי זה אומר שהמתמטיקה לא עקבית.
האפשרות השניה היא להניח כי המתמטיקה עקבית, ולא ייתכנו סתירות, ולכן הטענה לעיל אמיתית. אבל אם היא אמיתית והיא בעצמה טוענת שאין לה הוכחה, סימן שהמתמטיקה לא שלמה, כי יש בה טענות אמת שלא ניתן להוכיח.