בפוסט כאן למדנו על הקשר בין התנע של שדה אלקטרומגנטי לבין האנרגיה של השדה. להלן ההוכחה:
בשלב הראשון יש להציג את הקשר בין וקטור פוינטינג (Poynting vector) לבין צפיפות התנע של שדה אלקטרומגנטי. וקטור פוינטינג מתאר את שטף האנרגיה של שדה אלקטרומגנטי ליחידת שטח וליחידת זמן, ומוגדר כך:
\(\displaystyle {\vec{S} = \frac{1}{\mu_0} \vec{E} \times \vec{B}}\)
כאשר:
- \({\vec{S}}\) הוא וקטור פוינטינג (Poynting vector),
- \({\vec{E}}\) הוא השדה החשמלי,
- \({\vec{B}}\) הוא השדה המגנטי,
- \({\mu_0}\) הוא קבוע הפרמאביליות של הריק.
צפיפות התנע של השדה האלקטרומגנטי (כלומר, התנע ליחידת נפח) נתון על ידי:
\(\displaystyle {\vec{g} = \frac{\vec{S}}{c^2}}\)
כלומר:
\(\displaystyle {\vec{g} = \frac{1}{\mu_0 c^2} \vec{E} \times \vec{B}}\)
זהו הקשר הישיר בין וקטור פוינטינג לבין צפיפות התנע של השדה. את הקשר הנ"ל הוכיח המתמטיקאי הצרפתי הנרי פואנקרה, ואת ההוכחה המלאה ניתן למצוא בקישור כאן.
בשלב השני יש להציג את הקשר בין צפיפות האנרגיה של שדה אלקטרומגנטי לבין השדות החשמלי והמגנטי. צפיפות האנרגיה \({u}\) של שדה אלקטרומגנטי בריק ניתנת על ידי הסכום של התרומות מהשדה החשמלי ומהשדה המגנטי:
\(\displaystyle {u = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2 + \frac{1}{2\mu_0} B^2}\)
כאשר:
- \({\varepsilon_0}\) הוא קבוע הפרמיטיביות של הריק,
- \({E}\) הוא גודל השדה החשמלי (גודל סקאלרי, כלומר הערך המוחלט של הוקטור),
- \({B}\) הוא גודל השדה המגנטי.
בשלב השלישי נמצא את הקשר בין צפיפות האנרגיה לצפיפות התנע. עבור גל מישורי אלקטרומגנטי המתפשט בריק, מתקיים:
\(\displaystyle {B = \frac{E}{c}}\)
נשתמש בעובדה זו כדי להציב במשוואות מהסעיפים הקודמים.
הצבה בצפיפות האנרגיה:
\(\displaystyle {u = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2 + \frac{1}{2\mu_0} \left( \frac{E}{c} \right)^2 =}\)
\(\displaystyle {= \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2 + \frac{1}{2\mu_0} \frac{E^2}{c^2}}\)
כעת נזכיר כי:
\(\displaystyle {\frac{1}{\mu_0 c^2} = \varepsilon_0}\)
לכן:
\(\displaystyle {u = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2 + \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2 = \varepsilon_0 E^2}\)
נציב בצפיפות התנע:
\(\displaystyle {\vec{g} = \frac{1}{\mu_0 c^2} \vec{E} \times \vec{B} =}\)
\(\displaystyle {= \frac{1}{\mu_0 c^2} \vec{E} \times \left( \frac{\vec{E} \times \hat{k}}{c} \right)}\)
ונקבל:
\(\displaystyle {\vec{g} = \frac{1}{\mu_0 c^3} \vec{E} \times (\vec{E} \times \hat{k}) = \frac{E^2}{\mu_0 c^3} \hat{k}}\)
ומאחר שראינו כי \({u = \varepsilon_0 E^2}\), נקבל:
\(\displaystyle {\vec{g} = \frac{u}{c} \hat{k}}\)
כלומר:
\(\displaystyle {\vec{g} = \frac{u}{c} \hat{k}}\)
כאשר \({\hat{k}}\) הוא כיוון ההתקדמות של הגל האלקטרומגנטי.
בשלב הרביעי נחשב את האנרגיה והתנע הכוללים. יש להבחין בין צפיפות אנרגיה וצפיפות תנע לבין האנרגיה הכוללת והתנע הכולל של השדה. כדי לחשב את הגדלים הכוללים בתוך נפח מסוים \({V}\), מבצעים אינטגרציה על פני כל הנפח:
האנרגיה הכוללת של שדה בתוך נפח מסוים:
\(\displaystyle {U = \int_V u \, dV}\)
התנע הכולל של השדה בנפח מסוים:
\(\displaystyle {\vec{P} = \int_V \vec{g} \, dV}\)
לכן, הקשרים שהצגנו עד כה מתייחסים לצפיפות תנע וצפיפות אנרגיה (אלו גדלים מקומיים), אך ניתן בקלות לעבור מהם לגדלים כלליים על ידי אינטגרציה, כאשר התוצאה תקיים את אותו היחס:
\(\displaystyle {\vec{P} = \frac{U}{c} \hat{k}}\)