חישוב מקדם האלסטיות של קליפת דייסון

בפוסט כאן ראינו כי קליפת דייסון חייבת להיות עשויה מחומר מספיק חזק כדי לעמוד במאמצים ובלחץ כדי לא לקרוס פנימה ולהתפרק. נוכל להעריך את מידת החוזק של החומר על ידי חישוב פרמטר הנקרא: מקדם האלסטיות (Young modulus). את המאמר המלא בנושא ניתן למצוא בקישור כאן.

עבור קליפה בעובי \(d\) עם רדיוס \(R\), ניתן לחשב את הלחץ המקסימלי שהקליפה יכולה לעמוד בו על ידי הנוסחה הבאה:

\(\displaystyle {{P}_{{\max }}}=E\cdot {{\left( {\frac{d}{R}} \right)}^{2}}\)

כאשר \(E\) נקרא מקדם האלסטיות ומשמש כמדד לחוזק המכני של החומר. כעת נחשב את הלחץ המופעל על הקליפה עקב כוח הכבידה של השמש. הלחץ הוא הכוח ליחידת שטח, לכן אם מסת הקליפה היא \(m\) ומסת השמש היא \(M\), אז הלחץ על הקליפה שווה לכוח הכבידה שמפעילה השמש לחלק לשטח הקליפה \(A\):

\(\displaystyle P=\frac{{GMm}}{{A\cdot {{R}^{2}}}}\)

כל מה שצריך לעשות הוא להשוות בין \(P\) לבין \({{P}_{{\max }}}\) ולמצוא מה הערך המינימלי של \(E\) כדי שהקליפה לא תתמוטט. נקבל כי מקדם האלסטיות חייב להיות לפחות: \(E=1.3\cdot {{10}^{{23}}}\left[ {\text{Pa}} \right]\). למקדם האלסטיות יש יחידות של פסקל, כלומר: כוח ליחידת שטח, או אנרגיה ליחידת נפח, זה אותו דבר.

אפילו מקדם האלסטיות של קרביין (Carbyne), החומר המלאכותי החזק ביותר הידוע לנו כיום, קטן פי מיליארד ממקדם האלסטיות הנדרש של הקליפה. כפי הנראה, אין חומר מספיק חזק שאנו מכירים שיכול לענות על הדרישות.

אמנם הגדלת העובי של הקליפה יוסיף לה יציבות כנגד הלחצים הפנימיים, אבל הפער במקדם האלסטיות הוא כל כך גדול, עד כדי כך שאפילו עיבוי הקליפה לא יעזור כלל. חישוב פשוט על ידי הנוסחאות למעלה מראה שאפילו אם עובי הקליפה יהיה 100 ק"מ, עדיין מקדם האלסטיות הנדרש יהיה גדול מדי ומסת הקליפה עצמה תהיה גדולה יותר ממסת השמש. במצב שכזה, כוח הכבידה של הקליפה עצמה יגרום לה לקריסה מוחלטת.