חישוב הצפיפות המשטחית של מפרש-אור

בפוסט כאן למדנו כי ניתן לייצר מפרש-אור ולתכנן אותו כך שמיקומו ביחס למרכז השמש לא ישתנה. במילים אחרות: המפרש לא יסתובב סביב השמש במסלול, אלא "יעמוד" מול השמש באופן סטטי. אמנם, כדי שלחץ הקרינה על המפרש יאזן באופן מושלם את כוח הכבידה שפועל על המפרש, יש לייצר את המפרש מחומר בעל צפיפות קטנה במיוחד, ולהלן נחשב מה צריכה להיות צפיפות זו.

נתחיל בחישוב לחץ הקרינה \(P\) על המפרש:

\(\displaystyle P=\frac{1}{c}\cdot \frac{L}{{4\pi {{R}^{2}}}}\)

כאשר \(c\) זה מהירות האור, \(L\) זה הספק השמש הכולל ו- \(R\) זה המרחק מהשמש למפרש.

אם שטח המפרש הוא \(A\), אז הכוח על המפרש עקב לחץ הקרינה הוא:

\(\displaystyle {{F}_{P}}=P\cdot A=\frac{A}{c}\cdot \frac{L}{{4\pi {{R}^{2}}}}\)

על המפרש פועל גם כוח הכבידה מהשמש:

\(\displaystyle {{F}_{G}}=\frac{{GMm}}{{{{R}^{2}}}}=\frac{{GM}}{{{{R}^{2}}}}\cdot \sigma A\)

כאשר \(\sigma \) זו הצפיפות המשטחית של המפרש, \(M\) זו מסת השמש, ו- \(G\) זה קבוע הכבידה.

אם נשווה בין הכוחות, נוכל לבודד את הצפיפות:

\(\displaystyle \sigma =\frac{1}{{4\pi c}}\cdot \frac{L}{{GM}}\)

על ידי הצבת הנתונים המתאימים נקבל כי:

\(\displaystyle \sigma=\frac{1}{{4\pi \cdot 3\cdot {{{10}}^{8}}}}\cdot \frac{{3.83\cdot {{{10}}^{{26}}}}}{{6.67\cdot {{{10}}^{{-11}}}\cdot 2\cdot {{{10}}^{{30}}}}}=0.76\left[ {\frac{g}{{{{m}^{2}}}}} \right]\)