בפוסט כאן למדנו על האנטרופיה והטמפרטורה של חור שחור. להלן נראה כיצד לגזור את הטמפרטורה מתוך האנטרופיה.
אופק האירועים של חור שחור1 הוא מעטפת כדורית עם רדיוס:
\(\displaystyle R_s = \frac{2 \cdot G \cdot M}{c^2}\)
שטח הפנים של כדור ברדיוס \(R_s\) הוא:
\({A = 4 \pi R_s^2}\)
נציב את \(R_s\) בתוך נוסחת השטח ונקבל:
\(\displaystyle {A = 4 \pi \left( \frac{2 G M}{c^2} \right)^2 = \frac{16 \pi G^2 M^2}{c^4}}\)
האנטרופיה של חור שחור כפונקציה של שטח הפנים של אופק האירועים היא:
\(\displaystyle {S = \frac{k_B \cdot c^3 \cdot A}{4 \cdot G \cdot \hbar}}\)
כעת נציב את הביטוי \(A\) שקיבלנו למעלה לתוך נוסחת האנטרופיה ונקבל:
\(\displaystyle {S = \frac{k_B \cdot c^3}{4 \cdot G \cdot \hbar} \cdot \left( \frac{16 \pi G^2 M^2}{c^4} \right)}\)
לאחר צמצום איברים נקבל את האנטרופיה כתלות במסה:
\(\displaystyle {S = \frac{8 \pi \cdot k_B \cdot G}{\hbar \cdot c} \cdot M^2}\)
לפי החוק הראשון של התרמודינמיקה, הקשר בין טמפרטורה לאנטרופיה הוא:
\(\displaystyle {\frac{1}{T} = \frac{d S}{d E}}\)
מכיוון ש- \({E = M c^2}\), נובע ש- \({d E = c^2 d M}\). ולכן על פי כלל השרשרת נקבל:
\(\displaystyle {\frac{1}{T} = \frac{d S}{c^2 d M} = \frac{1}{c^2} \cdot \frac{d S}{d M}}\)
כעת נחשב את הנגזרת של \(S\) לפי \(M\) ונקבל:
\(\displaystyle {\frac{d S}{d M} = \frac{16 \pi \cdot k_B \cdot G \cdot M}{\hbar \cdot c}}\)
נציב את הנגזרת הנ"ל בחוק הראשון של התרמודינמיקה:
\(\displaystyle {\frac{1}{T} = \frac{1}{c^2} \cdot \left( \frac{16 \pi \cdot k_B \cdot G \cdot M}{\hbar \cdot c} \right) =}\)
\(\displaystyle {= \frac{8 \pi \cdot k_B \cdot G \cdot M}{\hbar \cdot c^3}}\)
נחלץ את הטמפרטורה ונקבל:
\(\displaystyle {T = \frac{\hbar \cdot c^3}{8 \pi \cdot G \cdot M \cdot k_B}}\)
- כדורי, מסוג שוורצשילד [↩]