חור שחור: חם או קר?

במאמר הקודם סיפרתי לכם על הקרינה שנפלטת מחורים שחורים, קרינה שנקראת על שמו של הפיזיקאי סטיבן הוקינג. בנוסף, ראינו כיצד קרינת הוקינג – בניגוד לאינטואיציה – לאט לאט מרוקנת חורים שחורים "מבפנים" כביכול, עד שהם נעלמים לחלוטין.

במאמר הנוכחי אני רוצה לספר לכם מה הביא את הוקינג לחפש את הקרינה הזו מלכתחילה. מדובר בסיפור מרתק, כזה שהופך את הפיזיקה וכל מה שמסביב לה לסוג של סדרת דרמה. כשתסיימו לקרוא אתם תגלו כי מאחורי כל הפיזיקה המורכבת הזו, מאחורי כל המאמרים עמוסי המתמטיקה בז'ורנלים המובילים בתחום, מסתתר סיפור רקע עם אגו ותחרות מצד אחד, אבל גם לא מעט תעוזה ויושר אינטלקטואלי. ועל הדרך אתם תלמדו המון פיזיקה חדשה ומפתיעה.

אוקיי, בואו נתחיל.

---

בשנת 1972, התקיים כנס של פיזיקאים בעיירה הצרפתית לֶה-אוּש (Les Houches).¹ בכנס זה נולדה לה דרמה אינטלקטואלית שתגיע לסיומה באחת מהתחזיות המהפכניות של המחצית השנייה של המאה ה-20.

בכנס שהוקדש כולו למחקר על חורים שחורים, השתתף פיזיקאי צעיר בן 25 בשם: יעקב בקנשטיין, שבדיוק סיים את הדוקטורט שלו באוניברסיטת פרינסטון מספר חודשים לפני הכנס. מעט לפני הטקס, בקנשטיין פרסם מאמר שבו הוא הציג רעיון שנחשב אז לסוג של חוצפה מדעית. הרעיון הנ"ל לא ממש מצא חן בעיני משתתף אחר שנכח באותו כנס: סטיבן הוקינג בכבודו ובעצמו.

הרעיון של בקנשטיין היה סך הכל פשוט: הוא הציע כי לחור שחור יש אנטרופיה.²

טוב, אני מניח שאתם כבר יודעים מה זה חור שחור. אבל מה זו אנטרופיה? המושג הנ"ל שווה מאמר בפני עצמו, אבל לצורך הדיון כאן אעשה את זה קצר. להלן הגדרה טכנית של אנטרופיה בצירוף הסבר פשוט:

אנטרופיה של מערכת היא מדד לכמות המצבים המיקרו-סקופיים שמהם ניתן להגיע למצב מאקרו-סקופי נתון.

כדי להבין מה לעזאזל אמרתי עכשיו, אפשר לחשוב על הדוגמה הפשוטה הבאה: דמיינו שאתם מטילים זוג קוביות. לכל תוצאה שתקבלו אפשר לייחס אנטרופיה על פי מספר האפשרויות שיש לכם לקבל את אותה התוצאה. באנלוגיה הזו, תוצאת ההטלה היא המצב המאקרו-סקופי, ומספר האפשרויות השונות לקבל את תוצאת ההטלה אלה המצבים המיקרו-סקופיים. לדוגמה:

1. אם הטלתם את הקוביות וקיבלתם 11, אז זו תוצאה עם אנטרופיה יחסית נמוכה, כי יש רק 2 אפשרויות לקבל 11 עם זוג קוביות: (5,6) (6,5), כלומר: קוביה אחת 5 והשנייה 6, ולהיפך.
2. לעומת זאת, אם הטלתם זוג קוביות וקיבלתם 7, אז לתוצאה זו יש אנטרופיה מאוד גבוהה, כי יש 6 אפשרויות שונות לקבל תוצאה של 7, הנה: (6,1) (5,2) (4,3) (3,4) (2,5) (1,6).
3. לתוצאה של 6 יש אנטרופיה קצת יותר נמוכה, כי יש רק 5 אפשרויות: (5,1) (4,2) (3,3) (2,4) (1,5)
4. לתוצאה של 12 יש אנטרופיה מאוד נמוכה, כי יש רק אפשרות אחת לקבל תוצאה כזו: (6,6)

הבנתם? בדרך זו ניתן לייחס אנטרופיה לכל מערכת שתרצו, לדוגמה: כוס תה חם. בפעם הבאה שאתם מחזיקים ביד ספל תה, אל תשכחו שאתם מחזיקים אנטרופיה: יש מספר עצום של מצבים מיקרוסקופיים שמולקולות הנוזל יכולות להיות בהם, וכל אחד מהמצבים האלה יכול לייצר בדיוק את התה שמונח לכם על השולחן, עם אותה טמפרטורה ואותו נפח וכו'.

אלה היו 60 שניות על אנטרופיה, וכעת נחזור לחורים שחורים.

בזמן שבקנשטיין עשה את הדוקטורט באוניברסיטת פרינסטון, הוא מצא את עצמו מהרהר בשאלה שהציג בפניו המנחה שלו, הפיזיקאי ג'ון וילר, והיא: מה יקרה אם נשליך כוס תה לתוך חור שחור? (כוס התה האמורה כאן אינה המצאה שלי; זו באמת השאלה שוילר הציג לבקנשטיין).

מה שהטריד אותם אינו גורל התה כמובן, אלא גורל האנטרופיה. במילים פשוטות: אם לחור שחור אין אנטרופיה, אז זה אומר כי האנטרופיה של התה פשוט נעלמת מהיקום? מבחינתו של בקנשטיין, אנטרופיה שנעלמת סתם כך מפירה את החוק השני של התרמודינמיקה, חוק שקובע כי האנטרופיה של מערכת סגורה ומבודדת מהסביבה יכולה רק לגדול.

בהנחה שהיקום כולו הוא מערכת סגורה ומבודדת (כולל כל החורים שחורים וכוסות התה שבתוכו), אז לא ייתכן שהאנטרופיה הכוללת של היקום תקטן. אבל אם אין לחורים שחורים אנטרופיה, אז לאן נעלמת האנטרופיה של כל החומר שהם בולעים? מצב שכזה יגרום לסך האנטרופיה ביקום לקטון, וזהו חילול הקודש הפיזיקלי הגדול ביותר; אף אחד, אבל אף אחד לא מתעסק עם החוק השני של התרמודינמיקה!

עקב כך, בקנשטיין הציע כי האנטרופיה של כוס התה לא נעלמת כלל וכלל, להיפך: היא מתווספת ישירות לאנטרופיה הקיימת של החור. בנוסף, הוא הציע כי האנטרופיה של חור שחור תהיה פרופורציונלית לשטח הפנים של אופק האירועים שלו (תזכורת: אופק האירועים הוא הבועה הכדורית שמקיפה את החור שכל מה שנכנס לתוכה אינו יכול לצאת).

עבור הפיזיקאים בכנס בצרפת – ובמיוחד עבור הוקינג – מדובר היה בהרהורי כפירה.

ראשית, כל פיזיקאי דרדק בתואר ראשון יודע שאנטרופיה של גוף פרופורציונלית לנפח של הגוף, ולא לשטח הפנים שלו, אז מאיפה בקנשטיין הביא את הקטע הזה עם השטח, זה לא ברור.

שנית, כל פיזיקאי זב-חוטם יודע דבר נוסף: אם לגוף יש אנטרופיה, אז יש לו גם טמפרטורה. למעשה, הטמפרטורה של גוף מחושבת ישירות מתוך האנטרופיה שלו. ואם למערכת יש טמפרטורה, היא מחויבת על פי חוקי התרמודינמיקה לפלוט קרינה תרמית. מכאן נובע כי אם לחור שחור יש אנטרופיה – כמו שמציע בקנשטיין – אז חייבת להיות לו גם טמפרטורה, ואם יש לו טמפרטורה הוא חייב לפלוט קרינה, כמו כל גוף אחר שפולט קרינה בהתאם לטמפרטורה בה הוא נמצא.

להזכירכם, כל חומר פולט קרינה בהתאם לטמפרטורה שלו. גחל במנגל פולט קרינה, אבל גם קובית קרח פולטת קרינה, ההבדל בין השניים הוא רק בהרכב אורכי-הגל של הקרינה: הגחל פולט קרינה בתחום הנראה, וקובית הקרח בתחום הבלתי נראה. גם אתם עכשיו פולטים קרינה, וגם הכסא שעליו אתם יושבים, וגם הפלאפון שאתם מחזיקים ביד, וכל אובייקט אחר מסביבכם פולט קרינה. זו הסיבה מדוע מצלמות תרמיות יכולות לצלם גם בחושך; המצלמה פשוט אוספת את הקרינה התרמית שנפלטת מאובייקטים, וכך אפשר לזהות אובייקטים חמים בסביבה קרה, גם בחושך.

בקיצור, הוקינג לא ממש אהב את הרעיון של בקנשטיין. מבחינתו, חור שחור ניתן לייצוג באמצעות שלושה פרמטרים בלבד: מסה, מטען חשמלי ותנע זוויתי, והערכים של שלושת הפרמטרים הנ"ל קובעים את המצב המאקרו-סקופי של החור. אבל פה זה נגמר, כי לחור שחור אין "מבנה פנימי", אין מצבים מיקרו-סקופיים בתוך החור שיכולים להסתדר או להתארגן בקוניפגורציות שונות. המשמעות היא שלחור שחור אין אנטרופיה ואין טמפרטורה, וזהו.

המתח הגיע לשיאו במהלך אחת ההפסקות בכנס, כאשר הוקינג אסף שתי קולגות שלו, ופיזיקאים בכירים בזכות עצמם – ברנדון קרטר (Brandon Carter) וג'יימס ברדין (James Bardeen) – ויצא להתעמת עם בקנשטיין פנים אל פנים. בקנשטיין הצעיר מצא את עצמו בעמדת נחיתות מובהקת, שעוררה בו ספקות לא קטנים בצדקת דרכו. שנים לאחר מכן בקנשטיין תיאר את התחושה באותו רגע: "הם היו שלושה פיזיקאים בכירים, ואני רק סיימתי את הדוקטורט שלי. במצב שכזה אתה רק דואג איך לא לצאת טיפש".

בקשנטיין מצידו, התעקש כי החור השחור אינו מעלים את האנטרופיה אלא פשוט מאחסן או מקודד אותה על שטח הפנים של אופק האירועים שלו. כאשר כוס תה נופלת פנימה, שטח אופק האירועים גדל, ואיתו גדלה גם האנטרופיה של החור בדיוק בשיעור המתאים כדי לפצות על האנטרופיה שאבדה לעולם שבחוץ. במילים פשוטות: שטח אופק האירועים הוא-הוא האנטרופיה של החור השחור.

מכל מקום, הוקינג לא השתכנע מהטיעונים של בקנשטיין. אבל מצד שני, הוקינג יודע כי שיחות בכנסים זה נחמד, אבל בפיזיקה מדברים רק במתמטית. הדיון בכנס עם בקנשטיין הסתיים ללא הכרעה, והוקינג עזב את הכנס נחוש בדעתו לחזור לקמברידג' ולהוכיח מתמטית לבקנשטיין שהוא טועה.

אף אחד לא דמיין שדווקא הניסיון הזה להפריך את הרעיון המשוגע של הפיזיקאי הצעיר, יוביל את הוקינג אל את אחת מתגליותיו הגדולות ביותר. ומעשה שהיה כך היה:

הוקינג אכן חזר לקמברידג', ובשלב הראשון חזר שנית על הטענה שלו כי לחור שחור אין אנטרופיה וגם לא טמפרטורה. בשנת 1973 – שנה לאחר הכנס – הוקינג פרסם מאמר שבו הוא מתייחס ישירות לתחזית של בקנשטיין בתור טעות. את המאמר הוקינג כתב ביחד עם ברדין וקרטר (שני חבריו מהכנס בצרפת שנה קודם לכן, זוכרים?), והנה ציטוט:

לחור שחור אין טמפרטורה, או אם תרצו: הטמפרטורה של חור שחור היא האפס המוחלט … כל טמפרטורה שאינה האפס המוחלט הייתה מחייבת את החור לפלוט קרינה תרמית … כך נוצר מצב שבו ניתן להכניס לחור אנטרופיה מבחוץ, שנעלמת בתוכו מבלי להשפיע עליו … במובן זה, נראה כי חור שחור הוא אובייקט שלא מציית לחוק השני של התרמודינמיקה.³

זה לא פשוט להיות פיזיקאי צעיר ולקרוא מאמר שבו הוקינג מכריז שאתה טועה. אך רצה הגורל, ושנה לאחר מכן, הוקינג בעצמו עשה לבקנשטיין את העבודה. מה גרם למהפך?

ובכן, עד עכשיו הוקינג לא לקח בחשבון את מכניקת הקוונטים. כל העבודה שהוקינג ביצע עד לרגע זה בכל מה שקשור לחורים שחורים, לקחה בחשבון רק את תורת היחסות הכללית של איינשטיין, וזהו. אך בשנת 1974, הוקינג החליט לקח צעד אחד קדימה, וביקש להוכיח מתמטית שגם אם לוקחים בחשבון את חוקי מכניקת הקוונטים, עדיין נקבל כי חורים שחורים נותרים "שחורים" לחלוטין. לצורך כך, הוא ניסה להבין כיצד השדות הקוונטים שמסביב לחור מתנהגים בנוכחות העקמומיות הקטסטרופלית של המרחב-זמן שיוצר החור (במאמר הקודם דיברנו על כך בהרחבה).

אולם ככל שהוקינג העמיק בחישובים, התרחש טוויסט בעלילה: הוקינג גילה כי במרחב-זמן שסביב החור נוצרת קרינה שנדחפת החוצה! לימים הוקינג תיאר את התחושות שלו באותם רגעים כשילוב של "הפתעה ועצבנות"; הוא היה בטוח בתחילה שמדובר בטעות חישוב, אך המתמטיקה לא וויתרה, ולך תתווכח עם מתמטיקה עקשנית. ברגע אחד, חורים חורים שחורים הפכו ליצור חדש לגמרי: במקום אובייקט חשוך ונצחי, חור שחור הפך להיות "תפוח אדמה לוהט", פשוטו כמשמעו. במילים אחרות: אם קרינת הוקינג היא העשן, אז אין עשן בלי אש, והחור שחור הוא המדורה.

אך התגלית המרעישה באמת התרחשה כאשר הוקינג ניתח את ספקטרום הקרינה, כלומר: את הרכב אורכי-הגל של אותה קרינה חדשה שרק עכשיו גילה. התוצאה הייתה לא פחות ממדהימה: התברר כי התפלגות אורכי הגל של קרינת הוקינג תואמת במדויק את ההתפלגות של קרינה תרמית! במילים פשוטות: קרינת הוקינג זהה אחד לאחד לקרינה שהייתה נפלטת מגוש חומר רגיל עם טמפרטורה ידועה. אין מנוס מהמסקנה: נראה כי לחור שחור יש טמפרטורה מוגדרת וברורה התלויה אך ורק במסה שלו, והוא פולט קרינה תרמית בהתאם לטמפרטורה שבה הוא נמצא.

עד לאותו רגע, בקנשטיין יכול היה רק להעריך כי האנטרופיה של חור שחור צריכה להיות פרופורציונלית לשטח אופק האירועים, אך לבקנשטיין לא היו את הכלים לקבוע את מקדם הפרופורציה המדויק. הוקינג סגר את הקצוות של הדרמה הזו, וחישב באופן מלא את הנוסחה המתמטית שקושרת בין האנטרופיה \(S\) של חור שחור לבין שטח הפנים של אופק האירועים \(A\), נוסחה שהיום נקראת בפשטות: נוסחת בקנשטיין-הוקינג. כך היא נראית:

\(\displaystyle {S = \frac{k_B \cdot c^3 \cdot A}{4 \cdot G \cdot \hbar}}\)

כאשר \(c\) זה מהירות האור, \(\hbar\) זה קבוע פלנק, \(G\) זה קבוע הגרביטציה ו- \(k_B\) זה קבוע בולצמן.

כך יצא ובשנת 1974 – שנתיים לאחר הכנס ושנה אחרי שהוקינג הכריז כי בקנשטיין טועה – הוקינג פרסם מאמר עם הכותרת: "האם חורים שחורים מתפוצצים?" (די ברור שהוקינג ידע איך לעשות קליקבייט).⁴ במאמר, הוקינג הציג את הנוסחה המתמטית לחישוב האנטרופיה של חור שחור. מתוך הנוסחה של האנטרופיה, הוקינג המשיך בקלות לחשב את הטמפרטורה של החור, ולבסוף הוקינג הראה כי לקרינה הנפלטת מהחור יש חתימה תרמית שמתאימה בדיוק לטמפרטורה של החור.⁵

כזכור, עם הזמן הקרינה הנ"ל מרוקנת את האנרגיה (והמסה) האגורה בחור השחור, וכך לאט לאט החור הולך ומתנדף לו, עד שנעלם בפיצוץ מרהיב.⁶

עם יד על הלב, אי אפשר שלא להתרשם מהדרך שבה כל הסיפור הזה התפתח… התגלית המפורסמת ביותר של הוקינג מבוססת על הרעיון שהוא עצמו ניסה להפריך! פיזיקה במיטבה.

סיכום

מכל ההישגים של הוקינג בכל הקריירה הארוכה שלו, זו הנוסחה שהוא אהב יותר מכל, נוסחת האנטרופיה של חור שחור. הוקינג כל כך אהב אותה, עד כדי כך שביקש לחרוט את הנוסחה הנ"ל על המצבה שלו לאחר פטירתו.⁷

הוקינג נפטר בשנת 2018 והאפר של גופתו טמון במנזר וסטמינסטר שבאגליה, בדיוק בין קבריהם של אייזק ניוטון וצ'ארלס דרווין. על מצבת הקבר של הוקינג אכן חרוטה משוואה, אך לא בדיוק המשוואה שהוקינג ביקש… מסתבר כי אלה שהיו אחראים על עיצוב המצבה, החליטו לא לחרוט את משוואת האנטרופיה (למה??), אלא דווקא את המשוואה שקושרת בין הטמפרטורה של חור שחור לבין המסה שלו.

מבחינה עקרונית, הקשר בין שתי המשוואות הדוק, ואת משוואת הטמפרטורה ניתן לגזור ישירות מתוך משוואת האנטרופיה, אך עדיין לא ברור לי מה עבר להם בראש. אם מתחשק לכם לראות איך הוקינג הגיע למשוואת הטמפרטורה מתוך האנטרופיה, היכנסו לקישור כאן. בשורה התחתונה, כך נראית משוואת הטמפרטורה \(T\) של חור שחור כתלות במסה \(M\) של החור:

\(\displaystyle {T = \frac{\hbar \cdot c^3}{8 \pi \cdot G \cdot M \cdot k_B}}\)

כפי שאמרתי במאמר הקודם, לתגליות הגדולות של הוקינג (ובקנשטיין) בכל מה שקשור לחורים שחורים – הקרינה, האנטרופיה והטמפרטורה – יש חשיבות מיוחדת בפיזיקה. כזכור, הוקינג ניסה כל חייו למצוא את "התיאוריה של הכל", זו שתיתן לפיזיקאים מענה לכל תחומי הפיזיקה בו-זמנית.

במשימה הזו הוקינג נכשל, אבל הוא כן הצליח להושיט יד ולקרוע מתוך "התיאוריה של הכל" כמה חתיכות. אם יום אחד נמצא את "התיאוריה של הכל", הנוסחאות שלה יראו כמו הנוסחאות של הוקינג.

אם תסתכלו על נוסחת האנטרופיה (והטמפרטורה) של חור שחור, תראו כי היא כוללת בתוכה ארבעה קבועי יסוד בפיזיקה, כך שהיא הופכת לגשר ראשון מסוגו בהיסטוריה של המדע, שבו לוחצים ידיים ארבעת עמודי התווך של הפיזיקה. להלן הקבועים שמופיעים בנוסחאות של הוקינג:

1. קבוע הגרביטציה \(G\): זה הקבוע שעומד בבסיס של כל המכניקה הניוטונית.
2. מהירות האור \(c\): הקבוע בה"א הידיעה של כל תורת היחסות של איינשטיין.
3. קבוע פלנק \(\hbar\): הקבוע החשוב ביותר במכניקת הקוונטים.
4. קבוע בולצמן \(k_B\): הקבוע שעומד בבסיס כל התרמודינמיקה.

המפגש הזה בין תחומים נפרדים בפיזיקה בתוך משוואה אחת הוא בעל משקל פילוסופי כבד; הוא מעיד על כך שהפרדת המדע לתחומים שונים היא אולי אילוץ נוכחי של מגבלות ההבנה האנושית, בעוד שבטבע עצמו הכל מאוחד. עצם קיומה של הנוסחה נותן לנו ביטחון שאי שם אכן מסתתרת לה "תיאוריה של הכל" הממתינה להתגלות, שבה הכל יתמזג לכדי מסגרת אחת.

לסיכום, מדובר במסע מרתק, שמתחיל בכוס תה דמיונית שנזרקת לחור שחור, ומסתיים בנוסחאות שנראה כאילו נגנבו ישירות מתוך תיאוריה כוללת נסתרת; מסע שמדגים בצורה מעולה כיצד הפיזיקה התיאורטית מתפתחת.

1. 23rd session of the Les Houches Summer School of Theoretical Physics [↩]
2. ליתר דיוק, הרעיון המהפכני של בקנשטיין לא נאמר במפורש במאמר שהוא פרסם לפני הכנס, שנקרא: Nonexistence of Baryon Number for Static Black Holes, אבל הוא נרמז בו. לכנס עצמו בקנשטיין הגיע עם טיוטא של מאמר חדש, שבו הוא מציג את הרעיון שלו בצורה מפורטת, ואת המאמר הזה בקנשטיין פרסם לאחר הכנס: Black Holes and Entropy [↩]
3. In fact the effective temperature of a black hole is absolute zero. One way of seeing this is to note that a black hole cannot be in equilibrium with black body radiation at any non-zero temperature, because no radiation could be emitted from the hole whereas some radiation would always cross the horizon into the black hole. If the wavelength of the radiation were very long, corresponding to a low black body temperature, the rate of absorption of radiation would be very slow, but true equilibrium would be possible only if there were no radiation present at all, i.e. if the external black body radiation temperature were zero … The fact that the effective temperature of a black hole is zero means that one can in principle add entropy to a black hole without changing it in any way. In this sense a black hole can be said to transcend the second law of thermodynamics [↩]
4. [Black hole explosions? Nature volume 248, pages 30–31 (1974)] [↩]
5. כשהחור השחור פולט קרינת הוקינג, האנטרופיה שלו יורדת כי השטח קטן. אבל הקרינה שהוא פולט החוצה היא עצמה יוצרת אנטרופיה מחוץ לחור השחור. מבחינה מתמטית ניתן להראות כי האנטרופיה שמתווספת ליקום דרך הקרינה תמיד גדולה יותר מהאנטרופיה שהחור השחור מאבד כשהשטח שלו קטן. [↩]
6. קרינת הוקינג גורמת לחור שחור לאבד מסה ולהיות קטן יותר. עקב כך, שטח הפנים של אופק האירועים הולך וקטן ודווקא הטמפרטורה הולכת וגדלה. ככל שהחור נהיה קטן יותר, כך הוא נהיה יותר חם. [↩]
7. בדומה לפיזיקאי לודוויג בולצמן, מאבות התרמודינמיקה, שעל קברו חרוטה ההגדרה של אנטרופיה מפיזיקה קלאסית. [↩]