חישוב זמן נפילה דרך מרכז כדור הארץ

בפוסט כאן ראינו כיצד ניתן להגיע מכל נקודה על פני כדור הארץ אל הנקודה האנטיפודית שלה על ידי נפילה חופשית בתוך מנהרה העוברת דרך מרכז כדור הארץ. להלן נחשב את הזמן הדרוש לנפילה שכזו.

ראשית נחשב את הכוח \(F\) הפועל על גוף בעל מסה \(m\) שנמצא בתוך כדור הארץ במרחק \(r\) מהמרכז. על פי משפט הקליפה, נקבל כי:

\(\displaystyle F=\frac{{G{{M}_{r}}m}}{{{{r}^{2}}}}=\)

\(\displaystyle =\frac{{Gm}}{{{{r}^{2}}}}\cdot \frac{4}{3}\pi \rho {{r}^{3}}=\frac{4}{3}Gm\pi \rho r\)

כאשר \(G\) זה קבוע הכבידה, \({M}_{r}\) זו מסת חלק מכדור הארץ ברדיוס \(r\), ו- \(\rho\) זו צפיפות המסה של כדור הארץ. אם נציב בחוק השני של ניוטון, נקבל:

\(\displaystyle F=ma=m\ddot{r}\text{ }\Rightarrow \text{ }\)

\(\displaystyle \ddot{r}=-\frac{4}{3}G\pi \rho \cdot r=-\frac{g}{R}\cdot r\)

כאשר \(g=\frac{{4G\pi \rho R}}{3}\) זו תאוצת הנפילה החופשית על פני השטח של כדור הארץ, ו- \(R\) זה הרדיוס הכולל של כדור הארץ.

המשוואה שקיבלנו: \(\ddot{r}=-\frac{g}{R}\cdot r\) היא משוואה של תנועה מחזורית, וזמן הנפילה החופשית מצד לצד הוא חצי מזמן המחזור של התנועה. את זמן המחזור ניתן לחשב ישירות מתוך קבוע הפרופורציה.

אם נציב \(g=10\left[ {m/{{s}^{2}}} \right]\), וכן \(R=6400\left[ {km} \right]\), נקבל:

\(\displaystyle T=\frac{\pi }{{\sqrt{{\frac{g}{R}}}}}=\frac{\pi }{{\sqrt{{\frac{{10}}{{6,400,000}}}}}}=\)

\(\displaystyle =2513.2\left[ s \right]\approx 42\left[ {\text{minutes}} \right]\)